概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)

1、第1章 隨機(jī)事件及其概率(1)隨如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果機(jī)試驗(yàn)不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則和隨機(jī)稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。事件試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事 件，它具有如下性質(zhì):每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件;(2)基任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用來(lái)表示。件、樣基本事件的全體，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用 。表示。本空間一個(gè)事件就是由0中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大和事件寫(xiě)字母A, B, C ,表示

2、事件，它們是。的子集。O為必然事件，？為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Q）的概率為1，而概率為1的事件也不一定 是必然事件。關(guān)系:(3 )事如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B件的關(guān)發(fā)生）：AU B系與運(yùn)如果同時(shí)有AUB , B二A，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B: A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件： AUB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB ,它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：A" B，或者AB。B=

3、?，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件 A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算:結(jié)合率:分配率:(4)概率的公理化定(5 )古典概型A(BC)=(AB)CA U(B UC)=(A LB) UC(AB) UC=(A UC) njB UC) (A LB) nC=(AC) UBC)德摩根率:n Ai =u 瓦y y aO" = aA B ,喬飛=aU b設(shè)0為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若 滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：P( Q) =1對(duì)于兩兩互不相容的事件 A1 , A

4、2，有p|U Ai =5： P(Ai) ly 丿 y則稱(chēng)P(A)為事件A的概率。1,-。 12P ®1)= P®2)=P ®n)=。n設(shè)任一事件A，它是由組成的，則有P(A)= W«1)UW2)UU®m) =P(%)+ PW2)+ P®m)_ m _ A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(6 )幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻， 同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述， 則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A，P(A =(=!。其中L為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)。Lg)(7 )加法公

5、式P (A+B)=P (A)+P(B)-P(AB)當(dāng) AB 不相容 P(AB) = 0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)當(dāng) AB 獨(dú)立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)(8 )減法公式P (A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) BuA 時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A= Q時(shí)，P(B)=1- P(B)(9 )條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱(chēng)P(AB)為事件A發(fā)生條P(A)件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)= P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q/B

6、)=1 = P(B/A)=1-P(B/A)(10)乘法公式乘法公式：P (AB) = P(A) P(B/A)更一般地，對(duì)事件 Al , A2，An，若P (A1A2An-1 )>0，則有P(AiA2 . An) = P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) P(An | A1A2 . . . An _1)(11 )獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿(mǎn)足P (AB)-P(A) P(B)，則稱(chēng)事件A、B是相互獨(dú)立的。 若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)aO，則有P (AB) P(A) P(B)P(B| A)-''-P(B)P(A)P(A)若事件A、B相

7、互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互 獨(dú)立。必然事件0和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。設(shè)事件Bl，B2/-，Bn滿(mǎn)足1 ° Bl B2,Bn 兩兩互不相容，P(Bi) :>0(i =12,n)，(12)nAU U Bi2 °7全概公(13)則有P(A) =P(Bi)P(A| Bi) + P

8、(B2)P(A| B2) + +P(Bn)P(A| Bn)。全概率公式解決的是多個(gè)原因造成的結(jié)果問(wèn)題，全概率公式的題型:將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式;設(shè)事件B1，1 °B1，B2nAuU BiB2，Bn及A滿(mǎn)足，Bn兩兩互不相容，P(Bi)>0, i = 1 , 2,，nP(A) >0貝葉斯公式P(Bi/A“嚴(yán)皿,i=1 , 2，n。 無(wú) P(Bj)P(A/Bj)此公式即為貝葉斯公式。P(Bi) , ( i " , 2，n ),通常叫先驗(yàn)概率。P (Bi/A) , ( i" , 2， n ),通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉

9、斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并(14 )伯努利作出了 “由果朔因”的推斷。將試驗(yàn)可看成分為兩步做， 如果求在第 步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。我們作了 n次試驗(yàn)，且滿(mǎn)足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；概型這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為 n重伯努利試驗(yàn)。每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā) 生與否是互不影響的。用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為，用Pn(k)A出現(xiàn)k(0蘭心n)次的概率，表示n重伯努利試驗(yàn)中f 八 亠 k k n _kp叫k) =Cn P q k =0,1,

10、2,n 。第二章隨機(jī)變量及其分布設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk, k=1,2,，則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量布列的形式給出：XQX2,，xk；P(X =xk) 1 p1, p2,pk,。顯然分布律應(yīng)滿(mǎn)足下列條件:(1) Pk>o， k=1,2，3C送 pk = 1心。(2 )密度1、 fWo。-be_f f(x)dx=12、 n3、 P( XiCX<X2)4、P(x=a)=0,aO為常數(shù)，連續(xù)型隨機(jī)變量取個(gè)別值的概率為0設(shè)F（x）是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f（

11、x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有xF（x） = JJ（x）dx則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f（X）稱(chēng)為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)， 簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：X2= F(X2)-F(Xi) = f(x)dx"x1(3 )設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)F(x) = P(X <x)函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a cX <b) = F(b)-F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(- 汽x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì):0<F(x)<1,處處；F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即XYX2 時(shí)，有 F(

12、X1)<F(X2);F(f =xlmF(x)=0，F(xiàn)(代)=xmF(x) =1 ;F(x +0)=F(x)，即F(x)是右連續(xù)的;P(X =x) =F(x)-F(x-0)。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)=：S Pk ；Xk仝x對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x) = J f (x)dx。(4)分布0-1分P (X=1)=p, P (X=0)=q二項(xiàng)分在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為P。事件A發(fā)生P(X =k)二 Pn(k)二C： pkqz的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X，則X可能取值為0,1,2，n。其中 q =1 - P,0c p c1,k =0,1,2,，n，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n , p

13、的二項(xiàng)分布。記為X - B(n, p)。當(dāng) n=1 時(shí)，P(X=k) = pkq1 , k=0.1，這就是(0-1 )分布，所 以(0-1 )分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布均勻分布指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為-kP(X = k) =>0 , k = 0,1,2",K!則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為A的泊松分布，記為X兀仏）或者PG)。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=入，n fs。設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f（x）在a, b上為常數(shù)丄，即b -ar 1f(x) = *b -a，10，aw x w b其他，則稱(chēng)隨機(jī)變量分布函數(shù)為X在a，b上服從均勻分布，記為XU（

14、a，b）。0,X - a b ax<a,F(x) = Lf(x)dx1,x>b。X落在區(qū)間（Xi,X2）內(nèi)的概率為X2 Xi cx CX2）=-。b - a當(dāng) aW<ivx2W)時(shí)，J 0,X >0X CO其中幾0，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為-的指數(shù)分布。正態(tài)分設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（X）=丄 eQu c4、- >0為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為卩、-的(x p2一處 < x <其中2 正態(tài)分布或高斯（Gauss ）分布，記為XN （巴b ） of（x）具有如下性質(zhì)：1 ° f（x）的圖形是關(guān)于x =卩對(duì)稱(chēng)的；X二4時(shí)，f岸）=彗為最大值

15、；2 <2"m亠X的分布函數(shù)為-護(hù)2 dt2 °當(dāng)若X N（巴若X）=參數(shù)卩“X - N(0,1)1b=1時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 其密度函數(shù)記為e，一處 c X < +處,分布函數(shù)為1 x -（X）fe 2 dt o J2 兀 _jic（X）是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。（-X）= 1-（X）且（0） = 1 o 如果XN （巴/），貝y卩（為cX <X2）=X僅2-卩V I-I b丿1)-2 N(0,1) o伐1 -叮-IoI b丿(6 )(7 )下分位表：P（X <%）=a ； 上分位表：P（X。離散型連續(xù)型XX1,X

16、2,Xn,P (X =xi)P1,P2,pn, -已知X的分布列為Y =g（X）的分布列（YP（Y =yi） 若有某些g（xiyi =g(Xi)互不相等)如下:g(xi), g(x2),g(xn),Pi）相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的Pi相加作為g（xi）的概率。先利用X的概率密度f(wàn)x（x）寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY（y） = P（g（X）令），再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY（y）。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1 )聯(lián)離散型如果二維隨機(jī)向量£ (X, Y)的所有可能取值為至多可合分布列個(gè)有序?qū)?x,y)，貝淋巴為離散型隨機(jī)量。設(shè)© = (X, Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i,j

17、 =1,2,)，且事(Xi,yj)的概率為 Pij,稱(chēng)P(X, Y)=(Xi,yj)= Pij(i,j=12 )為匕=(X, Y)的分布律或稱(chēng)為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示:(1) Pij 初(i,j=1,2,);(2) 2 2Pij =1.i j連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量匕=(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(X, y)(-處X +叫_比 y吒+處)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D，即D=(X,Y)|avxvb,cvyvd有P(X,Y)迂 D= JJf(x,y)dxdy,D則稱(chēng)匕為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱(chēng)f(x,y)為匕=(X, Y)的分布密度或稱(chēng)為X和

18、Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì):(1) f(x,y)丸；(2) LJ=f(x，y)dxdy=1.2聯(lián)合設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)分布函F(x, y) = PX<x，丫 <y稱(chēng)為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(goMI亠<X(d)蘭XT <Y(«2y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì):(1 ) 0<F(x,y)蘭 1;(2) F (x,y)分別對(duì)x和y是非減的，即 當(dāng) X2>X1

19、時(shí)，有 F( X2,y)>F(xi,y);當(dāng) y2>yi 時(shí)，有 F(x,y2)斗(x,yi);(3) F (x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x, y)=F(x,y + 0);(4) F(豐-比)=F(舉 y) = F(x,-)=0,F(+%+)=i.(5)對(duì)于 xi 宀2, yi cy2.P(xi<x$2,yivy今2)=F(x2, y2)-F(x2, yjF(xi, y?) + F(xi, yJO3邊緣離散型X的邊緣分布為分布P. = P(x=Xi)=Z： Pij(i,j=i2)；j丫的邊緣分布為P<j=P(Y 二yj)=2：

20、Pij(i, j =1,2，)。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為-befx(X)= Lf(X,y)dy；Y的邊緣分布密度為-befY(y) = J=f (X, y)dx.4條件分布離散型在已知X=Xi的條件下，Y取值的條件分布為PjP(丫-yj |X -Xi) - I ；Pi.在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為PijP(X =Xi |Y = yj)=-L,連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為. 、 f (X, y).f(X1 y) - - /、；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|X)f(X(y)fx(X)5獨(dú)立性一般型F(X,Y)=F x(x)FY(y)離散

21、型Pij Pi J <有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判斷，充要條件： 可分離變量 正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布6二維均勻分12®4)(y44)/#、If(x,y)= 廠吋丿2 膽 lb 2 J 一 P若Xl,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，貝卩：h ( Xl , X2,Xm )和 g (Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與Y獨(dú)立，貝y： h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若X與Y獨(dú)立，貝y：3X+1和5Y-2獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為SD(X, y)亡 Df(x, y) = *0,其他其中Sd為區(qū)域D的面積，

22、則稱(chēng)(X,Y)服從D上的均勻分布，記為(X, Y)U (D )。圖3.27正態(tài)設(shè)隨機(jī)向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為分布f(x, y)=1/_耳)2ffx44)(y_)/441ePOp) Ra 丿2 丿 J2兀b 1 b 2 J1 一 P2其中卩1卍2,6 aOs ：>o,|P|<1是5個(gè)參數(shù)，則稱(chēng)（X, Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X, Y）N （已巴聽(tīng)衛(wèi)2>）.由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN (卩 1,b12),YN(巴 b；).但是若XN （41,62）,丫"（卩2,爲(wèi)）,（X, Y）未必是二維正態(tài)分布。8函數(shù)Z

23、=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) = P(Z <z) = P(X + Y<z)的分布Z=max,若Xi,x< Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為mi n(X 1,Fxi(x), Fx2(x)Fxn(x)，貝y Z=max,min(X i,X2，Xn)的分布函X2,Xn)數(shù)為:對(duì)于連續(xù)型，fz(z) = Jf(x,z-x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（已+巴,b12+b;）。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。卩=2 Ci片,©2=2 Cpi2iiFmax(X)= Fx,(X)桿%2(X)Fxn (x)Fmin(X)=1 1 Fxi (x)叩-Fx

24、2(X)1 -(X)第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）一維隨機(jī)期望變量的期望就是數(shù)字特平均值征離散型連續(xù)型函數(shù)的期方差D(X)=EX-E(X) 2標(biāo)準(zhǔn)差b(X) =QD(X設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P( X =Xk ) = pk ,k=1,2,n,nE(X)=送 Xk Pkk 二（要求絕對(duì)收斂）Y=g（x）nE(Y)=5： g(Xk)Pkk仝2D(X)=2： Xk-E(X) p,k(2)期(1)E(C)=C望的性E(CX)=CE(X)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),-beE(X) = fxf(x)dx-C（要求絕對(duì)收斂）Y=g（x）-beE(Y)= Jg(x)f(x)dx-JC

25、-beD(X) = Jx-E(X)2f (x)dxnnE(X+Y)=E(X)+E(Y) ，E(S CiXi)=2 CiE(Xi)i!i#E（XY）=E（X） E（Y），充分條件：X和Y獨(dú)立;充要條件：X和Y不相關(guān)。(3 )方D(C)=O ; E(C)=C差的性D(aX+b)= a 2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(aX)=a 2D(X) ；E(aX)=aE(X)D(X)=E(X 2)-E2(X)D(X ±Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨(dú)立;D(X ±Y)=D(X)+D(Y)充要條件：X和Y不相關(guān)。±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無(wú)條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。期望方差B(1, P)P(1- P)B(n, p)npnp(1- P)泊松分布P)U(a,b)a +b2(b-a)212(4 )常見(jiàn)分布指數(shù)的期望分布e