理論力學(xué)分析力學(xué)

1、第四部分 分析力學(xué)第 13 章 達(dá)朗貝爾原理上面幾章我們是以牛頓定律為基礎(chǔ)研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，給出了求解質(zhì)點(diǎn) 和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍定理。這一章我們要學(xué)習(xí)求解非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的新方 法達(dá)朗貝爾原理，它是用靜力學(xué)平衡的觀點(diǎn)解決動(dòng)力學(xué)問題，又稱為動(dòng)靜法。它在解 決已知運(yùn)動(dòng)求約束力方面顯得特別方便，因此在工程中得到廣泛的應(yīng)用。13.1 達(dá)朗貝爾原理13.1.1 慣性力質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理設(shè)非自由質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m，加速度為 a，作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力為 F ，約束力為 FN ， 如圖 13-1 所示。根據(jù)牛頓第二定律，有ma = F + FN將上式移項(xiàng)寫為F + F N - ma = 0

2、（ 13-1）引入記號(hào)F I = ma（ 13-2 ）式（ 13-1）成為F + FN +FI = 0（13-3）其中， FI 具有力的量綱，稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，它是一個(gè)虛擬力，它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 與加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)的加速度方向相反。式（13-3）是一個(gè)匯交力系的平衡方程，它表示：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系，稱為 質(zhì) 點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理 。此原理是法國(guó)科學(xué)家達(dá)朗貝爾于 1743 年提出的。F1F圖13-1mma圖13-2利用達(dá)朗貝爾原理在質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力，將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化成靜力學(xué)平衡問題進(jìn)行求 解的方法稱為動(dòng)靜法。應(yīng)當(dāng)指出：（ 1）達(dá)朗貝爾原理并沒有

3、改變動(dòng)力學(xué)問題的性質(zhì)。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)實(shí)際上并不是受到力的作用而真正處于平衡狀態(tài)，而是假想地加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束 力在形式上構(gòu)成平衡力系。（2）慣性力是一種虛擬力，但它是使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的施力物體的反作用力。 例如，系在繩子一端質(zhì)量為 m 的小球，以速度 v ，用手拉住小球在水平面內(nèi)作勻速圓 周運(yùn)動(dòng)，如圖 13-2 所示。小球受到繩子的拉力 F ，使小球改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生法向加速度 a 即F = ma n 。小球?qū)K子的反作用力 F=- F=- man ，這是由于小球具有慣性，力圖保 持其原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而對(duì)繩子施加的反作用力。（ 3）質(zhì)點(diǎn)的加速度不僅可以由一個(gè)力引起，而且還

4、可以由同時(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上的幾個(gè)力共同引起的。因此慣性力可以是對(duì)多個(gè)施力物體的反作用力。例如圓錐擺，如圖 13-3 所示，小球在擺線拉力 FT 和重力 mg 作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 有FT + mg = ma此時(shí)的慣性力為FI = ma= FT -mg= FT +（ mg） 式中 F T和 mg 分別為擺線和地球所受到小球的反作用力。由于它們不作用在同一物體 上，當(dāng)然沒有合力，但它們構(gòu)成了小球的慣性力系。FTa圖13-3FImg角。已知小球在水平面內(nèi)作勻速圓周例題 13-1 有一圓錐擺，如圖 13-4 所示，重為 P 9.8N 的小球系于長(zhǎng)為 l 30cm的繩 上，繩的另一端系在固定點(diǎn) O ，并與

5、鉛直線成 60 運(yùn)動(dòng)，試求小球的速度和繩子的拉力。FTb|F In圖13-4解：以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受由重力 P 、，繩子的拉力 FT 以及在小球上虛擬的慣性力，F(xiàn)In ，即FIn P aP v 2g l sin如圖 13-4 所示。由于小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其慣性力只有法向慣性力方向與法向加速度相反。由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理得FT+P+FIn =0將上式向自然軸上投影，得下面的平衡方程nF n 0 FT sinFIn 0i1nF b 0 FT cos P 0 i1解得FT coPs 19.6NFgl sin 22.1m/s13.1.2 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其中第

6、 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m i ，加速度為 ai ，作用該質(zhì)點(diǎn) 的主動(dòng)力 F i 、約束力 FNi 、慣性力 FIi=- m i a i ，由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)有 Fi +FNi+FIi =0 (i 1,2, ,n)(13-4)式( 13-4)表明：質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在主動(dòng)F i 、約束力 FNi 、慣性力 FIi 作用下在形式上處于平衡。若將作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力按外力和內(nèi)力分， 設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力為 Fie 、內(nèi)力為 Fii ， 式( 13-4)為ei Fie+Fii+FIi =0 (i 1,2, ,n)(13-5)式(13-5)表明：質(zhì)點(diǎn)系中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在外力Fie 、內(nèi)力

7、 Fii 、慣性力 FIi ，作用下在形式上處于平衡。對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，外力Fie、內(nèi)力 Fii 、慣性力 FIi (i 1,2, ,n)在形式上構(gòu)成空間平衡力系，由靜力學(xué)平衡理論知，空間任意力系平衡的必要與充分條件是力系 的主矢量和對(duì)任一點(diǎn)的主矩等于均為零。即n n nFe+ Fi+ FIi =0in1 i i 1 i ni 1 n(13-6)M o(Fie)+ M o(Fii)+ M o(FIi )=0i1 i i1 i i 1 nn 由于內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的，內(nèi)力的主矢量 Fi 0 ，內(nèi)力的主矩M o(Fi ) 0。i 1 i i1 o i則式（ 13-6）為Fie+FIi =0i 1 i

8、 i 1 nnM o(Fie)+M o(FIi)=0i 1 i 113-7)即質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 構(gòu)成平衡力系。：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上式（ 13-7）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式：1）空間力系i1 nFIxi0i1 nFIyi=0i1FIzin0+ ey F1i+eF13-8)xMi1n in iF(yM1F(zM12）平面力系nnF ixe +F Ixi = 013-9)i 1 ix i 1 nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1 nnMo(Fie)+ Mo(FIi )=0 i 1 i113.2 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化在應(yīng)用動(dòng)靜法解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題

9、時(shí)，需要在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力，當(dāng) 質(zhì)點(diǎn)較多，特別是剛體，非常不方便。因此需要對(duì)虛加慣性力系進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便求解。下 面對(duì)剛體作平移、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化。13.2.1 平移剛體慣性力系的簡(jiǎn)化當(dāng)剛體作平移時(shí)，由于同一瞬時(shí)剛體上各點(diǎn)的加速度相等，則各點(diǎn)的加速度都用質(zhì)心C的加速度表示，即 ac =ai，如圖 13-5 所示。將慣性力加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，組成平行的慣 性力系，且均與質(zhì)心 C 的加速度方向相反，慣性力系向任一點(diǎn) O 簡(jiǎn)化，得慣性力系主矢量F IR = F Ii = m i a i = ( m i a c )i1 i 1 i 113-10)ain=( mi )ac= Mac

10、 i1accrcrii FIi圖13-5慣性力系的主矩nnM Io = riFIi = ri ( mi ai )i1 i 1n= ( mi ri ) ac = Mrc ac(13-11)i1式中r c為質(zhì)心 C到簡(jiǎn)化中心 O點(diǎn)的矢徑。若取質(zhì)心 C為簡(jiǎn)化中心 rc = 0，則慣性力系的主 矩為M I o = 0(13-12 )當(dāng)簡(jiǎn)化中心不在質(zhì)心 C 處，其主矩 M Io 0 。結(jié)論：剛體作平移時(shí)，慣性力系簡(jiǎn)化為通過質(zhì)心的一個(gè)合力，其大小等于剛體的質(zhì)量 和加速度的乘積，方向與加速度方向相反。13.2.2 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化這里只限于剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直與此對(duì)稱平面的特殊情形。 當(dāng)

11、剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，先將剛體上的慣性力簡(jiǎn)化在質(zhì)量對(duì)稱平面上，構(gòu)成平面力系， 再將平面力系向轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱平面的交點(diǎn) O 簡(jiǎn)化。軸心 O 為簡(jiǎn)化中心，如圖 13-6 所示，慣性力系的主矢量為F IR = F Ii = m i a i =i1 i 1d=- (Mvc )=- M acdt c cddt( mi v i) i113-13)慣性力系的主矩為n n n13-14)2MIo = M o(FIi ) (mir ri )= miri2= Joi1 i1 i 1其中， J o 為剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。M I oacainainai|F I|iF IniFIiM IRF IRac圖13

12、-6圖13-7結(jié)論：具有質(zhì)量對(duì)稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此對(duì)稱平面的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系，向轉(zhuǎn) 軸簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì) 心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；此力偶矩的大小等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加 速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心時(shí)， 質(zhì)心的加速度 ac = 0，F(xiàn)IR= 0 ，則慣性力系簡(jiǎn)化為質(zhì)心上的一個(gè) 力矩。即M Io = J o （ 13-15 ）13.2.3 平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化設(shè)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，且剛體上的各點(diǎn)在與對(duì)稱平面保持平行的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。此 時(shí)剛體上的慣性力簡(jiǎn)化在此對(duì)稱平面內(nèi)的平面力系。 由平面運(yùn)

13、動(dòng)的特點(diǎn)， 取質(zhì)心 C 為基點(diǎn)， 如圖 13-7 所示，質(zhì)心的加速度為 a c ，繞質(zhì)心 C 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，角加速度為 ，慣性 力系的主矢量為F IR= - M a c（ 13-16）慣性力系的主矩M Ic = J c （ 13-17）其中， J c 為過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。結(jié)論：具有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體，在平行于此平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在 此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì) 心加速度方向相反，作用線通過質(zhì)心；此力偶矩的大小等于剛體對(duì)通過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量 對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。

14、例題 13-2 均質(zhì)圓柱體 A的質(zhì)量為 m ，在外緣上繞有一細(xì)繩，繩的一端 B固定不動(dòng)， 如圖 13-8a 所示，圓柱體無初速度地自由下降，試求圓柱體質(zhì)心的加速度和繩的拉力。(a)(b)圖13-8解：對(duì)圓柱體 A進(jìn)行受力分析，作用其上的力有：圓柱體的重力 mg ，繩的拉力 FT，作用在圓柱質(zhì)心的虛擬慣性力 FI 和 M IA ，即F I ma A M IA J AmR 12 mR(1)其方向如圖 13-8b 所示。列平衡方程為nM C 0i1nF y 0i1M IA mgR F I R 0mg F T F I0(2)3)式(1) 代入式 (2) 和式( 3)，并聯(lián)立求解，得圓柱體的角加速度和繩

15、的拉力為2g3R1F T mg圓柱體質(zhì)心的加速度為2 aA R g3例題 13-3 如圖 13-9a 所示，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為 m 1 ，由水平繩拉著沿水平面作純滾動(dòng)，繩的另一端跨過定滑輪 B 并系一重物 A ，重物的質(zhì)量為 m 2 。繩和定滑輪 B的質(zhì)量不計(jì)，試求重物下降的加速度，圓盤質(zhì)心的加速度以及作用在圓盤上繩的拉力。(a)圖13-9F I21F 1Tm 2g(c)解：以圓盤為研究對(duì)象， 作用在圓盤上的力有重力 摩擦力 F ，虛擬慣性力FI1和 M Ic 。虛擬慣性力 FI1和1FI1 m1a cm1a A21 2 a c 1M Ic J 2 m 1rm 1r2 2 1 r 2 1 r 為

16、圓盤的半徑。m 1g ，繩的拉力 FT ，法向約束力 FN ， M Ic 為aA21m 1ra A41其方向如圖 13-9b 所示，列平衡方程為nM D 0i1 再以重物 A為研究對(duì)象，作用在重物 A 上的力有重力 力 FI2 。虛擬慣性力為M Ic FI 1r FT01）m2g ，繩的拉力 FT ，虛擬慣性FI2 m 2aA其方向如圖 13-9c 所示。 列平衡方程為 nF y 0i1m 2gF TF I 2 02）式（ 1）和式（ 2）聯(lián)立，并注意 FT FT ，解得重物下降的加速度為 8m 2aA3m1 8m 2 g圓盤質(zhì)心的加速度為4m 23m1 8m 2 gm1m2作用在圓盤上繩的拉

17、力為FTg3m1 8m 2例題 13-4 均質(zhì)直桿 AB 重為 P ，桿長(zhǎng)為 l ， A 為球鉸鏈， B 端自由，以勻角速度 繞 鉛垂軸 Az 轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖 13-10a 所示。試求桿 AB 與鉛垂軸的夾角以及鉸鏈 A 處的約束力。F AF AynaindrdF I 2FI(a)(b)(c)圖13-10解：首先計(jì)算慣性力如圖 13-10b所示,將桿分割成微段 dr ，且距 A為r ，則 dr 段上慣性力為 P2 r sin dr gldF In dma( dr )r sin 21）P其中， P 為桿的線密度。gl對(duì)式（ 1）積分，求合慣性力為lP r sin 0 gl 合慣性力的作用線位置，由合

18、力矩定理 nM A（FIn）M A（FIni ）i1FInin 2 dr P l sin2g22）FIn x cos0l P r sin0gl2 r cos dr其中， x 為合慣性力到 A 的距離。 解得FInxcos3Pgl2 2sincos將式（ 2）代入得3）2xl3由式（ 1）和式（ 3）知，此慣性力為線性分布載荷，其合力為載荷圖的面積，合力的作用線通過載荷圖的形心。其次求桿 AB 與鉛垂軸的夾角以及鉸鏈 對(duì)桿 AB 進(jìn)行受力分析，A 處的約束力為 F Ay 、 FAzA 處的約束力。如圖 13-10c 所示 , 在桿所在的鉛垂平面內(nèi)， 桿受重力 P ，鉸鏈 ，虛擬慣性力 FIn 。

19、列平衡方程為nMA0nFIn2 lcos P1l sin0（4）i132nFy0FInF Ay 0（5）i1 nFz0FAzP0（6）i12）代入式（4）、（ 5）、（6）得將慣性力式（P l sin 22gF AyFInF Az P13.3本章小結(jié)cos 12l3g1. 質(zhì)點(diǎn)的慣性力FI= ma其中，慣性力 FI 是一個(gè)虛擬力。2. 質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理： 作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即F + FN +FI = 03. 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理 ： 作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即平衡力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢量和

20、對(duì)任一點(diǎn)的主矩等于均為零。主矢量 :nnFie+FIi =0i 1 i i 1 nn主矢量 :M o(Fie)+M o(FIi)= 0i 1 i 14. 質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理 的 投影形式 ：（1）空間力系Fixe + FIxi = 0i 1 i 1nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1nnF zei +FIzi 0i n 1i 1 nnnM x(Fie)+ M x(FIi )= 0i 1 i 1nnM y(Fie)+ M y(FIi )= 0i 1 i 1nnM z(Fie)+ M z(FIi )=0i 1 i 1(2) 平面力系nnF ixe + F Ixi = 0i 1 ix i 1

21、 nnFiye+FIyi = 0i 1 i 1 nnMo(Fie)+ M o(FIi )=0i 1 i 15. 剛體慣性力系的簡(jiǎn)化(1)平移剛體慣性力系的簡(jiǎn)化 : FIR = M ac 其中，慣性力系簡(jiǎn)化為通過質(zhì)心的一個(gè)合力。(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化：FIR = M ac MIo = Jo當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為質(zhì)心上的一個(gè)力矩。即M Io = J o (3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體慣性力系的簡(jiǎn)化：FIR =- M ac MIc = Jc第 14 章 虛位移原理在靜力學(xué)中，我們利用力系的平衡條件研究了剛體在力的作用下的平衡問題，但對(duì)有 許多約束的剛體系而言，求解某些未知力需

22、要取幾次研究對(duì)象，建立足夠多的平衡方程， 才能求出所要求的未知力。這樣做是非常繁雜，同時(shí)平衡方程的確立只是對(duì)剛體而言是必 要和充分的條件；而對(duì)任意的非自由質(zhì)點(diǎn)系而言，它只是必要條件不是充分條件。從本章開始我們學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)分析的方法來研究非自由質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問題，稱為分析力 學(xué)。 1788 年，法國(guó)科學(xué)家拉格朗日發(fā)表的分析力學(xué)一書，給出了解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的 新方法，即利用廣義坐標(biāo)描述非自由質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，使描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)量大大減少，同時(shí)從 能量角度出發(fā)將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能、勢(shì)能與功用廣義坐標(biāo)聯(lián)系起來，給出了動(dòng)力學(xué)普遍方程和 拉格朗日方程。虛位移原理是靜力學(xué)的最一般原理，它給出了任意質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要和充分條件，

23、減少了不必要的平衡方程，從系統(tǒng)主動(dòng)力作功的角度出發(fā)研究質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題。14.1 約束自由度廣義坐標(biāo)14.1.1 約束質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)受到它周圍物體的限制作用，這種限制作用稱為 的數(shù)學(xué)方程稱為 約束方程 。按約束方程的形式對(duì)約束進(jìn)行以下分類。約束， 表示約束1.幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為 其約束方程為幾何約束 。例如圖 14-1 所示的單擺，2 2 2 x +y = l 又如圖 14-2 所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)，其約束方程為222xA +yA = r(xA xB)2+(y A yB)2=l2yB = 0lrM(x,y) r y圖14-1A(x n,yn)圖14-

24、2B(x n,yn)vc圖 14-3上述例子中的約束方程均表示幾何約束。如果約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 或者說， 約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件， 稱為運(yùn)動(dòng)約束 。例如圖 14-3 所示在平直軌道上作純滾動(dòng)的圓輪，輪心 C 的速度為v c = r運(yùn)動(dòng)約束方程為v c r= 0 設(shè) x c 和 分別為輪心 C 點(diǎn)的坐標(biāo)和圓輪的轉(zhuǎn)角，則上式可改寫為x C r = 02.定常約束與非定常約束約束方程中不顯含時(shí)間的約束稱為 定常約束 ，上面各例中的約束均為定常約束。約束 方程中顯含時(shí)間的約束稱為 非定常約束 ，例如將單擺的繩穿在小環(huán)上，如圖 14-4 所示，設(shè) 初始擺長(zhǎng)為 l 0 ，以不變的速度

25、拉動(dòng)擺繩，單擺的約束方程為2 2 2x2+y2 =(l0 vt)2 約束方程中有時(shí)間變量 t ，屬于非定常約束。y圖14-43. 完整約束與非完整約束約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 而且方程不能積分成有限形式， 稱為 非完整約束 。 反之，約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；或約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但能 積分成有限形式，稱為 完整約束 。上述例子中在平直軌道上作純滾動(dòng)的圓輪，其運(yùn)動(dòng)約束 方程為完整約束。4. 雙側(cè)約束與單側(cè)約束如果約束不僅限制物體沿某一方向的位移，同時(shí)也限制物體沿相反方向的位移，這種 約束稱為 雙側(cè)約束 。例如，圖 14-1 所示的單擺是用直桿制成的，擺桿不僅限制小球

26、拉伸方 向的位移，而且也限制小球沿壓縮方向的位移，此約束為雙側(cè)約束。若將擺桿換成繩索， 繩索不能限制小球沿壓縮方向的位移，這樣的約束為單側(cè)約束。即約束僅限制物體沿某一 方向的位移，不能限制物體沿相反方向的位移，這種約束稱為 單側(cè)約束。本章非自由質(zhì)點(diǎn)系的約束只限于幾何、定常的雙側(cè)約束，約束方程的一般形式為(14-1)fj(x1,y1,z1, ,xn,yn,zn) 0 ( j 1,2, ,s)式中 n 為質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)的數(shù)目， s 為約束方程的數(shù)目。14.1.2 自由度確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目稱為質(zhì)點(diǎn)系的 自由度數(shù) ，簡(jiǎn)稱自 由度，用 k表示。例如，在空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其獨(dú)立坐標(biāo)

27、為 (x,y,z) ,自由度為 k 3；在 平面運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其獨(dú)立坐標(biāo)為 (x,y) ,自由度為 k 2 ；作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，其獨(dú)立坐標(biāo) 為(xA ,yA, ) ，自由度為 k=3。一般情況，設(shè)由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受有 s 個(gè)幾何約束，此完整系統(tǒng)的自由度數(shù) 為空間運(yùn)動(dòng)的自由度數(shù)：k 3n s ；平面運(yùn)動(dòng)的自由度數(shù)：k 2n s 。14.1.3 廣義坐標(biāo)確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參量稱質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)，常用 q j ( j 1,2, ,s) 表示。 廣義坐標(biāo)的形式是多種的，可以是笛卡爾直角坐標(biāo)x,y , z 、弧坐標(biāo) s、轉(zhuǎn)角 。一般情況，設(shè)具有理想、雙則約束的質(zhì)點(diǎn)系，由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，受有

28、 s 個(gè)幾何約束， 系統(tǒng)的自由度為 k 3n s，若以 q1,q2, , qk表示質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)， 質(zhì)點(diǎn)系第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 直角坐標(biāo)形式的廣義坐標(biāo)為xixi(q1,q2, ,qk ,t)yiyi(q1,q2, ,qk ,t)(i 1,2, ,n)(14-2)zizi(q1,q2, ,qk ,t)矢量形式為riri(q1,q2, ,qk ,t)(i 1,2, ,n)(14-3)14.2 虛位移原理14.2.1 虛位移和虛功1.虛位移在某給定瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系為約束所允許的無限小的位移稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的 虛位 移。虛位移可以是線位移，也可以是角位移。用變分符號(hào)r 表示，以區(qū)別真實(shí)位移 dr 。例

29、如圖 14-1 所示的單擺，沿圓弧的切線有虛位移 r 。 虛位移與實(shí)際位移是兩個(gè)截然不同的概念。虛位移只與約束條件有關(guān)，與時(shí)間、作用 力和運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)。實(shí)位移是質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)生的真實(shí)位移，除了與約束條件有關(guān)以外，還與作用在它們上的主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)的初始條件有關(guān)。虛位移是任意的 無限小的位移，在定常約束下，虛位移可以有沿不同方向的虛位移。2.虛功力在虛位移上作的功稱為 虛功 ，用 W 表示，即W = F ?r(14-4)虛功與實(shí)際位移中的元功在本教材中的符號(hào)相同，但它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。因?yàn)?虛位移是假想的，不是真實(shí)位移，因此其虛功就不是真實(shí)的功，是假想的，它與實(shí)際位移 無關(guān)；而

30、實(shí)際位移中的元功是真實(shí)位移的功，它與物體運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)。這一點(diǎn)上學(xué)習(xí)時(shí) 應(yīng)當(dāng)注意。3.理想約束如果約束力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移中所作的虛功之和等于零，這樣的約束稱為 理想約 束。若用 FNi 表示質(zhì)點(diǎn)系中第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的約束力， r i表示質(zhì)點(diǎn)系中第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位 移，則理想約束為sW = F Ni r i 0 (14-5) i1將第 12 章的式( 12-11)中dr i 變換為 ri 即可。如光滑接觸面、鉸鏈、不可伸長(zhǎng)剛桿(二 力桿)等均為理想約束。 將第 12 章的理想約束推廣到某些非定常約束， 也能成為理想約束。 例如變長(zhǎng)度擺，如圖 14-5 所示，繩的約束力在實(shí)位移上作的功FT

31、?dr 0 ，但虛位移上的虛功 FT ?r = 0 ，因而也是理想約束。l(t)圖14-514.2.2 虛位移原理虛位移原理 ：具有理想、雙側(cè)、定常約束的質(zhì)點(diǎn)系其平衡必要與充分條件是：作用在 質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。即nWF= Fi ri = 0 ( 14-6) i1式( 14-6) 的解析式為n(Fxi xi + Fyi yi+ Fzi zi)= 0( 14-7)i1虛位移原理由拉格朗日于 1764 年提出的， 又稱為虛功原理， 它是研究一般質(zhì)點(diǎn)系平衡的普 遍定理，也稱靜力學(xué)普遍定理。虛位移原理的必要性證明： 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系平衡時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到主動(dòng)力 F

32、i 和約束力 F Ni 而處于平衡，則有 Fi +FNi = 0 (i 1,2, ,n)將上式兩端同乘以 ri ，并連加得由于質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，即nnFi +FNii 1 i 1n=0FNi r i = 0 i1n則有 WF = Fi r i = 0i1虛位移原理的充分性證明： 假設(shè)質(zhì)點(diǎn)系受到力系作用時(shí)，不處于平衡狀態(tài)，則作用在質(zhì)點(diǎn)系上的某一個(gè)主動(dòng)力Fi和約束力 F Ni 其在相應(yīng)的虛位移上所作的虛功必有( Fi F Ni ) r i 0 由于質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束，即re rACe F 1 rrAF2圖14-6 nFNir i = 0i1則對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有WF = Fi ri 0i1 這與式 （

33、14-6）矛盾，質(zhì)點(diǎn)系必處于平衡。例題 14-1 如圖 14-6 所示的機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄 OC 繞軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊 A 沿曲柄滑動(dòng)， 從而帶動(dòng)桿 AB 在鉛直的滑槽內(nèi)移動(dòng)，不計(jì)各桿的自重與各處的摩擦。試求平衡時(shí)力F1和F2 的關(guān)系。解：作用在該機(jī)構(gòu)上的主動(dòng)力為力 F1和 F2 ，約束是理想約束，且為 1 個(gè)自由度體系。 有如下的兩種解法：C 兩點(diǎn)的虛位移為 r A ，rC ，則由虛位移原理式 （14-6）得F2 r A F1 r C 0（1）幾何法1）如圖 14-6 所示， A 、由圖中的幾何關(guān)系得rCr A cosreaOArA coslcosa r A cos aAl2）式（ 2）代入式

34、（ 1），得cos2( F2 F1F2 r A F1 r A a 02 A 1 A lcos2a ) r A 0 lA由于虛位移為 r A 是任意獨(dú)立的，則F 2 F1cos 2 a 0 l有關(guān)系為F1lF2 a cos 2（2）解析法由于體系具有 1 個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)為曲柄 OC 繞軸 O 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)角 ，則滑塊 A 在 圖示坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為y l tan滑塊 A 的虛位移為rA y cos 2C 點(diǎn)的虛位移為r C (a ) a 將點(diǎn) A 、 C 的虛位移代入式( 1)得F2 cos 2F1a0由于廣義虛位移 是任意獨(dú)立的，則有F22F1 a 02cosF1lF2 a cos 2例題 1

35、4-2 如圖 14-7 所示的平面機(jī)構(gòu)中。 已知各桿與彈簧的原長(zhǎng)為 l 滑塊 A重為 P ，彈簧剛度系數(shù)為 k ，鉛直滑道是光滑的。試求平衡時(shí)重力 系。圖14-7解：去掉彈簧的約束，以彈力 F 、F 代替， 體系的約束為理想約束， 和彈力 F 、 F 的作用下處于平衡。 此體系具有 1 個(gè)自由度， 廣義坐標(biāo)為 理式( 14-6) 得在主動(dòng)力重力 P，則由虛位移原主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為P y A F xB F xD 01)則各作用點(diǎn)的虛位移為上式取變分，得yAxBxD2l sinl cosl cos彈簧的彈力 F 、 F 為yAxBxD2l cosl sinl sin2)F F k(2l cos

36、l) 將式( 2)和式( 3)代入式( 1)，得P2l cosk( 2l cos l)lsin k(2l cos l)l sin 03)整理得 P kl ( 2 sin tan ) 0 由于廣義虛位移 是任意獨(dú)立的，則有P kl ( 2 sin tan ) 0 即得平衡時(shí)重力 P 與 之間的關(guān)系為P kl ( 2 sin tan )例題 14-3 一多跨靜定梁受力如圖 14-8a所示，試求支座 B 的約束力。BCD3mEF4m4m3m6m6m4m1GM(a)F2| rBr2CFB(b)| rE圖14-2解：將支座 B處的約束解除，用力 FB 代替。此梁為 1個(gè)自由度體系。由虛位移原理式 (14

37、-6)得F1 r1 F B rB F2 r2 M 0FBF1 rr1BF2 rrB2MrBGM其中，各處的虛位移關(guān)系為1 r B rBrG4r1 rB r211r B 81r E1r B 6 6 rB3 r 2 36 36rB1 11 1112 8 96從而得支座 B 的約束力為11111FBF1F2M289614.2.3 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡方程設(shè)由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受有 s 個(gè)定常完整約束，系統(tǒng)的自由度為 k 3n s ，對(duì) 質(zhì)點(diǎn)系中第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)求變分，由式 (14-2) 得k ? xi= ? qx i q j j1?qj k ? yi= ? qy i q j j

38、1?qj k ? zi zi = ? ziq jj 1 ? q jxiyi( i 1,2, ,n)14-8)其矢量式為k ? rri = j 1?qrij qj(i 1,2, ,n)式( 14-8)代入式 ( 14-7)得nk ? xWF = Fxi (?xii 1j 1 ? qjk n? x= (Fxi ? xi Fyij 1 i 1? qjk ?yiqj)+ Fyi(i qj )+ Fzi (j 1 ?qjj 1 ?qjy i ? zii + Fzi i ) qj = 0qj?zi qj )iFyiqj(14-9)n?xiQj = (Fxi i + Fyii 1? q jn ? r= Fi

39、 ? rii 1 i ? q j式( 14-10 ) 代入式 ( 14-9 )yiyi?q + Fzi ?qzi ) ? q j ? qj( j 1,2, ,k)14-10)WF = Qj q j = 0j1其中， Qjqj 具有功的量綱， Q j稱為與廣義坐標(biāo) 由于廣義坐標(biāo) qj 具有獨(dú)立性，式 ( 14-11)有 Qj = 0qj 對(duì)應(yīng)的廣義力。( 14-11)( j 1,2, ,k) 即質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：系統(tǒng)中所有廣義力都等于零。式 平衡方程。求廣義力有兩種方法：一是直接從式 ( 14-10) 中求出，另一中求法是利用廣義坐標(biāo)具有 獨(dú)立和任意的性質(zhì)，令某一的虛位移q j 0

40、，其余的 k 1個(gè)虛位移為零，則有WF = Q j qj( 14-12 ) 廣義力表示的14-12)從而( 14-13 )Qj = WqFjq j在實(shí)際求解中常采用第二種方法。例題 14-4 平面機(jī)構(gòu)在如圖 14-9 所示位置上平衡， 已知在曲柄 AB 上作用有力偶矩 M ， 1在鉸鏈 C處，受有水平力 F 。AB 1CD l ，各桿的重量和摩擦不計(jì)， 試求水平力 P與力2偶矩為 M 的關(guān)系。rBr23060r160 DrD圖14-9解： 此機(jī)構(gòu)為 2 個(gè)自由度體系。設(shè)廣義坐標(biāo)為曲柄 AB 與水平軸的夾角 ，滑塊 D的 水平位移 rD 。（ 1）求廣義坐標(biāo) 所對(duì)應(yīng)的廣義力令滑塊 D不動(dòng)，虛位移

41、 x D 0 ，則廣義力W 1 MFcso30 o r1Q1 =1q1圖示位置，桿CD可以看成瞬時(shí)平移，則有r1rB l代入上式，再由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：系統(tǒng)中所有廣義力都等于零。則Q1 = 0MFcso30o lM Fcso30o l 0則水平力 F 與力偶矩為 M 的關(guān)系為FMlcso30o（2）求廣義坐標(biāo) x D 所對(duì)應(yīng)的廣義力令曲柄 AB不動(dòng)，虛位移0 。此時(shí)體系相當(dāng)于 BC 為曲柄，桿 CD為連桿組成的曲柄連桿機(jī)構(gòu)。鉸鏈a）廣義力為由質(zhì)點(diǎn)系平衡條件則水平力將式（ a）C 處的虛位移 r2 垂直于桿 BC ，由速度投影定理得r2 rD cos 60oW 2 P r D Fcs

42、o60o r 2 Q 2 =q2xDP rD F cos 60o rD cos 60orD2oP F cos 2 60 o 0F 與 P 的關(guān)系為2o P F cos 60代入式（ b）得水平力 P 與力偶矩為 M 的關(guān)系為 M 2 o 3 MP cos 60 o lcso 30o6l14-5 如圖 14-10 所示兩重物 A 和 B ，重量分別為 P1和 P2 ，并系在細(xì)繩上，分別 C ，重b）例題放在傾角為 和 的斜面上，繩子繞過兩個(gè)定滑輪與動(dòng)滑輪相連。動(dòng)滑輪上掛重物 量為 P3 的重物。 若滑輪和細(xì)繩的自重以及各處的摩擦不計(jì)，試求體系平衡時(shí)， P1、P2和 P3的關(guān)系。圖14-10解：此

43、機(jī)構(gòu)為 2 個(gè)自由度體系。設(shè)廣義坐標(biāo)為重物 A沿斜面向下的位移為 s1 和重物 B 沿斜面向上的位移為 s2。重物 C 的豎直位移為 s3。（1）求廣義坐標(biāo) s1 所對(duì)應(yīng)的廣義力令重物 B不動(dòng)，虛位移 s2 0 ，則廣義力W1q1P1 sin s1 P3 s3s1s3 1 s由運(yùn)動(dòng)關(guān)系得則上式為1W1 P1sin s1 P3 2 s1 Q1 = q1s11 P1 sinP32由質(zhì)點(diǎn)系平衡條件Q1 0a）P3 2P1 sin（2）求廣義坐標(biāo) s2 所對(duì)應(yīng)的廣義力 令重物 A不動(dòng)，虛位移 s1 0 ，則廣義力W2 P3 s3 P2 sins2s2Q2由運(yùn)動(dòng)關(guān)系得則上式為Q2 = W2q2由質(zhì)點(diǎn)系平

44、衡條件由式（ a）和式 （b） 得 P1 、2P1s31 s221P3 s2 P2 sin s22s21P3 P2 sin2Q2 02P2 sin2P2 sinP2和 P3的關(guān)系為sin P3 2P2 sin(b)當(dāng)主動(dòng)力是勢(shì)力時(shí)，勢(shì)能也是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即V V （ q1,q2 , ,qk ）主動(dòng)力與勢(shì)能的關(guān)系由（ 12-27）有Fi = (?V i+ ?V i ?xi?yi?V+? zik)(i 1,2, ,n)( 14-14)虛位移為riqjxi yi? zii i+ i j + i k qj? qj?qj( i 1,2, ,n)( 14-15)將式( 14-14 ) 和( 14-15

45、) 代入( 14-10 ) 得kQ j =Fij1riqj( k ?V xi + ?V yi + ?V zi j 1? xi ?qj ?yi ?qj ?zi ? qj?V = ? qj14-16)則虛位移原理的平衡方程式( 14-12) 變?yōu)?V? = 0 ?qj( j 1,2, ,k )14-17)或者為14-18)V = 0即在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想、雙側(cè)、定常約束的質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：勢(shì)能對(duì)每 個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)都等于零，或者勢(shì)能在平衡位置取駐值。例題 14-6 例題 14-2 用廣義坐標(biāo)法，求試求平衡時(shí)重力 P 與 之間的關(guān)系。 解：此機(jī)構(gòu)為 1 個(gè)自由度體系。廣義坐標(biāo) 。設(shè)鉸鏈

46、 C為重力的零勢(shì)能點(diǎn)，彈簧為原 長(zhǎng)為彈力的零勢(shì)能點(diǎn)，則體系的勢(shì)能為12V 2Pl sin k(2lcos l )22虛位移原理的平衡條件，V = 0得V 2Pl cosk(2l cos l)( 2l sin)2Pl cos k( 2l cos l)( 2l sin ) 0 由虛位移是任意獨(dú)立的，則得P kl( 2sin tan )14.3 本章小結(jié)1約束自由度廣義坐標(biāo)約束分為以下形式：(1) 幾何約束：限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件。( 2)運(yùn)動(dòng)約束：約束限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件。(3) 定常約束：約束方程中不顯含時(shí)間的約束。(4) 非定常約束：約束方程中顯含時(shí)間的約束。( 5)非完

47、整約束： 約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 而且方程不能積分成有限形式，( 6)完整約束： 約束方程中不含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；或約束方程中含有坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，但能積分成有限形式。( 7)雙側(cè)約束： 約束限制物體沿某一方向的位移， 同時(shí)也限制物體沿相反方向的位移。 ( 8)單側(cè)約束： 約束僅限制物體沿某一方向的位移， 不能限制物體沿相反方向的位移。 自由度：確定具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系位置所需獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，用 k 表示。 廣義坐標(biāo)：確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參量，以q1,q2, ,qk 表示質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)。由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，受有 s 約束，自由度為 k ，則質(zhì)點(diǎn)系第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo) 形

48、式的廣義坐標(biāo)為xi xi(q1,q2, ,qk ,t)yi yi(q1,q2, ,qk ,t) (i 1,2, ,n)zi zi(q1,q2, ,qk ,t)矢量形式為ri ri (q1,q2, ,qk ,t ) (i 1,2, ,n)2. 虛位移虛功理想約束虛位移 : 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系為約束所允許的無限小的位移。 虛功：力在虛位移上作的功。理想約束：約束力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移中所作的虛功之和等于零。即sW = F Ni r i 0i13. 虛位移原理 具有理想、雙側(cè)、定常約束的質(zhì)點(diǎn)系其平衡必要與充分條件是：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所 有主動(dòng)力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。即nWF= Fi ri =

49、 0i1解析式為n(Fxi xi+ Fyi yi+ Fzi zi)= 0i14. 廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡方程(1)一般的平衡問題廣義力：nQj = ( Fxi ?i 1 ?qj n ? r= Fi ? qr ii 1 ? qj?xi + Fyi yi? yi ? zii + Fzii )zi?q j ? qjzi( j 1,2, ,k )廣義力表示的平衡方程：即質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件(2) 當(dāng)主動(dòng)力是勢(shì)力時(shí) 廣義力 :是：Qj = 0 系統(tǒng)中所有廣義力都等于零。Qj?V?qj 其中，勢(shì)能是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即 V V(q1,q2, ,qk )。 平衡方程：?V? qVj = 0( j 1,

50、2, ,k )或者為V = 0 即在勢(shì)力場(chǎng)中，具有理想、雙側(cè)、定常約束的質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件是：勢(shì)能對(duì)每 個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)都等于零，或者勢(shì)能在平衡位置取駐值。第 15 章 分析力學(xué)基礎(chǔ)在這一章里，我們將達(dá)朗貝爾原理與虛位移原理結(jié)合起來，給出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉 格朗日方程。它們是分析力學(xué)的基礎(chǔ)，是解決非自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的最一般原理。15.1 動(dòng)力學(xué)普遍方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理，第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力 FIi=- miai ，則 作用該質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力 F i 、約束力 FNi 、慣性力 FIi 構(gòu)成平衡力系。其平衡方程為Fi + FNi +FIi = 0（i 1,2

51、, ,n）質(zhì)點(diǎn)系受到理想、雙側(cè)約束時(shí)，依據(jù)虛位移原理有n（Fi+FNi+FIi ） ri=0i1 若質(zhì)點(diǎn)系受的理想約束，即nFNi ri= 0i1則n（Fi+FIi） ri =0（15-1）i1或者n（Fi-mia） ri =0（15-2）i1式（ 15-1）或（ 15-2）稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程 ，也稱為 達(dá)朗貝爾拉格朗日方程 。它表明： 具有完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力 在任一組虛位移中所作的元功之和為零。 它建立了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍規(guī)律，特別是 對(duì)于非自由質(zhì)點(diǎn)系來說，在求解時(shí)不必考慮未知的約束力，只需研究主動(dòng)力，從而大大地 簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。式（ 15-2）的解析式為n（Fxi miaxi） xi +（Fyi miayi） yi+（Fzi miazi） zi=0（15-3）i1在應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解時(shí)應(yīng)遵循以下步驟：（1）判斷系統(tǒng)