求極限方法總結(jié)-全

1、 極限求解總結(jié) (1) lim = too b 枕 如果極限 lim /(x) 存在,為函數(shù)門的定義域內(nèi)任一收斂于 的數(shù) 1、極限運(yùn)算法則 lim a= a lim = b 設(shè) j ,則 lim ( an 打)=lim 孤 lim bn = a b; lim anbn = lim %lim bn = ab; nigfits nioo lim an n-*co lim “ Ti MTOO 2、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 列，且滿足鳥卞那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列打;；必收斂，且 lim fg 二 lim f（尤） xxob5E2RGbCAP 3、定理 （1）有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮?。?（2）有界函數(shù)與無(wú)

2、窮小的乘積是無(wú)窮??； 4、推論 （1）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小； （2）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮??； （3） 如果存在，而c為常數(shù)，則： 八一：1 （4） 如果 存在，而n是正整數(shù)，則I門- lim門 5、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則 設(shè)函數(shù) ml是由函數(shù)與函數(shù) 二復(fù)合而成的， lim 譏x)-臚 lim f(u) A 山：小在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若 - , 且存在 ，當(dāng)xeu(心血)時(shí)，有3仗)工 ，貝寸 lim /ff(x) = lim f(u) - A - ：plEanqFDPw 6、夾逼準(zhǔn)則 如果 當(dāng) =+；(或比M)時(shí)，m訂宀： lim g (x) = A, lim h(x) A

3、(2) lim /(x) 那么一； 存在，且等于A 7、兩個(gè)重要極限 sin x lim= 1 (1) .：-； lim (1 + - = e (2) 工?c，-J 8、求解極限的方法 (1)提取因式法 ex + ex-2 lim 例題1、求極限，： 解: X ,- X r e + e - 2 lim 策tOx =1 DXDiTa9E3d 例題2、 lim x-*0 解： 例題3、 解： 求極限 2 : X jX a - b 2 X t X a - b lim x-*0 (a 壬 bfa.b 0) (ax -臚) 2 bx -1 =lim _ 0 lim xp 求極限 -1 2 a x In-

4、 v x2 - 2x1 =limb = 1 l(a 0,a H 1) a xln- b oo Ina 0 a lnb RTCrpUDGiT lim xp 策T + =lim 尤T十CO 1 尹/ 十 i In a = lim . 八 尤 0 + 1)x- + 曲 O + 1) x + 1lna = lim 工T + W p-21 耳x+ I】 a In a = 1 1 +- x 5PCzVD7HxA m 門 jLBHrnAILg 例題2、 1 -i m X lim 龍出 -i n X （2）變量替換法（將不一般的變化趨勢(shì)轉(zhuǎn)化為普通的變化趨勢(shì)） sin （mx） lim 例題仁“：口 解：令-

5、sin (mx) sin (nx) _ 號(hào) sin (ny + n?r) sigy +嚨）葉弊 尸（）sin ny v -1 (1 + y)n 解：令y= XHAQX74J0X 解：令x=y+1 1 -1 m X lim lim JfT 1_尤 T1 n X - lim x2+ x - tx3 + 疋 例題3 1 (3) 等價(jià)無(wú)窮小替換法 -i-1 x-0sinxxsin xtan tan x ex - 1 兀In (1 + x) 2 x (1 + 兀)厲-1ax 注：若原函數(shù)與X互為等價(jià)無(wú)窮小，則反函數(shù)也與 x互為等價(jià)無(wú)窮小 lim 例題1、尸、 1 (ax + bxV (a.b 0) 解:

6、 lim fax + 亦 t x * a 1 a + b lim -In- r_Q X2 c 1 I a + b - 2 lim In 1 + Ur I2 lim 嚴(yán) (Z-1) + (bx-1) 2x LDA YtRyKfE 例題 2、 lim 1!1(1 + 嚴(yán))山(1+-)0) X-* 4 COX) 解: lim X- + 8 D匕$ =lim In (1 + eax-= lim -In X* + GO忑 X-* + 00 X ln + ln( 0) J (sin x)a(l- (sin xf) 例題6、 解：令 丫 1- 1 - (sinx)a+ lim . x_J(l-Csinx)a

7、)(l- (sin xf) lim y-0+J 1-(1-1-(1-y) y(a + /?)比 + 0 lim :-=- 廠。+ ypy ZB EmxvxOtOco 11型求極限 .、lan 2.x lim (tan x) 7T 例題1、 I 解：解法一（等價(jià)無(wú)窮?。?x tan 2x lim (tan x) n 4 lim (tan 2x)ln (tan x) 71 e lim (tan 2x)ln 1 + (tan x - 1) ST 廠 lim (tan 2x)(tan x - 1) JT 廠 yXPq5 解法二 2tan- 2tan lim(tan x - 1) lim 1 - (ta

8、nx)1 + lanx E 44 e= e SixE2 !.tan 2x lim (tan x) 71 兀T匚 4 I lan 2x(tan x- 1) =lim 1 + (tan x - 1)J dnx-= Tl XT 丁 4 2 tan x lim(tan x - 1) 1 - (tan x) 廠 lim (tan 2x)(tanx - 1) n -2 tan x lim t 1 + lanx 廠 6ewMyir 2 v QFL （5 ）夾逼定理（主要適用于數(shù)列） lim (lFJ 列+ 4導(dǎo) 例題1 解：r -. l I 2 I ： ： - -1 丫 4；： lim (ln +2n+3n

9、 + 4于=4 所以 推廣. X,111 1 + + am ) max aj lim 例題2、 1 rli limx 一 x x-*0 解：丁 1 1 l- X R11 1) 2) 所以 xtO十 rl Unix 一 x x 0 XtO 所以 rl lim x 一 x XT。 7 lim -x - x -x * x 例題3、- 2n-F 1 3n- 1 2沖心 解：1 3n 20 + 1) n + l/2n-2 =丁 (引 3572扯十 1368 0_x-x_x.x_x_x_x.x n + l/2n-2 -=0 3572n + l 所以 例題4、 lim “TOO (n+ir . k = n 2 ik lim riTco 1 2 (n +廳 lim V 帀 riTCfi 厶J 2 ； k k = n 2n + 2 =x 一=- 如1廠局 lim x =2 所以- n lim y n + 1) 例題5、 解:叮I I：門-1 .： 1 rt (/ + 1) ?z + 1 1 4tE + i) 7 n +1 v 7 n n n+ 1 _ 所以 nI li = 1 n1 lim，(nk + 1)