利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問(wèn)題

1、利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問(wèn)題摘要復(fù)數(shù)在高中涉及的知識(shí)點(diǎn)較少，在高考中占據(jù)的分?jǐn)?shù)也不多，但卻是很有特色的內(nèi)容。因?yàn)閺?fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數(shù)形式與三角、幾何、代數(shù)等學(xué)科有著密切的聯(lián)系。本文羅列了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何形式、向量形式、三角形式以及指數(shù)形式，從解三角函數(shù)、幾何、不等式、方程等幾個(gè)問(wèn)題論述復(fù)數(shù)在解決非復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體應(yīng)用，充分認(rèn)識(shí)、深刻理解、熟悉掌握和靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾個(gè)表示形式去解答，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新性思維素質(zhì)和能力的培養(yǎng)具有重要意義。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)；形式；解題；妙解復(fù)數(shù)是高三最后一章的內(nèi)容，短短幾頁(yè)，只有三節(jié)，但在高考中卻占著一定的分值。 高考中復(fù)數(shù)主要是以選擇題與

2、填空題的形式出現(xiàn)，只要掌握了復(fù)數(shù)的概念以及運(yùn)算規(guī)律，就很容易得出答案。因此， 教材的編排只簡(jiǎn)單介紹了復(fù)數(shù)的概念， 復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及數(shù)系的擴(kuò)充，沒(méi)有作過(guò)多的介紹，其三角形式和指數(shù)形式只是在背景材料中提到過(guò)，并沒(méi)有作詳細(xì)的介紹。但在實(shí)際應(yīng)用中，很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如：三角問(wèn)題、幾何問(wèn)題等我們也可以用復(fù)數(shù)的知識(shí)去解答。在高中數(shù)學(xué)中，復(fù)數(shù)把三角、平面幾何、解析幾何、代數(shù)在一定的程度上相互鏈接起來(lái)了，那我們應(yīng)該如何巧妙地利用復(fù)數(shù)的不同表示形式去解答這類(lèi)問(wèn)題呢下面分別對(duì)這幾方面進(jìn)行探究。1 復(fù)數(shù)的不同表示形式簡(jiǎn)介復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示為z x yi （其中x、 y 為實(shí)數(shù)） ，其中“ i ”叫做虛數(shù)

3、單位，i21, X和y分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。復(fù)數(shù)的幾何形式圖在復(fù)平面上，每一個(gè)復(fù)數(shù)z x yi都能夠由復(fù)平面上坐標(biāo)為（x, y）的點(diǎn) 來(lái)表示，復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面上的點(diǎn)所稱(chēng)的集合之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：“任何一個(gè)復(fù)數(shù)z x yi都可以由復(fù)平面的唯一的一個(gè)點(diǎn)（x, y）來(lái)表示，反之，復(fù)平面內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)（x , y ）都可以表示唯一的復(fù)數(shù)z x yi。"復(fù)數(shù)z x yi 一一對(duì)應(yīng) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（x, y）,這就是復(fù)數(shù)的幾何表示形式。復(fù)數(shù)的向量形式我們知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即：復(fù)數(shù)z x yi一一對(duì)應(yīng) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)M （x, y）,而點(diǎn)M （

4、x, y ） 一一對(duì)應(yīng)平面向量。所以，復(fù)數(shù)z x yi 一一對(duì)應(yīng) 平面向量OM，也就是說(shuō)復(fù)數(shù)z x yi 也可以用起點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)M （x, y）為終點(diǎn)的向量OM表示，OM這個(gè)向量即 是復(fù)數(shù)的向量表示形式。復(fù)數(shù)的三角形式y(tǒng)設(shè)復(fù)數(shù)z aib對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于向量OP ,其中P的坐標(biāo)為（a,b）,如圖，其中a r cos , b r sin ,所以 z a ib r cos ir sinr(cos i sin )。我們把 z r(cosi sin ）叫做復(fù)數(shù)z a ib的三角形式。復(fù)數(shù)的指數(shù)形式由我們熟知的歐拉公式e cos i sin 以及復(fù)數(shù)的三角形式z r(cos i sin )有2 rei ,我們

5、把這個(gè)表達(dá)式叫做指數(shù)形式。也就是說(shuō)，任 一非零復(fù)數(shù)z總可以表成zzeiarg 。并且容易得到ei1ei 2ei 1 2 ,2利用復(fù)數(shù)妙解三角幾何等問(wèn)題復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)系中的最后擴(kuò)充，包含的知識(shí)面較多，應(yīng)用也比較靈活。 復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中也是相對(duì)獨(dú)立的，它的三角形式、幾何形式、向量形式、代數(shù) 形式、指數(shù)形式把幾何、三角等學(xué)科緊緊的聯(lián)系在一起，構(gòu)建了一座優(yōu)美的“橋 梁”。因此，復(fù)數(shù)為高中數(shù)學(xué)解題提供了一種新的解題途徑。下面對(duì)如何利用恰 當(dāng)復(fù)數(shù)形式妙解三角幾何等問(wèn)題做一些探討。解三角函數(shù)問(wèn)題復(fù)數(shù)的三角形式為z r cos i sin ,而sin與cos是三角函數(shù)中的正弦與余弦，這說(shuō)明復(fù)數(shù)的三角形式與三

6、角函數(shù)有著密切的聯(lián)系，這個(gè)紐帶為我們利 用復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)來(lái)解決三角函數(shù)的某些相關(guān)的問(wèn)題創(chuàng)造了一條新的路徑。(1)利用三角形式計(jì)算三角函數(shù)值針對(duì)在計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)如果我們遇到的角度不是比如0°, 30°, 60°, 90°等等這些特殊的角度，并且題目中的各角度之間又存在著倍數(shù)關(guān)系時(shí)，用三角函數(shù)的和差角公式的方法計(jì)算則比較復(fù)雜，那么我們就可以考慮是否能用復(fù)數(shù)的表 現(xiàn)形式去解決。三角函數(shù)很多時(shí)候與 sin , cos有關(guān)，而三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的三 角形式的共同點(diǎn)是含有sin、cos ,所以我們一般選擇復(fù)數(shù)的三角形式去計(jì)算。設(shè)z cos isin , 則z cos

7、 i sin ，那么兩式相減得z z 2i sin ,從而同理由棣莫弗公式有zn【例1 1計(jì)算sin 10sincostancosnsin ncos ntan nz z2isincossin nz2 12iz(2-1)z2 12z2 z-2z(2-3)cosn(2-2)2n z -2zn(2-4)z2n 12znz2n1i z2n1sin 的值。10分析：因?yàn)?-是一的倍數(shù)，所以可以構(gòu)造復(fù)數(shù) 1010解：構(gòu)造復(fù)數(shù)z cos- i sin 一 ,那么z1011010由公式(3-1)與(3-4),(2-5)(2-6)z cos 10i sin 。10z5.3sin 一10sin 10sin3 10

8、sin 10z6 1 2P2z2iz4 z2 1 "2P1z22iz31 z2 1 2iz3z4 1322iz z1z2 110 z2iz52zz2 112i i z【例2】為銳角，且tan2的值。解：.sin ，且 為銳角- 101cos. 1 sin2二 sin 22 sincoscos 22 cos一 2 sin13、10.10133.10.105231,10,102122tan1745 tan2sin 2cos2為銳角，且tan1,10,0<,0<證法一:tantantan 21 tan tan 2341341717證法二:復(fù)數(shù) 7 i4 3i251的一個(gè)輻角，即

9、2 2k2是復(fù)數(shù)7 i 4 3i的輻角主值，故說(shuō)明：這道題目我們采用的是復(fù)數(shù)的方法去解答,2 一4也可以采用正切的和角公2式去計(jì)算，兩者都同樣簡(jiǎn)便。用正切的和角公式這種方法是順理成章的，因?yàn)槲?們學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)經(jīng)常用的方法，但我們也不妨體驗(yàn)下其他的方法(比如復(fù)數(shù)方 法)，活躍我們的思維方式，加強(qiáng)我們的創(chuàng)新能力。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中我們也提倡題多解，以此來(lái)開(kāi)拓解題的思路，培養(yǎng)邏輯推理能力以及想象力， 進(jìn)一步提高 數(shù)學(xué)的解題能力。(2)利用三角形式證明三角等式【例3】4已知為銳角，且 3sin2 2sin21, 3sin 2 2sin2 0,求證:（1987年高考試題）分析：這道題目和例2有點(diǎn)類(lèi)似，只不

10、過(guò)例2是求值，在這里是證明，但最終的結(jié)果都是求出2的值。所以在這里我們也可以采用三角函數(shù)的一般解法,即根據(jù)三角包等變換2的正弦值或余弦值，再根據(jù)的取值范圍來(lái)推導(dǎo)出 2的取值范圍，從而得出結(jié)論。但如果能聯(lián)想到復(fù)數(shù)的三角形式以及 復(fù)數(shù)輻角的性質(zhì)，利用復(fù)數(shù)的方法去證明，那么又可得到另一番匠心獨(dú)運(yùn)的復(fù)數(shù)證法。證明：設(shè)乙 cos i sincos i sin ,為銳角，即(0, 32: 3sin22sin2 2sin23 2sincosIP sin 2 3sin cos,/ 3sin22 sin21 2sin2cos2 即 cos23sin2根據(jù)棣莫弗公式，有z2 cos2i sin 2根據(jù)輻角的性質(zhì)有

11、:argzi2argz22arg Zi Z2 arg cosi sincos 2i sin 2arg cosi sin3 sin2 3i sin cosarg 3sincosi sinsin i cosarg3sincosi sincos 一2isin 一 2arg3sincoscos 一 2sinsin 一 2isin cos 2i cos sinarg 3sin cosi sin3sincos i sin 22arg 3i sin故結(jié)論得證。(3)利用指數(shù)形式證明三角等式【例 4】求證 cos5 cos5 5cos3 10 cos16分析：此題如果我們用一般的方法一一和差角公式去證明的話是

12、不容易入手 的，因?yàn)榈仁阶筮吺且槐?角度，而等式右邊是五倍角度，無(wú)論從左邊證明右邊還是從右邊證明左邊都是難上加難， 因此我們可以考慮用復(fù)數(shù)的方法。 但此題 如果仍用例3的方法去證明是很難行得通的，這時(shí)我們可以考慮運(yùn)用復(fù)數(shù)的其它 表達(dá)形式。通過(guò)觀察，在這里如構(gòu)造復(fù)數(shù)的指數(shù)形式去證明較為簡(jiǎn)便。證明：設(shè) ei cos i sin , ecos i sin ,貝 cosei e2二左邊cos5iie e1 i i 5-e e2321 ie321 2ie322i 八 3i cie 2 e 3e3e i3i e1 5i e323i5eii3i10e10e 5e e, 5i5i3i3iii1 e e e e

13、 -ee- 5 10 16222一 cos5165cos3 10 cos =右邊故結(jié)論得證 總結(jié)：由以上幾個(gè)例子我們可以看出， 對(duì)于一些三角函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 適當(dāng)?shù)貥?gòu) 造復(fù)數(shù)來(lái)解答，不僅能夠提高學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)解題的技巧， 而且有利于培養(yǎng)學(xué) 生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，開(kāi)拓思維。解幾何問(wèn)題復(fù)數(shù)z x yi一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(x , y ),這是復(fù)數(shù)的幾何表示形式由此可知，復(fù)數(shù)與幾何具有直觀的聯(lián)系，復(fù)數(shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解答, 同樣，幾何的問(wèn)題我們也可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的問(wèn)題的來(lái)解答?！纠?】-13- CE CB BE 1 - - OE44如圖，已知OABC是正方形，D是CB的中點(diǎn)，E是DB的中點(diǎn)

14、，證明： AOE 2 COD證明：證法一：取 AB的中點(diǎn)F ,連結(jié)OF、EF,如圖，那么 FOA COD1設(shè)正萬(wàn)形 OABC 的邊長(zhǎng)為 1 , 則 AF2OF . OAOA cos FOA AF2 、12122V D是CB的中點(diǎn)，E是DB的中點(diǎn)11BE BD , CD BC22EFBF222141 -1BE - BC -4452.OC2 CE3 . 12 342_2 EF OF_ 2_ 2j_5i_5254216 . EF2 OF2 OE2 OFE是直角三角形cos EOFOF 2OE 54cos EOF cos FOAEOF FOAEOF FOA COD故結(jié)論得AOE EOF FOA 2 C

15、OD 即 AOE 2 COD證法二：以O(shè)A的延長(zhǎng)線為實(shí)軸，OC的延長(zhǎng)線為虛軸，建立復(fù)平面，取AB的中點(diǎn)F ,連結(jié)OF ,如上圖，則 FOA COD設(shè)向量OF、OE”對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為乙、Z2OAOE OCCE OCzi1 1i2Z22,二 Zi 13-CB421 .3 .i i2 42一 Z1Z2又丁FOA是復(fù)數(shù)Zi的輻角,EOA是復(fù)數(shù)Z2的輻角根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算性質(zhì)有2 FOA AOEAOE 2 COD顯而點(diǎn)評(píng)：證法一是利用平面幾何的方法，證法二是利用復(fù)數(shù)輻角的方法, 易知，證法二比證法一更簡(jiǎn)潔明了。如果平面上的幾何圖形之間的關(guān)系可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，那么這些幾何的問(wèn)題我們就可以通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算來(lái)解決，

16、巧妙地算出 我們想要的結(jié)果，從而使一些比較復(fù)雜的幾何問(wèn)題得到更簡(jiǎn)潔的證法?！纠?】3證明余弦定理。證明：證法畫(huà)出三角形ABC經(jīng)過(guò)A點(diǎn)作BC的高為AD如上圖設(shè)AB的長(zhǎng)為c , AC的長(zhǎng)為b , BC的長(zhǎng)為a ,貝U BD ABcosB ccosB ,AD ABsin B csinB, CDBC BD a ccosB根據(jù)勾股定理，有AC2CD2 AD 2 即 b2 a ccosB 2 csin B 2平方整理后，得2c 2accosB同理：a2 b2 c22bccosA, c2 a2 b2 2abcosC證法二:以B為原點(diǎn)，BA為x軸建立復(fù)平面，在復(fù)平面內(nèi)作三角形 ABC,如圖，那么A、B、C這三

17、點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a, 0 , ccosB csin B i圖. CA BA BC . CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 a ccosB csin B i a ccosB csin B iCA a a ccosB 2 csin B 2又丁 ,8 ba ccosB 2 csin B 2 b兩邊平方，移項(xiàng)，整理，得b2 a2 c2 2accosB同理可證 a2 b2 c2 2bccosA, c2 a2 b2 2abcosC點(diǎn)評(píng)：對(duì)于平面幾何的證明，如果我們采用平面幾何的證法，不僅需要技巧, 而且遇到圖形復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，要找出適當(dāng)?shù)妮o助線是很困難的，甚至有時(shí)還不知 道該如何下手。但是，如果我們采用復(fù)數(shù)的方法去解決，只

18、要建立一個(gè)復(fù)平面， 很多復(fù)雜的問(wèn)題就迎刃而解了。解不等式問(wèn)題我們都知道，實(shí)數(shù)是可以比較大小的，不等式是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上建立的， 雖 然復(fù)數(shù)之間是無(wú)大小可言的，但是，這并不是表示說(shuō)復(fù)數(shù)和不等式毫無(wú)關(guān)系。因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部和虛部是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的，而復(fù)數(shù)與不等式之間的關(guān)系則可以反映在 復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部和模之間的關(guān)系上。所以，關(guān)于不等式的問(wèn)題，我們也可以用 復(fù)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決。1 1【例7】已知0 c 1, 0 b 1且c - , b -2 2求證：，c2 b2 .1c2 b2 .c2 1 b 2 . 1 c2 1 b 2 2 2證明：證法一：設(shè) AE c AG b ,則 EB 1-cGD 1-b在 AOC 和

19、 BOD 中有 OA OC AC OB OD BDOA OB OC OD AC BDOA kb2，OB Jl-c2.一2.求證：0 x b,0 y -b , 0 z -b 33分析：在這里我們可以用三角代換，不等式的基本性質(zhì)等多種方法來(lái)求 證，但如果我們采取復(fù)數(shù)法，證明也很簡(jiǎn)潔明了證明：證法一： b2 0c J1-1b 2OD qc1b 2 ,AC&, BD V2, c2 b2.1 c2b2 c21 b21c21 b 22 2證法二：設(shè) z1 c bi , z2 1 c bi , z3 c (1 b)i ,Z4 (1 c) (1 b)i a,b R.c2b2, 1c2b2. c21b2

20、.1c21b2Z1Z2Z3Z4z1Z2 Z3Z4cbi (1 c)bic (1b)i(1c)(1b)i2 2i 2 <2 . .c2b2, 1c2b2,c21b21c21b222證法一通過(guò)單位正方形的結(jié)合，可以得出結(jié)論。但是，證法一這種方法存在 著很強(qiáng)的技巧性，有時(shí)候我們是難以想到的。這時(shí)我們就應(yīng)該考慮其他的辦法。這個(gè)不等式證明題含有四個(gè)無(wú)理式， 并且這四個(gè)無(wú)理式都有一個(gè)共同的特征： 兩 個(gè)數(shù)的平方和再開(kāi)方。由此我們很容易聯(lián)想到距離公式，進(jìn)而聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模就 順理成章了。b2【例8】 若實(shí)數(shù)x , y , z滿足等式x y z b , x2 y2 z2 (b 0)2(3-7)1 . 22

21、-b z2(3-8)工1(3-9)把(3-7)和(3-8)代入(3-9)式,去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，整理得:3z22bz證法二22-b 同理可證0 x - b ,33（復(fù)數(shù)法）：2b 3(3-10)令乙 xyi , z?y xi ,則由4z22x2y2把(3-7)和(3-8)代入(3-10)得:Ziz 2. 1b2 z22兩邊平方，得：2 b2 2bz z2 4 1b2 z22化簡(jiǎn)，得：0 z 2b32 2同理可證：0 x -b 0 y -b3 3證法一是利用了不等式的基本性質(zhì)解答， 證法二則利用了模的性質(zhì)，兩種方 法體現(xiàn)了兩種不同的數(shù)學(xué)思維。證法一是最常用的方法，但當(dāng)我們想不到證法一 時(shí)，

22、不妨試試其它途徑，比如證法二，或許它會(huì)給我們一種意想不到的結(jié)果，讓 我們體驗(yàn)“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的驚喜。在我們平時(shí)的練習(xí)中， 如果有意識(shí)地“一題多解”，這樣不僅可以開(kāi)拓我們的智力，亦能發(fā)散我們的思解方程問(wèn)題【例9】2解方程2收 1 Jx2 2x 2 Jx2 2x 10。2 . 2, 2解：證法一：原方程兩邊平方，有：2 x2 1 x2 2x 2 x2 2x 10去括號(hào)：4x2 4 x2 2x 2 4 x2 1 , x2 2x 2 x2 2x 10移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，整理得x21 x22xI2x2 x 1,22兩邊平方，得 .x2 1 x2 2x 2 x2 x 1移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，整

23、理得 4x2 4x 1 0 即：2x 12 0,11故x-即這個(gè)方程的根為x- 022分析：證法一是解無(wú)理方程的一般解法，即通過(guò)平方去根號(hào)把它轉(zhuǎn)化成有理 方程再求解。但平方后未知數(shù)x的次數(shù)增高，項(xiàng)數(shù)也增多，甚至有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生增 根，對(duì)求解更加困難。但觀察這個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)根號(hào)里面可以配方，類(lèi)比復(fù)數(shù)的模， 故可以歸結(jié)為復(fù)數(shù)的問(wèn)題來(lái)解決，即證法二。證法二：原方程化為：. (2x)222 (x1)L12一 J(x1)2322x 2i 1 x i x 1 3i 設(shè)乙 2x 2i , z2 (1 x) i ,則 z1 z2 (x 1) 3i顯然當(dāng)且僅當(dāng)0Z1 , 0Z2共線并且同向時(shí)才成立輔角主值相等，故主值的正切值相等。21.1一 x -2x 1 x2這個(gè)方程的根為x 1 02點(diǎn)評(píng)：只要根號(hào)里面的式子可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和，那么這個(gè)根式我