清華在線2009新版GCT精講班數(shù)學(xué)微積分講義

1、GCT數(shù)學(xué).微積分部分主講：劉慶華第11章函數(shù)的極限與連續(xù)11.1函數(shù)一 函數(shù)1定義 設(shè)和是兩個變量，是給定的數(shù)集，如果對于每個數(shù)，變量按照一定的法則，總有一個確定的值與它對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作，數(shù)集叫做這個函數(shù)的定義域，叫做自變量，叫做因變量。2 表示法3 基本初等函數(shù)例1111（1）； （2） ； （3）。 （4）設(shè)是任一實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)部分。例11.1.2 下列函數(shù)是否相同？ （1） ；（否） （2） ；（是） （3） 。（否）例11.1.3 求函數(shù)的定義域。 （1） ； 答 （2） 設(shè)，求的定義域.二 特性1函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果，使得對，有，則稱在區(qū)間上有

2、界，否則，稱在區(qū)間上無界。2函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果且時，有（或）則稱在區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的。3函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，（即若，則必有），如果，有成立，則稱為偶函數(shù)，如果，有成立，則稱為奇函數(shù)。4函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域是，如果常數(shù)，使得對，有，且恒成立，則稱函數(shù)是周期函數(shù)，使上式成立的最小正數(shù)稱為的周期。例11.1.4 判斷函數(shù)的奇偶性。（1）；（2）；（3）。（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶三 函數(shù)的運算1 四則運算2 反函數(shù)3復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)設(shè)，定義域為；，定義域為，值域為，當(dāng)時，稱為的復(fù)合函數(shù)，它是由和復(fù)合而成的函數(shù)，它的定義域

3、為，稱為中間變量。（2）初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算所構(gòu)成的并用一個式子所表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。例1115（1）設(shè)，求。（，）（2）求的反函數(shù)。（）例1116設(shè)函數(shù)的定義域是，且的圖形關(guān)于直線與對稱，證明是以為周期的周期函數(shù)。四補充題例11171 在上有定義，且，則是 （其中為大于零的常數(shù)） 周期函數(shù) 單調(diào)函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù)2設(shè)，且，則函數(shù)的定義域為 3下列函數(shù)中關(guān)于軸對稱的是 4設(shè)函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 5（08）設(shè)則有 。（A） （ B）（C） （D）答（B）。分析：本題主要考查函數(shù)的概念與函數(shù)求值的運算。解法1：由 易知，當(dāng)時，。又所以。故正確選項為

4、（B）解法2：利用特殊值代入法與排除法更簡單取，則，這時選項（A）,（ C）,（）都不成立。故正確選項為（B）11.2數(shù)列的極限1定義 給定數(shù)列，如果當(dāng)無限增大時，其通項無限趨近于某個常數(shù)，則稱數(shù)列以為極限，記作或者。2 單調(diào)性 設(shè)數(shù)列，如果對于，有（），則稱數(shù)列是單調(diào)遞增（單調(diào)遞減）的。3如果，對于有，則稱數(shù)列是有界的。4 數(shù)列極限的性質(zhì) （1）若數(shù)列是收斂的，則它的極限是唯一的。（2）數(shù)列是收斂的，則稱數(shù)列是有界的。5 數(shù)列極限的四則運算設(shè)，（1）（2）（3）11.3 函數(shù)的極限1 函數(shù)極限的定義 （1）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)，如果當(dāng)時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱當(dāng)時，以為極限，記作。

5、（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)，如果當(dāng)時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱當(dāng)時，以為極限，記作。（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，為常數(shù)，如果當(dāng)無限增大時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱當(dāng)時，以為極限，記作。（4）定理 的充分必要條件是且。（5）當(dāng)無限趨近于（）時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱趨近于時，函數(shù)以為極限，記作。（6）當(dāng)無限趨近于（）時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱趨近于時，函數(shù)的左極限為，記作。（7）當(dāng)無限趨近于（）時，函數(shù)的值無限趨近于，則稱趨近于時，函數(shù)的右極限為，記作。（8）定理 的充分必要條件是且。（9）設(shè)，（i）若，則極限點附近有。（ii）極限點附近有，則。2 函數(shù)極限的性質(zhì) （1）如果存在，則

6、極限值是唯一的。（2）如果，則在極限點附近是有界的。3 函數(shù)極限的運算法則（1）四則運算（2）復(fù)合函數(shù)的運算法則設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某鄰域內(nèi)（可除外）有定義，如果（）且，則。4 重要極限*（1）（2） 或例11.3.1 設(shè)，討論是否存在。（不存在）例11.3.2設(shè)，求 。（7）例1133例1134 例1135 ，例1136（1） （1） （2）（） （3）（） （4） （1） （5） （1） （6）（） （7） （）11.4 無窮大量與無窮小量一1 定義（1）如果函數(shù)當(dāng)（或）時的極限為零，則稱函數(shù)當(dāng)（或）時為無窮小量。（2）如果函數(shù)當(dāng)（或）時無限變大，則稱函數(shù)當(dāng)（或）時為無窮大量。記作.2 無窮大量

7、與無窮小量的關(guān)系 在自變量的同一變化過程中，如果函數(shù)為無窮大量，則為無窮小量，反之，如果函數(shù)為無窮小量且，則為無窮大量。3無窮小量與有極限量的關(guān)系，其中4 無窮小量與有界量之積為無窮小量5無窮小量的比較 設(shè)時，(1)若，則稱時比高階無窮小，記作(2) 若是不等于零的常數(shù)），則稱時與同階無窮小。 特別地，當(dāng)時稱時與是等價無窮小，記作時，。當(dāng)時，。(3) 若，則稱時比低階無窮小。6等價無窮小替換定理 設(shè)時，且，存在，則 。例1141（1） （）（2） （）（3） （6） (4) （0）11.5 函數(shù)的連續(xù)性1 連續(xù)的定義(1) 在點連續(xù)：設(shè)在點的某鄰域有定義，如果或 ，則稱在點連續(xù)。（2）左連續(xù)，

8、右連續(xù)（3）在內(nèi)連續(xù)（4）在內(nèi)連續(xù)2 函數(shù)的間斷點及分類3 連續(xù)函數(shù)的運算法則(1)設(shè)，在連續(xù)，則，（），在連續(xù)。(2)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)在連續(xù)，在連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在連續(xù)。結(jié)論：初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。4連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)(1)有界性設(shè)在上連續(xù)，則在上有界。(2)最值存在設(shè)在上連續(xù)，則在上存在最大值和最小值。(3)介值定理設(shè)在上連續(xù)，則對與之間的任何數(shù)，必存在，使得。(4)零點存在定理設(shè)在上連續(xù)，則必存在，使得。例1151求間斷點及判斷其類型例1152設(shè)，為何值(1)存在 ; (2) 在處連續(xù)。例1153證明曲線在內(nèi)至少與軸有一個交點。5 補充題例1154 1下列極限正確的是 不

9、存在 2 下列函數(shù)中在處連續(xù)的是 3若，則必定有 。（A） (B） 在處無定義在的某鄰域中，( D)在的某鄰域中，第12章 一元函數(shù)微分學(xué)12.1導(dǎo)數(shù)的概念一 導(dǎo)數(shù)的定義1設(shè)函數(shù)在某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點取得改變量（）時，相應(yīng)地函數(shù)也有改變量，如果極限存在，則稱函數(shù)在可導(dǎo)，并稱這個極限值 為函數(shù)在點的 導(dǎo)數(shù)，記作，2左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)如果存在，則稱此極限值為在處的左導(dǎo)數(shù)，記作。如果存在，則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù)，記作。3如果在內(nèi)每一點可導(dǎo)，則稱在內(nèi)可導(dǎo)。4如果在內(nèi)可導(dǎo)，且,存在，則稱在內(nèi)可導(dǎo)。二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)等于曲線在點（，）處切線的斜率。 切線方程是，法線方程是。三 可導(dǎo)與

10、連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)，反之不然。四 重要結(jié)論1在處可導(dǎo)2 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)；3 可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)；4可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù)。例12.1.1用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（）例12.1.2 研究在的連續(xù)性與可導(dǎo)性。（連續(xù)不可導(dǎo)）例12.1.3 求的值，使在處可導(dǎo)。（）例12.1.4 （1） 在曲線上求一點，使得在該點的切線斜率為3，并求此切線方程。（）（2）求曲線在處的切線方程。（）（3）求過點并與相切的直線方程。()在可導(dǎo)，求下列極限 （1）（2）例1216（1）可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)； （2）可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)； （3）可導(dǎo)周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù)。12.2 求導(dǎo)公式和導(dǎo)

11、數(shù)運算法則一 求導(dǎo)公式1 2 3 4 5 6 二 四則運算如果，在點都可導(dǎo)，則（1）（2）（3）三 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)由和構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，如果在點可導(dǎo)，在點可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo)，且例1221 求導(dǎo)數(shù)（1），求 () （2） ( ) （3） （）（4），求。 （）例1222求導(dǎo)數(shù)（1） () （2） ()（3） () （4） ()（5） ( ) （6） ()（7） ()（8 ) 例1223 為可導(dǎo)函數(shù)，求 （1） （） （2） 答四 高階導(dǎo)數(shù)例1224 （ 1 ） ，求。 ( 2 ) 設(shè)，求。（）五 補充題例12251 對任意的都有且當(dāng)時，則 2設(shè)可導(dǎo)，且滿足，則曲線在處的切線斜率為3 在上可

12、導(dǎo)，則4如圖是兩個逐段線性的連續(xù)函數(shù)，設(shè)，求的值。( )5在曲線上任一點 處作切線，切線分別教軸與軸于和，則的大小關(guān)系與的位置有關(guān)12.3 微分一 定義 函數(shù)在處的微分設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果函數(shù)的改變量 可表為，其中是不依賴 的常數(shù)，而是比的高階無窮小，則稱 在是可微的，叫做在相應(yīng)于自變量改變量的微分，記作 ，即或。二 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 函數(shù)在點處可微的充分必要條件是它在該點處可導(dǎo)，此時即有。三 微分的幾何意義四微分的基本公式和四則運算法則例1231 （1）設(shè)，求.（2）若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)不為零且不為1，則當(dāng)時該函數(shù)在處的微分是 與等價無窮小 與同階無窮小與低階無窮小 與高階無窮小五補充題例

13、12321（03）如果函數(shù)在處可導(dǎo)，則極限= 等于 等于1 等于0 不存在2 （04）如圖是兩個逐段線性的連 02134685712345-1續(xù) 函數(shù)，設(shè)，則的值為 。 3（05）設(shè)在處可導(dǎo)，且，則 0 1 2 34（06）設(shè)，且導(dǎo)數(shù)存在，則（D ）。（A） 0 (B) (C) (D) 5（07）設(shè)，則（B）。（A） （B）1 （C） （D）6 （08）若函數(shù)可導(dǎo)，且，則=（） 。（A）0 （B）1（C） （D）412.4中值定理1 羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少使得。2 拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少使得成立。（1）如果函數(shù)在區(qū)間上

14、的導(dǎo)數(shù)恒為零，則在區(qū)間上是一個常數(shù)。（2）如果函數(shù)和在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)相等，則這兩個函數(shù)在區(qū)間上至多相差一個常數(shù)。例1241 若方程有一個正根，證明方程必有一個小于的正根。例1242在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)， 當(dāng)時，則開區(qū)間內(nèi)； 當(dāng)時，則開區(qū)間內(nèi)。例1243設(shè)，證明。例1244（1）(05) 若的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，則對任意常數(shù)必有 1 0 （2）（08）函數(shù)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（） 。（A）在上有界 （B）存在（C）存在 （D）12.5 洛必達法則（型極限） 如果和滿足（1）（2）在極限點附近都存在，且（3）存在或無窮大 ，則 例1251求極限（1）（0）（2）（3） （4） （）例1252

15、已知在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，又，求。（）12.6 函數(shù)的單調(diào)性與極值1 函數(shù)的單調(diào)性的判斷法一 函數(shù)的增減性的判斷如果函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)單調(diào)遞增（減）的充分必要條件是，有（）。例1261 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （1） （2） 在，在。二 極值 1 定義設(shè)函數(shù)，若（為某一常數(shù)）均有則稱為的極大值點，為的極大值；若均有則稱為的極小值點，為的極小值。2 取得極值的必要條件設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取得極值，則。3 第一充分條件設(shè)函數(shù)在點一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（或不存在，但在點連續(xù)）如果當(dāng)取左側(cè)鄰近值時，當(dāng)取右側(cè)鄰近值時，則函數(shù)在點處取得極大值；如果當(dāng)取左側(cè)鄰近值時，當(dāng)取右側(cè)鄰近值時，則函數(shù)在點處取得極小值；如

16、果當(dāng)取左右側(cè)鄰近值時，恒為正或恒為負，則函數(shù)在點處沒有極值。4 第二充分條件 設(shè)函數(shù)在點有二階導(dǎo)數(shù)，且，則 如果當(dāng)時, 函數(shù)在點處取得極大值； 如果當(dāng)時, 函數(shù)在點處取得極小值。例1262 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。（極大值，極小值）例1263（1）利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值。（極小值）（2）討論方程的實根個數(shù)。（2個實根）例1264將中的函數(shù)與圖中的導(dǎo)函數(shù)圖形進行匹配。12.7 函數(shù)的最大值最小值問題例1271求在區(qū)間上的最大、最小值。（最大值是，最小值是）例12721（06）設(shè)正圓錐母線長為5，高為h，底面圓半徑為r，在正圓錐的體積最大時， （ C）(A) (B) 1 (C) (D) 2（07

17、） 曲線的點與單位圓 上的點之間的最短距離為則（D ） ( A) (B) (C) (D) 3（08）已知時，總有成立，則參數(shù)的最小取值是（）。（A）32 （ B）64（C）72 （D）9612.8 曲線的凹凸、拐點及漸近線一 曲線的凹凸、拐點1如果曲線在其任一點切線之上（下），則稱此曲線是凹（凸）的。凹凸的分界點稱為曲線的拐點。2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，當(dāng)時，則曲線在是凹（凸）的。3如果，且在兩側(cè)異號，則（,）時曲線的拐點。二 曲線的漸近線1垂直漸近線 當(dāng)（，）時，有，稱是曲線的垂直漸近線。2水平漸近線當(dāng)（，）時，有，（其中為常數(shù)）稱是曲線的水平漸近線。例1281 判斷曲線的凹凸，并求拐點。

18、（在凹，在凸）例1282求的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點和漸近線。 解 （1）定義域 （2）， 令 得，令 得 (3) +0 -0+ -0 +極大拐點極小極大值 ，極小值，拐點 （4），（），是垂直漸近線；,無水平漸近線。例1283（1）求的漸近線。答 垂直漸近線，水平漸近線（2） 證明時，。三 補充題1 當(dāng)時，與，則與是同階無窮小，但不等價與是等價無窮小比是高階無窮小比是低階無窮小2 下圖是關(guān)于汽車位移函數(shù)的圖像。利用圖像回答下列問題。a) 汽車的初始速度？b) 汽車在B, C兩點哪一點速度更快？c) 汽車在A, B, C三點速度是增快還是減慢？d) 在D, E兩點之間，汽車的運動狀況?3

19、圖中給出了的圖形，設(shè)有以下結(jié)論的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間是的極值點是曲線拐點的橫坐標(biāo)則以上結(jié)論中正確的是 ，4設(shè)二階可導(dǎo)，且，則當(dāng)時有 5 設(shè)，則 是的極值點，但不是曲線的拐點不是的極值點，但也不是曲線的拐點是的極值點，且是曲線的拐點不是的極值點，但是曲線的拐點6（03）方程的實數(shù)根的個數(shù)是 1個 2個 3個 4個7（04）如下不等式成立的是 在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上，8 （05）函數(shù)在上有 1條垂直漸近線，1條水平漸近線 1條垂直漸近線，2條水平漸近線 2條垂直漸近線，1條水平漸近線 2條垂直漸近線，2條水平漸近線9（06）如左圖，曲線表示某工廠十年期間的產(chǎn)值變化情況，設(shè)是可導(dǎo)函

20、數(shù)，從圖形上可以看出該廠產(chǎn)值的增長速度是（ A） A. 前兩年越來越慢，后五年越來越快B前兩年越來越快，后五年越來越慢第13章 一元函數(shù)的積分學(xué)13.1不定積分的概念和簡單的計算 一 原函數(shù)、不定積分的概念1定義 對于定義在某個區(qū)間上的函數(shù),若存在函數(shù)，對于該區(qū)間上的一切都有成立，則稱此為的原函數(shù)。若為的一個原函數(shù)，則（是任意常數(shù)） 是的全體原函數(shù)，稱之為的不定積分，記作， 即 稱為積分變量，為被積函數(shù)，為被積表達式。2 設(shè)為可積的奇函數(shù)，則是偶函數(shù)為可積的偶函數(shù)，但不一定是奇函數(shù)為可積的周期函數(shù)，但不一定是周期函數(shù)二. 不定積分基本計算公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （

21、7） （8）三 不定積分的性質(zhì)（1）（2） (3) (4)(5) (為不等于零的常數(shù)) (6)例1311 （1）已知是的一個原函數(shù)，求。（2） （3）（4）已知的一個原函數(shù)為，求。（ ）例1312求 13.2 不定積分的計算方法 1 第一類換元法（湊微分法）設(shè)是的原函數(shù)，且 可導(dǎo)，則是的原函數(shù)，即= =+C （其中）例1321 （1）（2） （）（3） （ ）例1322（1） （）(2) （）（3) （）例1323(1) （）(2) （）(3) （）例1324設(shè)且，求。答2第二類換元法 設(shè)單調(diào)可導(dǎo)，且是的原函數(shù)，則是的原函數(shù)，即例1325求3分部積分法 設(shè)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),則 即 例1326

22、求不定積分（1） （）（2） （）（3） （）（4） （）（5）例1327補充題1（05）設(shè)是的一個原函數(shù)，則不定積分 2（07）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，則（A）。（A） （B） （C） （D） 13.3定積分的概念與性質(zhì) 一.定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在中任意插入若干分點 把區(qū)間分成個小區(qū)，各個小區(qū)間的長度依次為，在每個小區(qū)間上任意取一點作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積，并作和 ，記，如果不論對怎樣分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣取法,只要當(dāng)時，和總趨向于確定的極限,這時，稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作 ， 即= 其中叫作被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分

23、區(qū)間。二 定積分的幾何意義 在上時，表示由曲線，兩條直線 與軸所圍的曲邊梯形的面積; 在上時，由曲線兩條直線與軸所圍成的曲邊梯形位于軸的下方，在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值；在上既取得正值又取得負值時，函數(shù)的圖形某些部分在軸的上方，而其它部分位于軸的下方，的幾何意義是圖中陰影的代數(shù)和。補充規(guī)定： （1） 當(dāng)時， （2） 當(dāng)時， 三 定積分的性質(zhì) 設(shè)為可積函數(shù)，則 (1)（2）（是常數(shù)） （3） （4） = (5) 如果在上，則 （6）上, 則， （7） (8)設(shè)在上，則 (其中是常數(shù)) （9）如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少有一個數(shù)，使成立。另外，記住下面公式，常常會化簡定積分的計算。 (1) （）如果函數(shù)以為周期連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)，則例13.3.1比較與的大小。（大）例1332 設(shè)，利用幾何意義，求。（）例1333設(shè)，按積分值大到小次序排序下列積分 （1），（2），（3）。13.4微積分基本公式 定積分的計算一牛頓萊布尼茲公式1 變上限函數(shù)定義 設(shè)可積，稱為變上限定積分，它是上限變量的函數(shù)。 2 定理 如果在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且；如果函數(shù)在上連續(xù)，可導(dǎo)，則。例1341（1）（2） 設(shè)，求。答（3），求。答例1342 （1）（2）（3）（4）3 .牛頓萊布尼茲公式 定理 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為的一個原函數(shù)，即，則 例1343計