高二數(shù)學競賽試題及其解析

1、隴南一中2011-2012學年第二學期高二 數(shù)學競賽試題及其答案解析滿分：150分 考試時間：120分鐘命題范圍:數(shù)學必修1-5；數(shù)學選修系列1（文）系列2（理）.考生注意:本試題共分兩卷,第卷的答案涂在答題卡相應的位置,第卷在答題紙上作答.第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.(2011全國卷理) 復數(shù)的共軛復數(shù)是 A. B. C. D.答案:C2.（2010全國，理2）記cos（-80°）=k，那么tan100°等于A.B. -C. D.-答案：B3如圖，一個空間幾何體的正視圖，左視圖，俯視圖均為全等的等腰直角三

2、角形，如果直角三角形的直角邊長都為1，那么這個幾何體的體積為（ ） 正視圖左視圖俯視圖A B C D1答案：A4.(2010安徽,理6)設abc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是答案:D5.(2010課標全國卷,理7)如果執(zhí)行右面的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于A.B.C.D.答案:D6.（2010全國，理6）某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A.30種B.35種C.42種D.48種答案：A7.函數(shù)的定義域為R，若與都是奇函數(shù)，則( )A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù) C. D.是奇函數(shù)答案：D解:

3、與都是奇函數(shù)，函數(shù)關于點，及點對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，即是奇函數(shù).8.（2010全國，理8）設a=log32，b=ln2，c=5,則A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a答案：C9.（2010全國卷，理7）為了得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖像，只需把函數(shù)y=sin（2x+）的圖像A.向左平移個長度單位B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位D.向右平移個長度單位答案：B10.(2010安徽,理10)設a是任意等比數(shù)列,它的前n項和,前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是A.X+Z=2Y B.Y

4、(Y-X)=Z(Z-X)C.Y=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D11. 已知直線與拋物線相交于兩點，為的焦點，若，則 （ ）A. B. C. D. 答案：D解：設拋物線的準線為直線 恒過定點P .如圖過分 別作于,于, 由,則,點B為AP的中點.連結,則, 點的橫坐標為, 故點的坐標為.12.(2010課標全國卷,理10)設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為A.a2B.a2C.a2D.5a2答案:B第卷二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.（2010北京，理13）已知雙曲線=1的離心率為2，焦點與橢圓=1的焦點相同，那么雙曲線的焦點

5、坐標為_;漸近線方程為_.答案：（±4，0） x±y=014.（2010北京，理11）從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.由圖中數(shù)據(jù)可知a=_.若要從身高在120，130，130，140，140，150三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140，150內的學生中選取的人數(shù)應為_.答案：0.030 315.（2010北京，理14）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則函數(shù)f（x）的最小正周期為_;y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所

6、圍區(qū)域的面積為_.說明： “正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續(xù).類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動.答案：4 +116.(2010課標全國卷,理13)設y=f(x)為區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù),且恒有0f(x)1,可以用隨機模擬方法近似計算積分.先產(chǎn)生兩組(每組N個)區(qū)間0,1上的均勻隨機數(shù)x1,x2,xN和y1,y2,yN,由此得到N個點(xi,yi)(i=1,2,N).再數(shù)出其中滿足yif(xi)(i=1,2,N)的點數(shù)N1,那么由隨機模擬方法可得積分

7、的近似值為_.答案:三、解答題:解答應寫出相應過程或演算步驟.17.（2010全國卷，理17）ABC中，D為邊BC上的一點，BD=33，sinB=， cosADC=，求AD.解：由cosADC=>0知B<，由已知得cosB=，sinADC=，從而sinBAD=sin（ADC-B）=sinADCcosB-cosADCsinB=×-×=.由正弦定理得=，AD=25.18.（2010北京，理18）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+x2（k0）.（1）當k=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程;（2）求f（x）的單調區(qū)間.解：（1）當k=2時，f（

8、x）=ln（1+x）-x+x2，f（x）=-1+2x.由于f（1）=ln2，f（1）=，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程為y-ln2=（x-1），即3x-2y+2ln2-3=0.（2）f（x）=，x（-1，+）.當k=0時，f（x）=-.所以，在區(qū)間（-1，0）上，f（x）>0;在區(qū)間（0，+）上，f（x）<0.故f（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，0），單調遞減區(qū)間是（0，+）.當0<k<1時，由f（x）=0，得x1=0，x2=>0.所以，在區(qū)間（-1，0）和（，+）上，f（x）>0;在區(qū)間（0，）上，f（x）<0.故f（x）的單調遞增

9、區(qū)間是（-1，0）和（，+），單調遞減區(qū)間是（0，）.當k=1時，f（x）=.故f（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，+）.當k>1時，由f（x）=0，得x1=（-1，0），x2=0.所以，在區(qū)間（-1，）和（0，+）上，f（x）>0;在區(qū)間（，0）上，f（x）<0.故f（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，）和（0，+），單調遞減區(qū)間是（，0）.19.(2010課標全國卷,理17)設數(shù)列an滿足a1=2,an+1-an=3·22n-1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解:(1)由已知,當n1時,an+1=(an+1-an)+(an-a

10、n-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以數(shù)列an的通項公式為an=22n-1.(2)由bn=nan=n·22n-1知Sn=1·2+2·23+3·25+n·22n-1.從而22·Sn=1·23+2·25+3·27+n·22n+1.-,得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n·22n+1,即Sn=(3n-1)22n+1+2.20.（2010全國卷，理20）如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標為T1，T2，T3，

11、T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9，電流能否通過各元件相互獨立.已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999.（1）求p；（2）求電流能在M與N之間通過的概率.解：記Ai表示事件：電流能通過Ti，i=1，2，3，4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一個能通過電流.B表示事件：電流能在M與N之間通過.（1） =··，A1，A2，A3相互獨立，P（）=P（··）=P（）P（）P（）=（1-p）3.又P（）=1-P（A）=1-0.999=0.001，故（1-p）3=0.001，p=0.9.（2）B=A

12、4+·A1·A3+··A2·A3，P（B）=P（A4+·A1·A3+··A2·A3）=P（A4）+P（·A1·A3）+P（··A2·A3）=P（A4）+P（）P（A1）P（A3）+P（）P（）P（A2）P（A3）=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.989 1.21.（2010北京，理16）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，

13、AB=，CE=EF=1.（1）求證：AF平面BDE;（2）求證：CF平面BDE; （3）求二面角A-BE-D的大小.（1）證明：設AC與BD交于點G.因為EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AFEG.因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.（2）證明：因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系Cxyz.則C（0，0，0），A（， ，0），B（0，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（，1）. 所以=（，1）， =（0，-，1）， =（-，0，1）.所以&

14、#183;=0-1+1=0，·=-1+0+1=0.所以CFBE，CFDE.所以CF平面BDE.（3）解：由（2）知， =（，1）是平面BDE的一個法向量.設平面ABE的法向量n=（x，y，z），則n·=0， n·=0，即所以x=0，且z=y.令y=1，則z=.所以n=（0，1，）.從而cosn，=.因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D的大小為.22.（2010天津，理20）已知橢圓（a>b>0）的離心率e=，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.（1）求橢圓的方程；（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B.已知點A的坐標為（-a，0），點Q（0，y0）在線段AB的垂直平分線上，且·=4.求y0的值.解：（1）由e=，得3a2=4c2.再由c2=a2-b2，得a=2b.由題意可知×2a×2b=4，即ab=2.解方程組得a=2，b=1.所以橢圓的方程為+y2=1.（2）由（1）可知A（-2，0）.設B點的坐標為（x1，y1），直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k（x+2）.于是A，B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0.由-2x1=，得x1=.從而y1=.設線段A