2023-2024學(xué)年人教B版數(shù)學(xué)必修第二冊同步檢測（解析版）

第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與募函數(shù)

4.6函數(shù)的應(yīng)用（二）

一、選擇題

1.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y/之間的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列函數(shù)中最

能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是（）

:f3

A.v=2tB.y=2C.y=log2tD.y=t

2.某工廠去年總產(chǎn)值為“，計(jì)劃今后5年內(nèi)每年比上一年增長10%,則這5年的最后一年該廠的總產(chǎn)值是（）

A.1.1%B.l.l5aC.l.l6aD.（l+l.l5）a

3.我國古代著名的思想家莊子在《莊子?天下篇》中說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭'’.用現(xiàn)代語言敘述

為：一尺長的木棒，每天取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.這樣，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺

之錘”看成單位力”，那么x天后剩下的部分y與X的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.eJV*]B.y.x'eM）

c.r=2*（x6jV）D.y=（xe:N'）

4.某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2010年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過400萬元的年份

是（參考數(shù)據(jù)：1g1-12?0.05,lgl.3a0.11,1g2?0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

5.某創(chuàng)業(yè)公司2018年投入的科研資金為100萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研資金比上一年增長20%,

則該廠投入的科研資金開始超過200萬元的年份是

A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年

6.某儲蓄所計(jì)劃從2004年底起，力爭做到每年的吸蓄量比前一年增加8%,則到2007年底該蓄所的吸蓄

量比2004年的吸蓄量增加（）

A.24%B.32%C.（1.08'—1）100%D.（1.084—1）100%

7.在一定的儲存溫度范圍內(nèi)，某食品的保鮮時間火單位：小時）與儲存溫度*（單位：黃足函數(shù)關(guān)系

I=?5「伊=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，/方為常數(shù)），若該食品在0七時的保鮮時間為120小時，在30p

時的保鮮時間為15小時，則該食品在20p時的保鮮時間為（）

A.30小時B.40小時C.50小時D.80小時

8.某化工廠生產(chǎn)-一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜

質(zhì)含量減少；要使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，則至少應(yīng)過濾的次數(shù)為（已知：lg2=0.3010,lg3=0.4771）（）

A.8B.9C.10D.11

9.某工廠2017年投入的科研資金為120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研資金比上年增長12%,則該

廠投入的科研資金開始超過200萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：1g1.12=0.05,lg3=0.48,lg2=0.30）（）

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

10.雙“十一”要到了，某商品原價為a元，商家在節(jié)前先連續(xù)5次對該商品進(jìn)行提價且每次提價10%.然后在

雙“十一”期間連續(xù)5次對該商品進(jìn)行降價且每次降價10%.則最后該商品的價格與原來的價格相比

A.相等B.略有提高C.略有降低D.無法確定

11.某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

（）（參考數(shù)據(jù)：lgL12姑0.05,lgl.3*OILIg2%0.30

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

12.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100T,水溫與時間t（min）近似

滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y（?C）與時間「（min）近似滿足函數(shù)的關(guān)系式

為y=8。0*+占S5為常數(shù)），通常這種熱飲在40'C時，口感最佳，某天室溫為20?。時，沖泡熱飲的

部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為

A.35minB.3Ctain

C.25minD.20min

二、填空題

13.某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價格就降低;，則現(xiàn)在價格為8100元的筆記本電腦，12

年后的價格將降為元.

14.濮陽市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則我市這兩年生產(chǎn)總

值的年平均增長率為.

15.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線ynaej假設(shè)過5秒

后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m秒甲桶中的水只有:升，則m的值為.

16.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震級，其計(jì)算公式是M=lgA-lgAo,其中，4是被測地震的最大振

幅，4）是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅，M為震級.則8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍.

三、解答題

17.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是《，經(jīng)過一段時間f后的

溫度是T,則有『一力其中4表示環(huán)境溫度，〃稱為半衰期且。=10.現(xiàn)有一杯用

89℃熱水沖的速溶咖啡，放置在25%：的房間中20分鐘，求此時咖啡的溫度是多少度？如果要降溫到35。（2,

共需要多長時間？（1g2ao.301,結(jié)果精確到0.1）

18.某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間f的變化規(guī)律是N=Noe”,其中No,%是正的常數(shù)，e為自然對

數(shù)的底數(shù).

（1）判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；

（2）把t表示成原子數(shù)N的函數(shù).

19.數(shù)據(jù)顯示，某廳公司2018年上半年五個月的收入情況如下表所示：

月份23456

月收入（萬元）1.42.565.311121.3

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2018年月收入;V（萬元）與月份.1的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型>,=x=與

V=4供選擇.

（1）你認(rèn)為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；

（2）試用你認(rèn)為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考

數(shù)據(jù)掘2=a.301￡>Ig3=6.4771）

20.大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函數(shù)y/log3（士），

31CQ

單位是m/s,6是表示魚的耗氧量的單位數(shù).

（1）當(dāng)一條鯉魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？

（2）計(jì)算一條魚靜止時耗氧量的單位數(shù).

（3）某條鞋魚想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

21.科學(xué)研究表明：人類對聲音有不的感覺，這與聲音的強(qiáng)度【（單位：瓦/平方米）有關(guān).在實(shí)際測量時，常

用L（單位：分貝）來表示聲音強(qiáng)弱的等級，它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式：L，=a-lg；.（a是常數(shù)），其中

?0

[0=1x10-工瓦/平方米.如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度【=1x10-1瓦/平方米，它的強(qiáng)弱等級L=M分貝.

（1）已知生活中幾種聲音的強(qiáng)度如表：

聲音來源

聲音大小風(fēng)吹落葉沙沙聲輕聲耳語很嘈雜的馬路

強(qiáng)度】（瓦/平方米）1XIO-111X10-"

強(qiáng)弱等級L（分貝）10m90

求a和m的值

（2）為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強(qiáng)弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音強(qiáng)度I的最大值.

22.醫(yī)藥公司針對某種疾病開發(fā)了一種新型藥物，患者單次服用制定規(guī)格的該藥物后，其體內(nèi)的藥物濃度

“mg/L）隨時間r（八）的變化情況（如圖所示）：當(dāng)0wrs1時，c與t的函數(shù)關(guān)系式為e=2r—1；（m為常

數(shù)）；當(dāng)f>1時，c與t的函數(shù)關(guān)系式為。「k,（m為常數(shù)）.服藥2Zi后，患者體內(nèi)的藥物濃度為

這種藥物在患者體內(nèi)的藥物濃度不低于最低有效濃度，才有療效；而超過最低中毒濃度，患者就會有危險(xiǎn).

（1）首次服藥后，藥物有療效的時間是多長？

（2）首次服藥1小時后，可否立即再次服用同種規(guī)格的這種藥物？

（參考數(shù)據(jù)：Ig2r0.3,Ig3*0.477）

第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)

4.6函數(shù)的應(yīng)用（二）

一、選擇題

1.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于之間的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列函數(shù)中最

能近似刻畫y與￡之間關(guān)系的是（）

A.y=2尸B.y=2*C.y=log2tD.y=t*

【答案】C

【解析】

根據(jù)圖中的特殊點(diǎn)（2,1）,（4,2）,通過選項(xiàng)可知只有C：y=log2*滿足題意?故選C-

2.某工廠去年總產(chǎn)值為出計(jì)劃今后5年內(nèi)每年比上一年增長10%,則這5年的最后一年該廠的總產(chǎn)值是（）

A.1.1%B.l.l5aC.1.16?D.（l+l.l5）a

【答案】B

【解析】

由題意，得x年后的總產(chǎn)值為y="（+10%尸，

則5年后的總產(chǎn)值為。（為10%）5,即LN.

本題選擇B選項(xiàng).

3.我國古代著名的思想家莊子在《莊子?天下篇》中說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭'’.用現(xiàn)代語言敘述

為：一尺長的木棒，每天取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.這樣，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺

之錘''看成單位"1”，那么x天后剩下的部分y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=B.y=xi（xeN*）

c.y=2*（XeJV）D.y=^（xe

【答案】D

【解析】

由題意可得：剩下的部分所構(gòu)成的數(shù)列為，

.??X天后剩下的部分y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=e：N"）

故選:D

4.某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2010年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過400萬元的年份

是(參考數(shù)據(jù):炫1.12。0.05,lgl.3?0.11,1g2?0.30)

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)第?年開始超過400萬元，

則130x(1+12%)"?°>400,

化為:(n-2010)lgl.l2>21g2-lgl.3,

解可得：〃一2010>21g-13=9.8；

lgl.12

則心202(),

故選：C.

5.某創(chuàng)業(yè)公司2018年投入的科研資金為100萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研資金比上一年增長20%,

則該廠投入的科研資金開始超過200萬元的年份是

A.2021年B.2022年C.2023年D.2024年

【答案】B

【解析】

某創(chuàng)業(yè)公司2018年投入的科研資金為10()萬元，

在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研資金比上一年增長20%,

則x年后投入的科研資金為：

y=100(1+20%)，=100x1.2，

由lOOx1.20200,

解得近4.

該廠投入的科研資金開始超過200萬元的年份是2018+4=2022年.

故選:B.

6.某儲蓄所計(jì)劃從2004年底起，力爭做到每年的吸蓄量比前一年增加8%,則到2007年底該蓄所的吸蓄

量比2004年的吸蓄量增加()

A.24%B.32%C.100%D.（1.084-1）100%

【答案】c

【解析】

設(shè)2004年儲蓄量為a,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得

2005年儲蓄量為0(1+0.08)=198a

2006年儲蓄量為8(1+0J?)(l+0QB)=L08aa

2007年儲蓄量為+(k08)(l+(W8X1+0J08)=lX)8Ja

所以2007年底該蓄所的吸蓄量比2004年的吸蓄量增加了

所以選C

7.在一定的儲存溫度范圍內(nèi)，某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲存溫度x(單位：。。滿足函數(shù)關(guān)系

1;e-2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù),比。為常數(shù))，若該食品在時的保鮮時間為120小時，在30P

時的保鮮時間為15小時，則該食品在20：。時的保鮮時間為()

A.30小時B.40小時C.50小時D.80小時

【答案】A

【解析】

由題意可知［?總產(chǎn)工,'8=±,=

=J582

?.=(e1**)2e?=i.l20=30.

故選：A.

8.某化工廠生產(chǎn)--種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%,若初時含雜質(zhì)2%,每過濾一次可使雜

質(zhì)含量減少;，要使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，則至少應(yīng)過濾的次數(shù)為(己知：lg2=O.3OIO,lg3=0.4771)()

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

設(shè)至少需要過濾■次，則0.020,001>

哂4

所以nig：4-3,

即口之冷=,皿。1IM2,

S-lp2XCL3018-04471

又n€N,所以nN11.

所以至少過濾11次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求，故選D.

9.某工廠2017年投入的科研資金為120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研資金比上年增長12%,則該

廠投入的科研資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：Igl.12=0.05,lg3=0.48,lg2=0.30)()

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【答案】C

【解析】

設(shè)第n年后，建立不等式120(1+12%)->200,

"53可=QM。-㈣36=黑-=4.4

故從2017年起第5年，故為2022,故選C.

10.雙“十一”要到了，某商品原價為a元，商家在節(jié)前先連續(xù)5次對該商品進(jìn)行提價且每次提價10%.然后在

雙“十一,，期間連續(xù)5次對該商品進(jìn)行降價且每次降價10%則最后該商品的價格與原來的價格相比

A.相等B.略有提高C.略有降低D.無法確定

【答案】C

【解析】

a+10%/?a-10%;5=idso.9B=o.99i<i，

故選c.

11.某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此

基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12、，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

()(參考數(shù)據(jù)：lgl.12*0.05,lgl.3.0.11,lg2*0.30)

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【答案】B

【解析】

由題意求滿足130(1+>200最小n值,

由130（1+I2%『T>20。得

lg[130(l+12%)*-1]>lg200二lgl.3+2+(n-l)lgl.l2>lg2+2

0.11+OQ5QI-1)>0.3An>4J[n3=5,開始超過200萬元的年份是2017+5-1=2021,選B.

12.某種熱飲需用開水沖泡，其基本操作流程如下：①先將水加熱到100T,水溫y(T)與時間r(mln)近似

滿足一次函數(shù)關(guān)系；②用開水將熱飲沖泡后在室溫下放置，溫度y("C)與時間r(mln)近似滿足函數(shù)的關(guān)系式

為了=80(：)m+匕(。,.為常數(shù)),通常這種熱飲在40，C時，口感最佳’某天室溫為20'C時’沖泡熱飲的

部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，那么按上述流程沖泡一杯熱飲，并在口感最佳時飲用，最少需要的時間為

A.35minB.30mhi

C.25miuD.20min

【答案】c

【解析】

由題意，當(dāng)把65時，函數(shù)圖象是一個線段，當(dāng)侖5時，函數(shù)的解析式為y=80g)f+b，

點(diǎn)(5,100)和點(diǎn)(15,60),代入解析式，

k60=80（|）"+b

解得〃=5,b=20,

故函數(shù)的解析式為y=80(；)9+20,侖5.令y=40,解得t=25,

.??最少需要的時間為25min.

故選C.

二、填空題

13.某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價格就降低;則現(xiàn)在價格為8100元的筆記本電腦，12

年后的價格將降為元.

【答案】2400

【解析】

12年后的價格可降為81(X)X=2400兀.

故答案為2400.

14.濮陽市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q，則我市這兩年生產(chǎn)總

值的年平均增長率為.

［答案］J(i+p)(l+q)-1

【解析】

設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為由題意(l+x)2=(l+p)(l+g),

所以x=v'(!+p)(l+^-1,故填+p)(l+q)-1.

15.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y=a鏟L假設(shè)過5秒

后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m秒甲桶中的水只有:升，則m的值為.

【答案】5

【解析】

v5秒后兩桶水量相等1?.ae"==>n=-：ln2

若長秒后水量為Wae^=ae-ikta3=2n-2kln2：=-21n2,即k=10

449

.%m=10-5=5

本題正確結(jié)果：5

16.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震級，其計(jì)算公式是M=lgA-lgAo,其中，A是被測地震的最大振

幅，Ao是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅，M為震級.則8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的倍.

【答案】100。

【解析】

由M=lgA-lgAo可得，M=lgy-=?7-=10M,

當(dāng)M=8時，地震的最大振幅為4g=A/108；

當(dāng)M=5時，地震的最大振幅為A,=A/105：

...兩次地震的最大振幅之比是：4=紐4=100（），

二8級地宸的最大振幅是5級地震的最大振幅的1000倍.

故答案為：1000.

三、解答題

17.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是勾，經(jīng)過一段時間f后的

￡

溫度是T，則有7_〃=（7；-其中［表示環(huán)境溫度，〃稱為半衰期且人=10.現(xiàn)有一杯用

89°C熱水沖的速溶咖啡，放置在25。（2的房間中20分鐘，求此時咖啡的溫度是多少度？如果要降溫到35。（2,

共需要多長時間？（1g2?0.301,結(jié)果精確到0.1）

【答案】41℃,需要約26.8分鐘.

【解析】

由條件知，4=89,兀=25,t=20.

t_20

代入f=（『7；）［3,得7—25=（89—25）.（丁,

解得丁=41。。；

t

如果要降溫到35℃,則35-25=（89-25）1；）°.

解得1*26.8.

■此時咖啡的溫度41℃,要降溫到35℃,共需要約26.8分鐘.

18.某種放射性元素的原子數(shù)N隨時間，的變化規(guī)律是％="。"〃，其中N。,，是正的常數(shù)，e為自然對

數(shù)的底數(shù).

（1）判斷函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù);

（2）把f表示成原子數(shù)N的函數(shù).

1,N

【答案】⑴減函數(shù)：（2）t=--\n-（其中0<NWN0）.

【解析】

（1）由已知可得"二黑］!）

因?yàn)?I是正常數(shù)，e>l,所以e”>l，即0<斗<1,

又N。是正常數(shù)，所以NMNO］』）是關(guān)于，的減函數(shù)

_?NN1N

（2）因?yàn)镹=N°e"‘，所以"'=R-,所以-〃=lnR-,即。=一,ln豆（其中OvNWN。）.

19.數(shù)據(jù)顯示，某廳公司2018年上半年五個月的收入情況如下表所示:

月份23456

月收入（萬元）1.42.565.311121.3

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2018年月收入v（萬元）與月份、的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型I，=/與

.不供選擇.

（1）你認(rèn)為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；

（2）試用你認(rèn)為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾個月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考

數(shù)據(jù)幅2=0.301C,Ig3=0.4771）

【答案】（I）函數(shù)y=f這一模型較好（2）大約從第9月份開始

【解析】

（1）畫出散點(diǎn)圖

由圖可知點(diǎn)(24.4)；(3256);(4531)；(5；11);(6,21.3)基本上是落在函數(shù)y=］的圖像的附近,

因此用函數(shù)y=三這一模型較好

(2)當(dāng)蘭>100W.2*>300,：-：lg2*>1830c

BPxlg2>2+lg3管=^^=3

故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過10()萬元.

另解：當(dāng)t>100時，2*>300

8

28=256<300：2。=512>300

故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元.

20.大西洋鯉魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鯉魚的游速可以表示為函數(shù)y==log3(強(qiáng)),

單位是m/s,9是表示魚的耗氧量的單位數(shù).

(1)當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？

(2)計(jì)算一條魚靜止時耗氧量的單位數(shù).

(3)某條鯉魚想把游速提高1m/s,那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

【答案】(1)1(2)100(3)9

【解析】

⑴由y=1log3(jy-)可知，

當(dāng)。=900時，v=：log3黑=Jlog39=l(m/s).

所以當(dāng)一條鞋魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是1m/s.

（2）令y=0,吧哂4=。工/=1

9=100一條魚靜止時耗出量為10C

（3）由V2-V=l,即與咱念一%咱念=1，得去=9.

所以耗氧量的單位數(shù)為原來的9倍.

21.科學(xué)研究表明：人類對聲音有不的感覺，這與聲音的強(qiáng)度1（單位：瓦/平方米）有關(guān).在實(shí)際測量時，常

用L（單位：分貝）來表示聲音強(qiáng)弱的等級，它與聲音的強(qiáng)度I滿足關(guān)系式：L=aa是常數(shù)），其中

■0

[0=1x10-12瓦/平方米_如風(fēng)吹落葉沙沙聲的強(qiáng)度[=