2022-2023學(xué)年云浮市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級(jí)品，則任選一件為一級(jí)品的概率為（）A．75% B．96% C．72% D．78.125%2．已知函數(shù)，滿足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4．小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)＝（）A． B．C． D．5．已知實(shí)數(shù)成等差數(shù)列,且曲線取得極大值的點(diǎn)坐標(biāo)為,則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．26．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為，則的系數(shù)為（）A．21 B．63 C．189 D．7297．若，滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．5 D．68．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)9．己知變量x，y的取值如下表：x3456y2.5344.5由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且求得回歸方程為，據(jù)此預(yù)測(cè)：當(dāng)時(shí)，y的值約為A．5.95 B．6.65 C．7.35 D．710．已知集合滿足，則集合的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A．0 B．1C．2 D．12．已知復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線H的漸近線為x+2y＝1與x﹣2y＝1．若H經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），則雙曲線H的方程為_____．14．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為．如果比賽采用“五局三勝”制，求甲以獲勝的概率______15．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________．16．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，有下列五個(gè)命題：①若，與平面，都平行，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，則；⑤若，，，則.其中所有真命題的序號(hào)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）設(shè)P為曲線C上到極點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，求點(diǎn)P的極坐標(biāo)；（2）求直線被曲線C所截得的弦長(zhǎng).19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．20．（12分）已知且，（1）求的解析式；（2）判斷的奇偶性，并判斷當(dāng)時(shí)的單調(diào)性；（3）若是上的增函數(shù)且，求m的取值范圍.21．（12分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)D，求；（Ⅱ）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求△ABC的面積．22．（10分）（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說(shuō)明理由；（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

不妨設(shè)出產(chǎn)品是100件，求出次品數(shù)，合格品中一級(jí)品數(shù)值，然后求解概率.【詳解】解：設(shè)產(chǎn)品有100件，次品數(shù)為：4件，合格品數(shù)是96件，合格品中一級(jí)品率為75%.則一級(jí)品數(shù)為：96×75%＝72，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，恰好取到一級(jí)品的概率為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率的應(yīng)用，設(shè)出產(chǎn)品數(shù)是解題的關(guān)鍵，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.2、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。3、C【解析】試題分析：由，可得，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，－2），故選C．考點(diǎn)：考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，然后利用復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．4、A【解析】

這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，按照公式計(jì)算，即可得出結(jié)論．【詳解】小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3＝108種情況，即n(B)＝108,4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的情況有種，即n(AB)＝24，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．5、B【解析】由題意得，，解得由于是等差數(shù)列，所以，選B.6、C【解析】分析：令得各項(xiàng)系數(shù)和，由已知比值求得指數(shù)，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，再令的指數(shù)為4求得項(xiàng)數(shù)，然后可得系數(shù)．詳解：由題意，解得，∴，令，解得，∴的系數(shù)為．故選C．點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式的性質(zhì)．在的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，而展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是在展開式中令變量值為1可得，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式為．7、C【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【詳解】解：變量，滿足約束條件的可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最小值，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8、B【解析】解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由解得：，即是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).本題選擇B選項(xiàng).9、B【解析】

先計(jì)算數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)，代入回歸方程得到，再代入計(jì)算對(duì)應(yīng)值.【詳解】數(shù)據(jù)中心點(diǎn)為代入回歸方程當(dāng)時(shí)，y的值為故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)據(jù)的回歸方程，計(jì)算數(shù)據(jù)中心點(diǎn)代入方程是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、B【解析】

利用列舉法，求得集合的所有可能，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于集合滿足，所以集合的可能取值為，共種可能.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點(diǎn)：向量的投影.12、A【解析】

化簡(jiǎn)得到，故，則，，驗(yàn)證得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以z的共扼復(fù)數(shù)為，則，.故滿足.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

設(shè)共漸近線的雙曲線系方程后，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案.【詳解】依題意可設(shè)所求雙曲線方程為，因?yàn)镠經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），所以，即，所以雙曲線的方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了用共漸近線的雙曲線系方程求雙曲線方程，設(shè)出共共漸近線的雙曲線系方程是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用二項(xiàng)分布可求甲以獲勝的概率.【詳解】設(shè)“甲班以3:1”獲勝為事件.若甲班以3:1獲勝，則前3局甲班恰好勝2局，然后第4局勝．所以，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算，注意利用常見的分布（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）來(lái)幫助計(jì)算概率，本題為基礎(chǔ)題.15、【解析】

令，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究得出函數(shù)的單調(diào)性，從而分別求出的最小值和的最大值，從而求得的范圍，得到結(jié)果.【詳解】由令，則對(duì)恒成立，所以在上遞減，所以，令，則對(duì)恒成立，所以在上遞增，所以，所以，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合條件，求得結(jié)果，將題的條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.16、②⑤【解析】

根據(jù)相關(guān)定義、定理進(jìn)行研究，也可借助長(zhǎng)方體、正方體等進(jìn)行驗(yàn)證【詳解】①當(dāng)時(shí)，與不一定平行，故①錯(cuò)誤；③當(dāng)垂直于與交線時(shí)，才垂直于，故③錯(cuò)誤；④可能在上，故④錯(cuò)誤；故②⑤正確【點(diǎn)睛】本題考查利用性質(zhì)、定理判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）最大值為，最小值為【解析】

（1）求出，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以得到求出的值；（2）求出的單調(diào)區(qū)間．研究函數(shù)在特定區(qū)間上的最值，比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)值的大小即判斷最值．【詳解】解：（1）∵，∴．∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴．∴．∴（檢驗(yàn)符合）．（2）由（1），知．∴．∴．令，得，解之，得，．列表如下：∴當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值．而，，，且．∴函數(shù)在上的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的能力，考查構(gòu)造函數(shù)比較大小，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．18、(1)(2)【解析】

(1)首先求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，再求出直線，故可求出另一交點(diǎn)，化為極坐標(biāo)方程即為所求；（2）利用圓心到直線的距離公式即得答案.【詳解】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：，圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，直線為：，與圓交于點(diǎn)，化為極坐標(biāo)為，故點(diǎn)P的極坐標(biāo)為；（2）直線的直角坐標(biāo)方程為：，圓心到直線的距離，所截弦長(zhǎng)為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)，參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程之間的互化，直線與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度不大.19、（1）見解析；（2）見解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.20、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合換元法，令則，求出的表達(dá)式即可；（2）結(jié)合（1）中的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的定義域和與的關(guān)系；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則即可求解；（3）利用函數(shù)在上的單調(diào)性和奇偶性得到關(guān)于m的不等式，解不等式即可.【詳解】（1）令，則，所以，即.（2）由（1）知，，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，是上的增函數(shù)，所以函數(shù)為上的減函數(shù)，為上的減函數(shù)，又因?yàn)椋酁樯系脑龊瘮?shù).（3）∵，∴，又為上的奇函數(shù)，∴，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，∴，解之得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷、利用函數(shù)在給定區(qū)間上的奇偶性和單調(diào)性解不等式；考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力；屬于綜合性試題、中檔題.21、（Ⅰ）0（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）先利用基向量表示出，然后利用數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算；（Ⅱ）先利用基向量表示出，求出取最小值時(shí)，角的正弦值，然后可得面積.【詳解】（Ⅰ）∵AD是∠BAD的角平分線，∴，即∴．∴0.（Ⅱ）∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴．（5）．當(dāng)且僅當(dāng)5+4cosA＝1（5﹣4cosA），即cosA時(shí)取等號(hào)．此時(shí)△ABC的面積S．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，選擇合適的基底是求解的關(guān)鍵，基底選擇時(shí)一般是利用已知信息較多的向量，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個(gè)數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計(jì)數(shù)原理可得的值.【詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方