湖南省校級(jí)聯(lián)考2023學(xué)年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生請(qǐng)注意：1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（ ）A1B2CD2已知函數(shù)，集合，則（ ）ABCD3若向量，則（ ）A30B31C32D334設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，則（ ）A128B65C64D6

2、35設(shè)復(fù)數(shù)z，則|z|（）AB CD6已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（ ）A1B2C3D47設(shè)全集，集合，則集合（ ）ABCD8已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）ABCD9設(shè)集合，則（ ）ABCD10若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是( )A1B-3C1或D-3或11點(diǎn)在曲線上，過(guò)作軸垂線，設(shè)與曲線交于點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為0，則稱點(diǎn)為曲線上的“水平黃金點(diǎn)”，則曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（ ）A0B1C2D312設(shè)全集，集合，.則集合等于（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13由于受到網(wǎng)絡(luò)電

3、商的沖擊，某品牌的洗衣機(jī)在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟(jì)損失，現(xiàn)將地區(qū)200家實(shí)體店該品牌洗衣機(jī)的月經(jīng)濟(jì)損失統(tǒng)計(jì)如圖所示，估算月經(jīng)濟(jì)損失的平均數(shù)為，中位數(shù)為n，則_.14已知平面向量、的夾角為，且，則的最大值是_15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)若以AB為直徑的圓與圓x2(y2)21相外切，且APB的大小恒為定值，則線段OP的長(zhǎng)為_(kāi)16角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值是 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知，求證：（1）；（2）.18（12分）如圖，在三

4、棱錐中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點(diǎn)；（2）平面平面.19（12分）某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷，定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng)，每天的銷售數(shù)據(jù)按照，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結(jié)束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發(fā)：大箱每箱瓶，批發(fā)成本元；小箱每箱瓶，批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短，當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發(fā)一箱（計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表，比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶）.設(shè)早餐店批發(fā)一

5、大箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量，批發(fā)一小箱時(shí)，當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量，求和的分布列和數(shù)學(xué)期望；以利潤(rùn)作為決策依據(jù)，該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量定價(jià)；利潤(rùn)=銷售額批發(fā)成本.20（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知在處的切線與軸垂直，若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解、（），求證：.21（12分）如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.22（10分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，是定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，求證A，Q，B共線；并在時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo)

6、.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.2、C【答案解析】分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【題目詳解】,，故選C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.3、C【答案解析】先求出,再與相乘即可求出答案.【題目詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算

7、能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【答案解析】根據(jù)，得到，即，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列，然后再利用前n項(xiàng)和公式求.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)?，所以?故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5、D【答案解析】先用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后用模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng).【題目詳解】解：z,則|z|.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、D【答案解析】圓心坐標(biāo)為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開(kāi)計(jì)算即可得到所求最小值【題目詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)

8、且即時(shí)取等號(hào)，故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題7、C【答案解析】集合， 點(diǎn)睛：本題是道易錯(cuò)題，看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.8、D【答案解析】由題知，又，代入計(jì)算可得.【題目詳解】由題知，又.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.9、D【答案解析】根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，則故選：D【答案點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,10、D【答案解析】由題得，解方程即得k的值.【題目

9、詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【答案點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2) 點(diǎn)到直線的距離.11、C【答案解析】設(shè),則,則,即可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即為所求.【題目詳解】設(shè),則,所以,依題意可得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),則單調(diào)遞增,所以,且,有兩個(gè)不同的解,所以曲線上的“水平黃金點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為2.故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)問(wèn)題,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用.12、A【答案解析】先算出集合，再與集合B求交集即可.【題目詳解】因?yàn)榛?所以，又因?yàn)?所以.故選：A.【

10、答案點(diǎn)睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、360【答案解析】先計(jì)算第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，面積和超過(guò)0.5，所以中位數(shù)在第二塊求解，然后再求得平均數(shù)作差即可.【題目詳解】第一塊小矩形的面積，第二塊小矩形的面積，故；而，故.故答案為：360.【答案點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運(yùn)算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，進(jìn)而可得出，由此將轉(zhuǎn)化為以為自變量的三角函數(shù)，利用三角恒等變換思想以及正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【

11、題目詳解】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，以、為鄰邊作平行四邊形，則，設(shè)，則，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，則，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積最值的計(jì)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于難題15、【答案解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切且APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長(zhǎng)詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則APB的大小恒為定值，t，|OP|=

12、故答案為點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題16、【答案解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【答案解析】（1）結(jié)合基本不等式可證明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他兩個(gè)式子，三式相加可證結(jié)論【題目詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立，；（2）由基本不等式，同理，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c等號(hào)成立【答案點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查用基本不等式證明不等式成立解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)基本不等式的形式，方

13、法是綜合法18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【答案解析】（1）推導(dǎo)出，由是的中點(diǎn)，能證明是有中點(diǎn)（2）作于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面【題目詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，在中，是的中點(diǎn)，是有中點(diǎn)（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面【答案點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題19、；詳見(jiàn)解析；應(yīng)該批發(fā)一大箱.【答案解析】酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為

14、，設(shè)“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對(duì)立事件概率公式求解即可.若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，四種情況，分別求出相應(yīng)概率，列出分布列，求出的數(shù)學(xué)期望，若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況，分別求出相應(yīng)概率，由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望；根據(jù)中的計(jì)算結(jié)果，從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【題目詳解】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.若早餐店批發(fā)一大箱，批發(fā)成本

15、為元，依題意，銷量有，四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元；當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元；當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元；當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以（元）若早餐店批發(fā)一小箱，批發(fā)成本為元，依題意，銷量有，兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元；當(dāng)銷量為瓶時(shí)，利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以（元）.根據(jù)中的計(jì)算結(jié)果，所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【答案點(diǎn)睛】本題考查概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.20、（1）當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）證明見(jiàn)解析【答案解析】（1）先求解導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)分類討論，分

16、析出每種情況下函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）根據(jù)條件先求解出的值，然后構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)分析出之間的關(guān)系，由此證明出.【題目詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令得，解得，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）依題意得，則由（1）得，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則法一：雙偏移法設(shè)，則在上單調(diào)遞增，即，其中，在上單調(diào)遞減，即設(shè)，在上單調(diào)遞增，即，其中，在上單調(diào)遞增，即.法二：直接證明法，在上單調(diào)遞增，要證，即證設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即（注意：若沒(méi)有證明，扣3分）關(guān)于的證明：（1）且時(shí)，（需要證明），其中（2），即

17、，則【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與倒導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較難.（1）對(duì)于含參函數(shù)單調(diào)性的分析，可通過(guò)分析參數(shù)的臨界值，由此分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常用方法：構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值，從而達(dá)到證明不等式的目的.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【答案解析】（1）證明后可得平面，從而得，結(jié)合已知得線面垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值【題目詳解】（1）證明：因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）由已知及（1）可知，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量，則，即，令，則；設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以.故銳二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查證明線面垂直，解題時(shí)注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化考查求二面角，求空間