2021中考（通用版）數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練幾何專題-四點(diǎn)共圓問題 【含答案】

1、2021中考（通用版）數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練幾何專題-四點(diǎn)共圓問題一選擇題1如圖，在等腰RtABC中，ABC90，ABBC4，D是BC中點(diǎn)，CADCBE，則AE（）A4B3C2D2如圖，在正方形ABCD中，N為邊AD上一點(diǎn)，連接BN過點(diǎn)A作APBN于點(diǎn)P，連接CP，M為邊AB上一點(diǎn)，連接PM，PMAPCB，連接CM，有以下結(jié)論：PAMPBC；PMPC；M、P、C、B四點(diǎn)共圓；ANAM其中正確的個(gè)數(shù)為（）A4B3C2D13如圖，若BC是RtABC和RtDBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓”如圖，ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則圖中“四點(diǎn)共圓”的組數(shù)為（）A

2、2B3C4D64如圖，在四邊形AOBC中，若12，3+4180，則下列結(jié)論正確的有（）（1）A、O、B、C四點(diǎn)共圓（2）ACBC（3）cos1（4）S四邊形AOBCA1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)5如圖放置的兩個(gè)正方形，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（ab），M在BC邊上，且BMb，連接AM，MF，MF交CG于點(diǎn)P，將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，給出以下五個(gè)結(jié)論：MADAND；CPb；ABMNGF；S四邊形AMFNa2+b2；A，M，P，D四點(diǎn)共圓，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D56如圖，一副直角三角板滿足ACBEDF90，ACBC，ABDF，EFD3

3、0，將三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放置于三角板ABC的斜邊AB上，再將三角板DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AC交于點(diǎn)M，邊DF與邊BC于點(diǎn)N當(dāng)EDF在ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)有以下結(jié)論：點(diǎn)C，M，D，N四點(diǎn)共圓；連接CD，若ADDB，則ADMCDN；若ADDB，則DNCMBNDM；若ADDB，則CM+CNAD；若DB2AD，AB6，則2SDMN4其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D57如圖，在ABC中，B75，C45，BC62，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PDAC于D無論P(yáng)的位置如何變化，線段DE的最小值為（）A33BC46D28在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BAD、ADC的角平分線交于點(diǎn)E，

4、過E作直線MN平行于BC，與AB、CD交于M、N，則總有MN（）ABM+DNBAM+CNCBM+CNDAM+DN二填空題9如圖，在等腰ABC中，ABAC，D為BC邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，EB的延長(zhǎng)線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求ADAF的值 10如圖放置的兩個(gè)正方形，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（ab），M在BC邊上，且BMb，連接AM，MF，MF交CG于點(diǎn)P，將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，給出以下五個(gè)結(jié)論：MADAND；CPa；ABMNGF；S四邊形AMFNa2+b2；A，M，P，D四點(diǎn)共圓，其中正確的序號(hào)為 11如圖，在

5、四邊形ABCD中，ABCADC90，ABD72，則CAD的度數(shù)為 12如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC邊上，CAE2ACD，BAE60，若AD3，ABE的面積為10，則CD的長(zhǎng)為 13已知AB為圓O的一條弦（非直徑），OCAB于C，P為圓O上任意一點(diǎn)，直線PA與直線OC相交于點(diǎn)M，直線PB與直線OC相交于點(diǎn)N以下說法正確的有 O，M，B，P四點(diǎn)共圓；A，M，B，N四點(diǎn)共圓；A，O，P，N四點(diǎn)共圓14如圖，線段AB、CD相交于E，AEAC，DEDB，點(diǎn)M、F、G分別為線段AD、CE、EB的中點(diǎn)，如果MAE25，AMF40，那么MFG的度數(shù)為 15如圖，點(diǎn)O為等邊ABC內(nèi)

6、一點(diǎn)，OA2，OC，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，且DOC30，過點(diǎn)B作BFBD交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF，過點(diǎn)D作DEAF于點(diǎn)E，則DE 16如圖，ABCD，CBECAD90ACAD6，DE4，則BD長(zhǎng)為 17如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E為DC上一點(diǎn)，DAE30，過D作DFAE于F點(diǎn)，連接OF則線段OF的長(zhǎng)度為 三解答題18如圖，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且ACBACD60求證：ABD是等邊三角形19如圖，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，BMCM，K為AM上一點(diǎn)，且BKC180BAC求證：BKDCKD20在學(xué)習(xí)圓這一單元時(shí)，我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的推論：圓內(nèi)

7、接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；事實(shí)上，它的逆對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，也是一個(gè)真命題在圖形旋轉(zhuǎn)的綜合題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，那么，我們就可以借助“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓”，然后借助圓的相關(guān)知識(shí)來解決問題，例如：已知：ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段CE，連接BE，DE，AD，并延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)D在如圖所示的位置時(shí)：（1）觀察填空：與ACD全等的三角形是 ；AFB的度數(shù)為 ；（2）利用題干中的結(jié)論，證明：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；（3）直接寫出線段FD，F(xiàn)E，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系 21如圖，已知銳角三角形ABC，過點(diǎn)A作BC的

8、垂線與以BC為直徑的O1分別交于點(diǎn)D，E過點(diǎn)B作CA的垂線與以CA為直徑的O2分別交于點(diǎn)F，G求證：E，F(xiàn)，D，G四點(diǎn)共圓，并確定圓心的位置22如圖，在銳角三角形ABC中，ABAC，ACB的平分線交AB于點(diǎn)D過ABC的外心O作直線OGCD交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EFAB交CD于F（1）求證：C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）求證：A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線；（3）求證：EAEF23如圖，ABC的內(nèi)切圓I在邊AB，BC，CA上的切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，直線EF與直線AI，BI，DI分別相交于點(diǎn)M，N，K證明：DMKEDNKF24如圖所示，在四邊形ABCD中，已知BAADDC，ACBD，AC與BD交

9、于點(diǎn)P，ABC+BCD120，求證：PBPC（提示：在解答本題時(shí)，可能用到以下結(jié)論：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形內(nèi)接于圓，簡(jiǎn)稱四點(diǎn)共圓）25（本題證明值可直接利用如下結(jié)論：若公共邊所對(duì)的兩個(gè)張角相等，則相應(yīng)的四點(diǎn)共圓例如如圖1，由ACBADB，可得四點(diǎn)A、B、C、D共圓）如圖2，圓內(nèi)接五邊形ABCDE中，AD是外接圓的直徑，BEAD，垂足為H，過點(diǎn)H作平行于CE的直線，與直線AC，DC分別交于F，G證明：（1）點(diǎn)A，B，F(xiàn)，H共圓；（2）四邊形BFCG是矩形26如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，連接OD（1）求證：ODDE；（2）求證：O、A、E、D四點(diǎn)共圓（3）AB

10、C滿足什么條件時(shí)，經(jīng)過O、A、E、D的圓與BC相切？并說明理由27如圖，圓O內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)邊AD，BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)Q，設(shè)PDB的外接圓交直線PQ與P和另一個(gè)點(diǎn)K，求證：（1）OKPQ（2）C，D，O，K四點(diǎn)共圓；（3）三條直線AB，OK，DC交于一點(diǎn)28如圖，四邊形ABCD中，ACBADB90，自對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)N作NMAB于點(diǎn)M，線段AC、MD交于點(diǎn)E，BD、MC交于點(diǎn)F，P是線段EF上的任意一點(diǎn)證明：點(diǎn)P到線段CD的距離等于點(diǎn)P到線段MC、MD的距離之和29如圖，RtABD，BAD90，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且BAEC（1）確定圓的位置，圓心記為點(diǎn)

11、O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）（2）求證：AE與O相切于點(diǎn)A：（3）若AEBC，BC2，AC2，求半徑的長(zhǎng)30閱讀理解：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”證明“四點(diǎn)共圓”判定定理有：1、若線段同側(cè)兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這兩點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)四點(diǎn)共圓；2、若平面上四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓例：如圖1，若ADBACB，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓；或若ADC+ABC180，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓（1）如圖1，已知ADBACB60，BAD65，則ACD ；（2）如圖2，若D為等腰RtABC的邊BC上一點(diǎn)，且DEAD，BEAB，AD2，

12、求AE的長(zhǎng)；（3）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，等邊EFG內(nèi)接于此正方形，且E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，若AE3，求EF的長(zhǎng)31如圖，在ABC中，過A作BC的垂線，垂足為D，O為AD的中點(diǎn)，以AD為直徑的O分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F試求證：（1）BC是O的切線；（2）B、C、F、E四點(diǎn)共圓嗎？說明理由32如圖，ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上，連接DG并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，BGDBADC（1）求證：BDBCBGBE；（2）如果BAC90，求證：AGBE33如圖，以銳角ABC的邊AB為直徑作半圓O交邊BC、CA于點(diǎn)E、F過點(diǎn)E、F分別作O的切線得交點(diǎn)P求證：

13、CPAB34如圖1，在四邊形ABCD中，找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到A、B、C、D的距離之和最小，即PA+PB+PC+PD的值最小，并說明理由如圖2，在四邊形ABCD中，ADBC，BN是ABC的角平分線，且BNCD，點(diǎn)N為垂足，若DNCN，若四邊形ABCD的面積為，求四邊形ABND的面積若在四邊形ABCD中，滿足A+C180，則可以得到A、B、C、D四點(diǎn)共圓問題解決：如圖3所示，在四邊形ABCD是一個(gè)不規(guī)則的便民活動(dòng)場(chǎng)所，其中ABADCD，BC1000米，ABC+BCD120，根據(jù)政府的要求，在活動(dòng)場(chǎng)所中建立一個(gè)標(biāo)志建筑P，要求滿足標(biāo)志P到便民場(chǎng)所的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離之和最短，并且標(biāo)志建筑P

14、到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離相等，若你是該項(xiàng)目的工程師，請(qǐng)問是否存在這樣的點(diǎn)P滿足政府的要求？若存在，請(qǐng)你用相關(guān)幾何知識(shí)進(jìn)行說明，并在圖中標(biāo)注點(diǎn)P的位置，并求出此時(shí)點(diǎn)P距離BC的距離若不存在，請(qǐng)說明理由35已知，在四邊形ABCD中，連接AC、BD（1）如圖1，若ACAD，BACBDC，ABDBDC+60，求證：ABDB（2）如圖2，在（1）的條件下，以AB為斜邊作RtABF，AFB90，連接FD交AB于點(diǎn)E，當(dāng)DFAB，AE9，F(xiàn)AB30時(shí)，求CB的值36已知ABC中，A60，E、F分別為AB、AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BECFBC，ACE的外接圓與EF交于不同于E的點(diǎn)K，設(shè)BF與CE交于點(diǎn)T（1）證明：A、

15、B、T、C四點(diǎn)共圓；（2）證明：點(diǎn)K在BAC的角平分線上37發(fā)現(xiàn)如圖ACBADB90，那么點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上（如圖）思考如圖，如果ACBADBa（a90）（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D還在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上嗎？我們知道，如果點(diǎn)D不在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上，那么點(diǎn)D要么在圓O外，要么在圓O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說明了點(diǎn)D不在圓O外（如圖，過A，B，C三點(diǎn)作圓，圓心為O，假設(shè)點(diǎn)D在圓O外，設(shè)AD交圓O于點(diǎn)E，連接BE，則AEBACB，又由AEB是BDE的一個(gè)外角，得AEBADB，因此ACBADB，就與條件ACBADB矛盾，所以點(diǎn)D不在圓O外）請(qǐng)結(jié)合圖證明點(diǎn)D也不在O內(nèi)結(jié)論綜上

16、可得結(jié)論：如圖，如果ACBADBa（點(diǎn)C，D在AB的同側(cè)），那么點(diǎn)D在經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的圓上，即：點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓應(yīng)用利用上述結(jié)論解決問題：如圖，已知ABC中，C90，將ACB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得ADE，連接BE、CD，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)F，（1）求證：點(diǎn)B、C、A、F四點(diǎn)共圓；（2）求證：BFEF38如圖，A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，APCCPB60，AP，CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D（1）求證：ABC是等邊三角形；（2）若PAC90，AB2，求PD的長(zhǎng)39（1）已知：如圖1，ABC為等邊三角形，CE平分ABC的外角ACM，點(diǎn)在BC上，連接AD、DE，如果ADE60，求證：ADD

17、E（2）如果ABC為任意三角形，且ACB60，其他條件不變，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？說明你的理由40如圖1，等腰ABC中，ABAC，點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，射線BD與BC所夾銳角為30，連接AD（1）求證：ABAD；（2）如圖2，AD交BC于點(diǎn)E，將CBD沿BD翻折交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，直接寫出DF與DE的數(shù)量關(guān)系 ；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)H，若H30，HBb，ABE的面積為a，求AB的長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）答案一選擇題1解：如圖，連接DE，ABC90，ABBC4，CBAC45，ACAB4，D是BC中點(diǎn)，CDBC2，CADCBE，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，A

18、BDDEC90，CEDC45，DECECD，AEACCE3，解法二、CADCBE，CC，CADCBE，BE，解直角三角形可求：AE2+3，解法三、作BF垂直于AC交于F，AFBFCF2，CADCBE，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，BDABEA，tanBDAtanBEA2，BF2，EF，AE3故選：B2解：APBN，PAM+PBA90，PBA+PBC90，PAMPBC，PMAPCB，PAMPBC，故正確；PAMPBC，APMBPC，CPMAPB90，即PMPC，故正確；MPC+MBC90+90180，B、C、P、M四點(diǎn)共圓，故正確；APBN，APNAPB90，PAN+ANB90，ANB+ABN

19、90，PANABN，APNBPA90，PANPBA，PAMPBC，ABBC，AMAN，故正確；故選：A3解：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C），共6組故選：D4解：3+4180，A、O、B、C四點(diǎn)共圓，（1）正確；作CDOA于D，CEOB于E，如圖所示：則C

20、DACEB90，12，CDCE，3+4180，3+CAD180，CAD4，在ACD和BCE中，ACDBCE（AAS），ADBE，ACBC，（2）正確；cos1，cos2，cos1+cos2+，12，cos1cos2，2cos1，cos1，（3）正確；CDCE，sin1，CDcsin1，S四邊形AOBCSOAC+SBOCaCD+bCE（a+b）CD（a+b）csin1，（4）正確；正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：D5解：四邊形ABCD是正方形，BADADCB90，BAM+DAM90，將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，NADBAM，ANDAMB，DAM+NADNAD+ANDAND+NAD90，DAMAND，故正

21、確；四邊形CEFG是正方形，PCEF，MPCEMF，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（ab），BMb，EFb，CMab，ME（ab）+ba，CPb；故正確；將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，GNME，ABa，MEa，ABMENG，在ABM與NGF中，ABMNGF；故正確；將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，AMAN，將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，NFMF，ABMNGF，AMNF，四邊形AMFN是矩形，BAMNAD，BAM+DAMNAD+DAN90，NAM90，四邊形AMFN是正方形，在RtABM中，a2+b2AM2，S四邊形AMFNAM2a2+b2；故正確；四邊形AMFN是正方形，AMP90

22、，ADP90，AMP+ADP180，A，M，P，D四點(diǎn)共圓，故正確故選：D6解：正確理由如下：如圖1中，ACB90，EDF90，MCN+MDN180，點(diǎn)C，M，D，N四點(diǎn)共圓正確理由如下：如圖2中，連接CDACBCADDBCDAB，CDADDB，ADCMDN90，ADMCDN，在ADM和CDN中，ADMCDN故正確正確理由如下：如圖3中CACB，ACB90，ADDB，CDADDB，CDAB，AACDDCN45，ADCEDF90，ADMCDN，在ADM和CDN中，ADMCDN，AMCN，DMDN，ACBC，CMBN，DNCMBNDM正確理由如下：如圖4中，作DHAC于H，DGBC于GACDBCD

23、45，DHDG，DHCHCGCGD90，四邊形CHDG是矩形，DHDG，四邊形CHDG是正方形，HDGMDN90，CHCG，MDHGDN，在DHM和DGN中，DHMDGN，MHNGCM+CNCH+MH+CGNG2CH，ADCDCH，CM+CNAD正確理由如下：如圖5中，作DHAC于H，DGBC于GAB6，BD2AD，AD2，BD4，AHDH，DGGB2，DHCHCGCGD90，四邊形CHDG是矩形，HDGMDN，MDHNDG，DHMDGN90，DHMDGN，設(shè)DMx，則DG2x，SDMN2xxx2，當(dāng)DMAC時(shí)，DM的值最小，此時(shí)DMDH，DMN的面積最小值為2，當(dāng)DMAB時(shí)，DM的值最大，此

24、時(shí)DMAD2，DMN的面積的最大值為4，2SDMN4故選：D7解：解法一：當(dāng)APBC時(shí)，線段DE的值最小，如圖1，PEAB，PDAC，AEPADP90，AEP+ADP180，A、E、P、D四點(diǎn)共圓，且直徑為AP，在RtPDC中，C45，PDC是等腰直角三角形，APD45，APD也是等腰直角三角形，PAD45，PEDPAD45，AED45，AEDC45，EADCAB，AEDACB，設(shè)AD2x，則PDDC2x，AP2x，如圖2，取AP的中點(diǎn)O，連接EO，則AOOEOPx，EAPBACPAD604515，EOP2EAO30，過E作EMAP于M，則EMx，cos30，OMxx，AMx+xx，由勾股定理

25、得：AE，（+1）x，ED則線段DE的最小值為；解法二：如圖3，取AP的中點(diǎn)F，連接EF、DF，有EFDFAP，EFD120，EFD為頂角為120的等腰三角形，當(dāng)APBC時(shí)，線段DE的值最小，如圖4，作AB的中垂線，交AP于一點(diǎn)O，交AB于G，連接OB，設(shè)OAOB2x，BOP2BAO30，BPx，OPx，APPC（2+）x，BC62，x+2x+x62，x42，AP（2+）x（2+）（42）2，EFFD1，如圖5，過F作FHED于H，EHDH，F(xiàn)ED30，F(xiàn)H，EHDH，DE；故選：B8解：如圖，在NM上截取NFND，連接DF，AFNFDNDF，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，ADC+B180，MNBC

26、，AMNB，AMN+ADN180，A，D，N，M四點(diǎn)共圓，MND+MAD180，AE，DE分別平分BAD，CDA，END+2DFNEND+2DAE180，DFNDAE，A，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共圓，DENDAF，AFMADE，MAF180DAFMND180DENMNDEDNADEAFM，MAMF，MNMF+NFMA+ND故選：D二填空題9解：如圖，連接AE，CF，DE，ABAC，ABDACB，點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，BEDBCF，AEDACDACB，ABDAED，點(diǎn)A，E，B，D四點(diǎn)共圓，BEDBAD，BADBCF，點(diǎn)A，B，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，AFBACBABD，AFBABD，ADAFAB2（

27、）25，故510解：四邊形ABCD是正方形，BADADCB90，BAM+DAM90，將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，NADBAM，ANDAMB，DAM+NADNAD+ANDAND+NAD90，DAMAND，故正確；四邊形CEFG是正方形，PCEF，MPCMFE，大正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，小正方形CEFG邊長(zhǎng)為b（ab），BMb，EFb，CMab，ME（ab）+ba，CPb；故錯(cuò)誤；將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，GNME，ABa，MEa，ABMENG，在ABM與NGF中，ABMNGF（SAS）；故正確；將ABM繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至ADN，AMAN，將MEF繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)至NGF，NFMF，ABMNGF，AMNF，

28、四邊形AMFN是矩形，BAMNAD，BAM+DAMNAD+DAN90，NAM90，四邊形AMFN是正方形，在RtABM中，a2+b2AM2，S四邊形AMFNAM2a2+b2；故正確；四邊形AMFN是正方形，AMP90，ADP90，AMP+ADP180，A，M，P，D四點(diǎn)共圓，故正確故11解：ABCADC90，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，ABDACD72，CAD90ACD18，故1812解：如圖，在ABC中，ABAC，BACB，DAC2ACB，CAE2ACD，CAD+CAE2ACB+2ACD2（ACB+ACD），DAE2BCD，BAE60，DAE180BAE120，BCD60，DAE+DCB

29、180，點(diǎn)A，E，C，D四點(diǎn)共圓，連接DE，ADEACB，ADEABC，過點(diǎn)E作EFAB于E，BFDF，設(shè)AFx，則BFDFAF+ADx+3，AB2x+3，在RtAFE中，BAE60，AEF30，AE2x，EFx，ABE的面積為10，SABEABEF（2x+3）x10，x4（舍）或x，AE5，BF，AB2x+38，EF，BD2BF11，根據(jù)勾股定理得，BE7，DCB60BAE，BB，BAEBCD，CD，故答案為13解：如圖，OCAB于C，BOCAOCAOB，NANB，BPMAOB，BPMBOC，O、M、B、P四點(diǎn)共圓，正確四邊形AMBN為凹四邊形A、M、B、N不共圓，錯(cuò)誤NANB，NABNBA

30、，NAB+NBA+ANP180，ANP+2NBA180AOP2NBA，AOP+ANP180，A、O、P、N四點(diǎn)共圓，正確故14解：如圖，連接AF，DG，AEAC，DEDB，點(diǎn)F，點(diǎn)G是CE，BE的中點(diǎn)，AFCE，DGBE，AFDAGD90，點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，DFGGAD25，AFD90，點(diǎn)M是AD中點(diǎn)，AMFMDM，DFMFDM，且AMFFDM+DFM40，DFM20，MFGMFD+DFG45，故答案為4515解：過點(diǎn)C作CMCF交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接AM，DOC30，BMCBACBFC60，A、F、B、C、M五點(diǎn)共圓，AMBACB60，OC、COD30，OM2OA，AOM是等

31、邊三角形，AOM60，AOM60OMC，MCAO，ODOM，DMOM，A、F、B、M四點(diǎn)共圓，F(xiàn)AM180FBM90，EAGFAMOAM30，OGDAGE60，ODG是等邊三角形，AGOAOGOMODDM，EGAG，DEDG+EGOD+EG，故16解：如圖，在RtACD中，ACAD6，CD6，ACDADC45，ABCD，BACACD45，連接CE，在RtACE中，AC6，AEADDE2CE2，取CE的中點(diǎn)O，連接OB，CBECAE90，點(diǎn)A，B，C，E在以點(diǎn)O為圓心，CE為直徑的圓上，BOC2BAC90，OBOCCEOBOC，BCOB2，過點(diǎn)E作EHCD，ADC45，DEH是等腰直角三角形，D

32、E4，EHDHDE2，過點(diǎn)A作AMCD，EHAM，AMEH3，過點(diǎn)B作BGCD，四邊形ABGH是矩形，BGAM3，在RtBCG中，BC2，BG3，CG，DGCDCG65，在RtBDG中，BG3，DG5，BD2故217解：作OGDF于G，連接OG，如圖所示四邊形ABCD是正方形，DAC45，AOD90DFAE，即AFD90，AODAFDA、O、F、D四點(diǎn)共圓OFGDAO45OGDF，即OGF90，F(xiàn)OG45OFGOGFGAFD90，DAE30，AD2，DF1設(shè)GFGOx，則有DGDF+FG1+x，OFx在RtAOD中，ODADsinDAO2在RtOGD中，OGD90，OG2+DG2OD2x2+（

33、1+x）2（）2解得：x1+，x2（舍去）所以O(shè)Fx故三解答題18證明：ACB60，ADBACB60，ACD60，ABDACD60，在ABD中，BAD180ADBABD180606060，ABDADBBAD60，ABD是等邊三角形19證明：如圖，延長(zhǎng)AM至G，使GMAM，BKCK，四邊形ABGC是平行四邊形，BGAC，CGAB，BGCBAC，BKC180BAC，BKC+BGC180，點(diǎn)C，G，B，K四點(diǎn)共圓，CBKCGK，BMKCMK，BMKGMC，同理：，1，過點(diǎn)D作DQAC于Q，作DPAB于P，則DQDP，過點(diǎn)D作DHBK于H，在RtDHK中，DHDKsinBKD，SBKDBKDHBKDK

34、sinBKD，同理：SCKDCKDKsinCKD，1，BKDCKD20（1）解：ABC是等邊三角形，ABACBC，BACACBABC60，ACD+DCB60，由旋轉(zhuǎn)知，CECD，DCE60，BCE+DCB60，ACDBCE，ACDBCE（SAS），故BCE；由知，ACDBCE，ADCBEC，ADC+FDC180，BEC+FDC180，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，AFE+DCE180，AFB+AFE180，AFBDCE60，故60；（2）證明：由（1）中，已證；（3）由（1）知，DCE是等邊三角形，CEDE，由（1）知，DFE180DCE120，由（2）知，點(diǎn)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，CFECDE60

35、，在FC上取一點(diǎn)G，使FGFE，EFG是等邊三角形，EGFE，EGF60，CGE120DFE，點(diǎn)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，ECGEDF，CEGDEF（AAS），CGFD，F(xiàn)CFG+CGFE+FD，故FCFE+FD21證明：如圖，連接CD，CE，CF，CG，AE與BC的交點(diǎn)記作A，BG與AC的交點(diǎn)記作B，兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)記作CBC是O1的直徑，BCDE，BC是DE的中垂線，CDCE，AC是O2的直徑，ACFG，AC是FG的中垂線，CFCG，連接BE，AG，BECAGC90，CE2CBCA，CG2CACB（射影定理）BAABBA90，A，B，A，B四點(diǎn)共圓，CBCACACB，CECG，CECDCGC

36、F，即E，F(xiàn)，D，G四點(diǎn)共圓，且圓心為C22證明：（1）如圖1，連接OA，OC，ABAC，點(diǎn)O為ABC的外心，AO平分BAC，OAOC，OCAOACBAC（1802B）90B，OGCD，CD平分ACB，OEC90ECD90ACB90BCOE180OECOCA180（90B）（90B）B，EFAB，CD平分ACB，CFECDAABC+DCBB，COECFE，點(diǎn)C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，（2）如圖2，連接OF，O為ABC的外心，AOC2B，由（1）知，點(diǎn)C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，EFAB，F(xiàn)OCFECBAC，AOC+FOC2B+BAC180，點(diǎn)A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，（3）由（1）知，點(diǎn)C，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)

37、共圓，OFEOCEOAC，EAEF23證明：連接IE，如圖所示：ABC的內(nèi)切圓I在邊AB，BC，CA上的切點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，IDAB，IEBC，IDBIEB90，IDB+IEB180，I，D，B，E四點(diǎn)共圓又AID90IAD，MEDFDA90IAD，AIDMED，I，D，E，M四點(diǎn)共圓I，D，B，E，M五點(diǎn)共圓，IMBIEB90，即AMBM同理，I，D，A，N，F(xiàn)五點(diǎn)共圓，且BNAN設(shè)直線AN，BM交于點(diǎn)G，則點(diǎn)I為GAB的垂心又IDAB，G，I，D共線G，N，D，B四點(diǎn)共圓，ADNG同理BDMGDK平分MDN， 又由I，D，E，M；I，D，N，F(xiàn)分別共圓，KMKEKIKDKFKN， 由，得

38、：，DMKEDNKF24解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，如圖1ABC+BCD120，E18012060，EAD+EDA18060120BAADDC，15，46，EAD1+525，EDA4+626，EAD+EDA25+26120，5+660，APD18060120，E+APD180，E、A、P、D四點(diǎn)共圓連接EP，如圖2E、A、P、D四點(diǎn)共圓，58，67，158，467，PEPB，PEPC，PBPC25證明：（1）由HGCE，得BHFBEC，又，BAFBEC，BAFBHF，點(diǎn)A、B、F、H共圓；（2）由（1）的結(jié)論，得BHABFA，BEAD，BFAC，又AD是圓的直徑，CGAC，由A、B、C、D共圓

39、及A、B、F、H共圓，BFGDABBCG，B、G、F、H共圓，BGCAFB90，BGGC，四邊形BFCG是矩形26（1）證明：連接OE，如圖1所示：AC是O的切線，BAC90，OAOB，AEEC，OE是ABC的中位線，OEBC，AOEB，EODODB，OAOB，BODB，AOEEOD，在AOE和DOE中，AOEDOE（SAS），ODEBAC90，ODDE；（2）證明：連接OE，取OE的中點(diǎn)為Q，連接QA、QD，如圖2所示：由（1）得：ODEBAC90，QDOEQOQE，QAOEQOQE，QAQOQDQE，O、A、E、D在以Q為圓心，OE為直徑的圓上，即O、A、E、D四點(diǎn)共圓；（3）解：ABAC

40、或B45或C45時(shí)，經(jīng)過O、A、E、D的圓與BC相切，理由如下：如圖3所示：AB是O的直徑，ADB90，ADBC，ABAC或B45或C45時(shí)，ABD是等腰直角三角形，OAOB，ODAB，AOB90OAEODE，四邊形OAED是矩形，OAOD，四邊形OAED是正方形，OE與AD互相垂直平分且相等，Q為OE的中點(diǎn)，QDQAQO，經(jīng)過O、A、E、D的圓與BC相切27證明：如圖，連接OD、OC、CK、OB、OA、AK、BK在O中，弦AC、BD交于點(diǎn)Q，AQCQBQDQ，在O中，弦BD、交于點(diǎn)Q，BQDQPQKQ，AQCQPQKQ，A、K、C、P四點(diǎn)共圓，CAPCKP，CAPCADCBDDBPDKP，C

41、KPDKP，CKD2CKP2CBDCOD，C、D、O、K四點(diǎn)共圓，結(jié)論（2）得證OKDOCDODOC，OCD+COD90，OKD+CODOKD+DKPOKP90，OKPQ，結(jié)論（1）得證KBQKBDKPDKPAKCAKCQ，K、B、C、Q四點(diǎn)共圓，KQBKCBKAPKAD，BKQ+KQB+KBQ180，且BKQBKPBDPDAB+DBADAB+DBA+KQB+KBQ180，DAB+DBA+ADB180，KQB+KBQADB，AKBADB+DAK+DBKADB+KQB+QBK2ADB，AOB2ADB，AOBAKB，A、O、K、B四點(diǎn)共圓，AB為O與（ABKO）的公共弦，OK為（ABKO）與（OK

42、CD）的公共弦，CD為O與（OKCD）的公共弦，由蒙日定理可知AB、OK、DC交于點(diǎn)一E結(jié)論（3）得證28解：如圖，ACBADB90，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，NMAB，NCBNMB90，B、C、N、M四點(diǎn)共圓，ACDABDMCN，故AC平分DCM，同理，BD平分CDM，過P作PHMC于點(diǎn)H，PGMD于點(diǎn)G，PTCD于點(diǎn)T；過點(diǎn)P作XYMC，交MD于點(diǎn)X，交AC于點(diǎn)Y；過點(diǎn)Y作YZCD，交MD于點(diǎn)Z，交PT于點(diǎn)R；再作YH1MC于點(diǎn)H1，YT1CD于點(diǎn)T1，由平行線及角平分線的性質(zhì)得PHYH1YT1RT為證PTPG+PH，只須證PRPG，PYCF，YZCD，ZPDF，由于XYZ與MCD的對(duì)應(yīng)邊分

43、別平行，DF平分MDC，ZP是XZY的平分線，PGDM，PRZY，PRPG，PTPR+TRPH+PG，即點(diǎn)P到線段CD的距離等于點(diǎn)P到線段MC、MD的距離之和29解：（1）如圖1所示，點(diǎn)O為所求作的圖形；（2）證明：如圖2，連接OA，OADODA，BAEC，ODACBAE，BAEOAD，BAD90，OAEOAB+BAEOAB+OADBAD90，OAAE，點(diǎn)A在O上，AE是O的切線；（3）由（2）知，OAAE，AEBC，OABC，垂足記作F，BFCFBC2，在RtAFC中，AC2，AF1設(shè)O的半徑為r，OFrAFr1，在RtOFB中，OB2BF2+OF2，即：r2（）2+（r1）2，r4，即：O

44、的半徑的長(zhǎng)為430解：（1）ADBACB60，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，ACDABD180ADBBAD180606555，故55；（2）在線段CA取一點(diǎn)F，使得CFCD，如圖2所示：C90，CFCD，ACCB，AFDB，CFDCDF45，AFD135，BEAB，ABC45，ABE90，DBE135，AFDDBE，ADDE，ADE90，F(xiàn)AD+ADC90，ADC+BDE90，F(xiàn)ADBDE，在ADF和DEB中，ADFDEB（ASA），ADDE，ADE90，ADE是等腰直角三角形，AEAD2；（3）作EKFG于K，則K是FG的中點(diǎn)，連接AK，BK，如圖3所示：EKGEBGEKFEAF90，E、K、G、

45、B和E、K、F、A分別四點(diǎn)共圓，KBEEGK60，EAKEFK60，ABK是等邊三角形，ABAKKB4，作KMAB，則M為AB的中點(diǎn)，KMAKsin602，AE3，AMAB2，ME321，EK，EF31（1）證明：AD是O的直徑，ADBC，D為垂足，BC是O的切線；（2）點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；理由：AD是O的直徑，AFD90，DAC+ADF90，ADBC，DAC+C90，CADFAEF，AEF+BEF180，C+BEF180，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓32（1）證明：DBGCBE，BGDC，BDGBEC，BDBCBGBE；（2）ABDCBA，BADC，BADBCA，BDABAC90，BADB

46、GD，A，B，D，G四點(diǎn)共圓，AGBADB90，AGBE33證明：如圖，連接AE、BF得交點(diǎn)Q，AEBAFB90，點(diǎn)Q為ABC的垂心，CQAB延長(zhǎng)FP到點(diǎn)K，使PF，連接EF、KE易知PEFPFEEAF連接PQ并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，EQF180AQF180（90EAF）90+EAF90+PEF，KEPF （1802PEF）90PEF，EQF+K180故K、F、Q、E四點(diǎn)共圓，PEPF，P必是該圓的圓心PQPFPQFPFQPFBFABFAH，A、H、Q、F四點(diǎn)共圓則PHAQHA180QFA90，PHAB，即PQAB由、知，C、P、Q三點(diǎn)共線，CPAB34解：（1）如圖1中，點(diǎn)P即為所求（2）如圖2

47、中，延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于KBNCK，BNKBNC90，BNBN，NBKNBC，BNKBNC（ASA），NKNC，DNCN，DK2DN，DK：KC1：3，ADBC，KADKBC，（）2，S四邊形ABCD，SKAD，SKBC+，SAKNSKBC，S四邊形ABNDSKBNSKAD2（3）存在如圖3中，延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于E，連接AC，BD交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB+PC+PD的值最小在CA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使得BFBA，連接BF作PHBC于HABADCD，ADBABD，DACDCA，設(shè)ADBABDx，DACDCAy，EADADB+ABD2x，EDADAC+DCA2y，ABC+DCB120，E

48、60，2x+2y+60180，x+y60，PBC+PCBABC+DCB（ABD+DCA）1206060，BPC180（PBC+PCB）120，APDBPC120，E+APD180，EAP+EDP180，EDP+CDP180，EAPBAF，BAFCDP，BABF，F(xiàn)BAF，F(xiàn)CDP，BFCD，BPFCPD，BPFCPD（AAS），PBPC，PBCPCB30PHBC，BHCH500米，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，點(diǎn)P即為滿足條件的點(diǎn)，在RtPBH中，PHBHtan30點(diǎn)P距離BC的距離為35證明：（1）ACAD，ACDADC，BACBDC，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，ACDABD，ABDACDADCBDC+60，CAD1802ACD60BDC，BADCAD+CAB60BDC+BDC60BDC，