2022年函數(shù)與數(shù)列的極限的強(qiáng)化練習(xí)題答案

1、第一講： 函數(shù)與數(shù)列的極限的 強(qiáng)化練習(xí)題答案 一、單項(xiàng)選擇題選 C 4下列函數(shù)在,內(nèi)無界的是（）A y112B yarctanxx1下面函數(shù)與yx 為同一函數(shù)的是（）C ysinxcosxD yxsinxA yx2B yx2解 : 排 除 法 ： A 1x2x1有 界 ，C yln exD ylnx e2xx2解 ：ylnx exlnex ， 且 定 義 域B arctanx2有界，C sinxcos x2,，選 D 故選 D 5數(shù)列nx有界是 lim nx 存在的（）2已知是 f 的反函數(shù)，則f2x 的反函A 必要條件B 充分條件數(shù)是（）C 充分必要條件D 無關(guān)條件A y1xB y2x解 ：

2、x n收 斂 時 ， 數(shù) 列nx 有 界 （ 即2C y12xD y22 xnxM ），反之不成立，（如1n1有界，2解: 令yf2x,反解出 x ：x1y,互但不收斂，選 A 2換 x ， y 位置得反函數(shù)y1x ，選 A 6當(dāng) n時，sin2 1與1 k n為等價無窮小，2n則 k = （）3設(shè) fx 在,有定義， 則下列函數(shù)A 1 2B 1 C 2 D -2 為奇函數(shù)的是（）A yfxfx解：lim n2 sin1lim n11，k2選 C n2 n1B yxfxfx1k nk nC y3 x fx2二、填空題 （每小題 4 分，共 24 分）7設(shè)fx11x，則 ffx的定義域D yfx

3、fx為解 ：y3 x fx2的定義域,且解： ffx11x111xyxx3fx23 x fx2y xf1x11x210解：當(dāng) n時，2 sin n2 n原式2x ffx定義域?yàn)?, 2)( 2, 1)( 1,)=23 nn lim 5 n52= 6 58設(shè)f x2)x21,3n則f x1)三、計算題 （每小題 8 分，共 64 分）13求函數(shù)yarcsin2 x1的定義域解：（1）令x2t ftt24 t57x1fxx 24x5（2）f x1( x2 1)4( x1) 52 x6 x解：12 x71 011x3 x1 或4 x1x9函數(shù)ylog4xlog 2的反函數(shù)是y1函數(shù)的定義域?yàn)?, 1

4、)1,4解：（1）ylog (2 4x ，反解出 x ：x4（2）互換x y 位置，得反函數(shù)y42x110 lim nnn1n214設(shè)fsinx1cosx求 fx2解：原式有理化lim nn3nn23解：fsinx2 2cosx 22 2 1 sinx12故2211若lim 1 n5kne10,f2 12n則 k故fx2 1x2解 ： 左 式 =e n lim5 n(kn)e5 ke1015 設(shè) fxln x ， g x的 反 函 數(shù)k212lim n3n25sin2= g1x2x1，求 fg xx15n3n解: （ 1） 求g(x):y2x x2 1反解出 x ：xyy2x2xy y2 22

5、 得2fxx11x111互換x y 位置得g(x)x x2 2故f x ( )x112(2)fgxlngxlnx x2 22 得2g xx11x1116判別 fxlnx1x2的奇偶性。故g x ( )x2x1解 法（ 1）： fx 的定義域,，關(guān)于n18設(shè)lim nn2a38，求 a 的值。原點(diǎn)對稱nafxlnx1x 23n解：lim nn2anlim 1 nn3a3ln112xnaaxlim e nnaa e,ea8n alnx1x21ln(x1x2)故aln83ln 2fx19求lim n1111nfxln(x1x2)為奇函數(shù)1 22 3n n解：（1）拆項(xiàng)，11)kk1k解法（ 2）：f

6、xfxk k(1) kln(x12 x)lnx12 x1k11k1,2,nkln (x1x2)1x2xln101111 22 3n n1fxfx故 fx 為奇函數(shù)11111n1117已知 fx 為偶函數(shù)， g x 為奇函數(shù)，223n且fxg xx11，求 fx 及 g x1n11解： 已知f x ( )g x ( )x11（2）原式 =n lim1n11nlim e nnnef(x )g(x)11即有1xf x ( )g x ( )x1220設(shè)fxaxa0,a1 ,1求lim n1lnf1f21fnnf3x1xxx1n21 2ln naa2a3 x 233解： 原式 =n lim3fx 有界n

7、 lim1 2ln na2lnanlna22從一塊半徑為R 的圓鐵片上挖去一個扇形，把留下的中心角為的扇形做成一個漏斗（如圖），試將漏斗的容積V 表示成中心角lnan lim12n2 nlnan lim(n1) nn221lna a0,a12四、綜合題 （每小題 10 分，共 20 分）的函數(shù)。解：（1）列出函數(shù)關(guān)系式，設(shè)漏斗高為 h ，底半徑為 r ，依題意：漏斗容積 V= 1r h 23h R 2r 2 ,2 r R2 2r 2 R2 h R 2 R24 421設(shè) fx =1xx2，求3fx = 2故V32 R2R4242fffx并討論3fx 的奇偶性與有3 R342界性。24解：（1）求

8、3fx（2）函數(shù)的定義域4220,222fx1x2 xf2x1ffxx1xx202f3xff2x1f2fxx1xx故VR32420232242（2）討論3fx 的奇偶性五、證明題 （每小題 9 分，共 18 分）f3x1xx2f3x23設(shè) fx 為定義在,的任意函數(shù)，3證明 fx 可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函3fx 為奇函數(shù)數(shù)之和。（3）討論3fx 的有界性證： (1) f xf x2fxf xfx2(2)令g xfx2fxx3fxx2x2,fx232 xxgxfx2fxg x（3）fx 的定義域,00,又fx2x2fxg x 為偶函數(shù)3 x(3)令xfx2fxxfx 為奇函數(shù)選做題xfx2f

9、xx1 已知2 122n2n n1)(2n1)，6求lim nn2 11222n2nx 為奇函數(shù)3n 3n 3（4）綜上所述： fxg x 偶函數(shù) +x解: 2 12 23nn2奇函數(shù)n24 設(shè) fx 滿足函數(shù)方程2 fx +f12 12 n2 12 22 nx3 n13 nn3 n1=1 x，證明 fx 為奇函數(shù)。且lim n2 12 23nn2n證：（1）2fxf111lim nn n1 (2n1)1xx6n3n3令1 xt,2f1f tt函數(shù)與自變量lim n2 12231n2t的記號無關(guān)n2f1fxx2lim nn n1)(2n1)16(n31)3x由夾逼定理知，原式 2 若 對 于

10、任 意 的1 3 x y ， 函 數(shù) 滿 足 ：（2）消去f1，求出 fxx221 :fx4fxx2fxyfxf，證明 fy 為奇x函數(shù)。解 (1) 求f0：令3 若x lim xf 0 x，x lim xg x 0，則x0,y0,f02f0f00下列正確的是（）0Al i m x x 0fxg x(2)令xy f0fyf yfyf yBx lim x 0fxg xfy 為奇函數(shù)Cl i m x x fx1g x0第二講： 函數(shù)的極限與洛必達(dá)Dlim x xkf 0 xk0法則的強(qiáng)化練習(xí)題答案一、單項(xiàng)選擇題（每小題 4 分，共 24 分）解：lim x x 0kfxkx lim x 0fxkk

11、1 下列極限正確的（）Alim xsinx1Blim xxsinx不存xxsinx選 D fx在4若lim x 0f2x2，Clim xxsin11D lim arctan xx2xx則lim x 0fx（）解：lim xxsin11tlim t 0sint選 C x3 xxtA3 B1 3C2 D1 2注：A limxsin x0; lim x1sin x1 01x sinx解：lim x 0fxx3x2tlim t 0f2tx11 03x2 t32 下列極限正確的是（）112lim t 0f1t211Alim x 0ex0Blim x 0ex032323Clim(1 x 0cos )sec

12、xet1選 B Dl i m ( 1 xxx)e1 sin ( x xx0)解：lim x 0e1e10選 A x5設(shè)fx0(x0)a x0)且lim x 0exsin1注：B:,C: 2,D:1x存在，則 a = （）2380A-1 B0 C 1 D2 327解：lim x 0sinx1,x10已知lim x 1x21ax6存在，lim x 0 xsin1aoaxx則 a = a1選 C 解：lim 1 x 1x06當(dāng)x0時，fx1xa1是比 xlim x 1x2ax60高階無窮小，則（）Aa1Ba01a60,a7Ca 為任意實(shí)數(shù)Da1解：lim x 01a x1lim x 01 2a xa

13、1 0a111lim x 01sin1arcsinxexx 2xxx故選 A 解：sin11,lim x 010lim x 01sin1二 、填空題 （每小題 4 分，共 24 分）e xe x2 x2 x7 lim x1xxx又lim x 0arcsinxlim x 0 x1故 原式 =1 xx解： 原式1lim 1 xx11xlim e x1xe112若lim x 0 x2ln 1x2 x0 xsinn8lim x 1x112 x21且lim x 01sinnxx0,則正整數(shù) n = cos解： 原式lim x 1xx11x21解：lim x 02 xln 1x2 xlim x 0 x22

14、 xsinnxn故lim x 1x111n40,lim x0n xn20n2,n4,2x29lim x2x133x1002 9723x1n3三、計算題 （每小題 8 分，共 64 分）解：原式lim x2x13lim x3 x29713求lim xsin 3x2xsin 2x3x3x13 x1解： 原式 =sin3 x20016求lim x 0ln cos2xcos2x1xx lim sin2xln cos3x3解： 原式變形lim x 0ln 1xln 1cos3x1lim xsin 3x0sin 3x1,lim x1xx等價lim x 0cos2x1xcos3xcos3x1lim xsin

15、 2x0sin 2x1,lim x1等價lim x 01 2 x21 3 x22xx4原式0222903314求lim x 01tanx1sinx2sin 2x1cosx注:原式lim x 0解： 原式有理化cos2x3sin 349lim x 0 x (1tanxsinxt1sin )17求lim x 0 x exex2x22lim x 0fxcos )( 1tanxsinxlim x 0tan (1cos )10 x (1cos )2解： 原式0 lim x 0exexx1coslim xtanx11lim x 0 x1x22x2000 x15求lim xsin2cos1x0lim x 0

16、exex0lim x 0exesinxxxcosx解： 令1 xt，當(dāng) x時，110且原式lim cos t 0 tsin 2 tt18設(shè) fxexa x011 cos , x xxlim 1 t 0cost1sin 2 ttlim e t 0cos 1 sin2 te 2存在，求 a 的值。a0aat1解：lim x 0exaex21lim t 01t1lim t 0t1112 t t12lim x 01cosxlim x 02xx四、證明題 （共 18 分）lim x 01xx221當(dāng) x時且lim xu x0,lim xv x, 22證明lim 1 xu xv xlim e xu x v

17、 xa2 2證： lim 1 xu xv x19lim x 0sin3x1xlim 1 xu x1u x v x1 3lnu x解： 原式lim e xu x v x00換底法lim e x 0ln(sin3x)elim x 03cosx3sin3x證畢（利用兩個重要極限）1 3lnxx22當(dāng)x0時，證明以下四個差函數(shù)的等也可以用兩個重要極限中的一個，湊一個價無窮小。（1）tanxsinx 等價于x3x0出來（凡是可以用換底的都可以用重要極限來2求）lim e x 03xxelimx1Tanx-sinx 可以提取一個tanx，從而湊成3sin3xe3x0Tanx*(1-cosx) ， 用 等

18、價 無 窮 小 可 以 得 出20求lim xxx2ln 111-cosx1/2x2, 從而整體等價于x3/2; (總結(jié)規(guī)律：注意tanx-sinx 有公共因子tanx，x從而充分利用等價無窮小的規(guī)律，在不定積分無窮大與 0 之間的轉(zhuǎn)換（筆記）中也同樣可以用此方法化解式子)解： 原式1tlim t 01ln 1t（2）tanxx 等價于3 xx0 x3t2t通分lim t 0tln 1t（3）xsinx等價于x3x06t2（4）arcsinxx等價于x3x00lim t 0111t60證：1lim x 0tanxx3sinx2 t203lim x 0 x1sinxlim x 01cosx0li

19、m x 0tanx1cosxx31x263 x2lim x 01x212lim x 0 xx2122 1x2 3 x2當(dāng)x0時，xsinx1x326當(dāng)x0時，tanxsinxx34lim x 0arcsinxx1x3262lim x 0tanx3xlim x 02 secx11x2lim x 011x21lim x 01x21x2x3（0/0 型，先用洛比達(dá)法則進(jìn)行求導(dǎo)，然后利 用 tanx 與 secx 之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，再利用等價 無窮小）111x2x222lim x 01 x21 x 22211規(guī)律總結(jié)：見到tanx 的想法：與 sinx 同冪組合，注意看是否可以提取公因 式 tanx;

20、有平方項(xiàng)看是否可以轉(zhuǎn)化為secx（轉(zhuǎn)化的時當(dāng)x0時，arcsinxx 等價于1x3候把轉(zhuǎn)化式子寫出來，要注意是加1 還是減61.。）；（規(guī)律總結(jié)：注意利用萬能公式 （看書復(fù)習(xí)萬能公式，歸納三角函數(shù)， 反三角函數(shù)與X 組合， 0/0 型的時適用條件）候應(yīng)該先用洛比達(dá)法則求一次導(dǎo)，（求導(dǎo)的時（怎樣將一個word 文要分兩邊顯示。 。怎樣候可以對分母先應(yīng)用等價無窮小，再求導(dǎo)），就 可 以 將 這 樣 的 文 檔 轉(zhuǎn) 化 為 習(xí) 慣 的 樣然后再應(yīng)用等價無窮小進(jìn)行化簡，此外應(yīng)該子？問老哥）特別注意，可以先應(yīng)用極限的四則運(yùn)算，（四lim x 0tan2xlim x 0 x21則不僅只有加減，還有乘除，應(yīng)

21、格外熟悉）,將某些難化簡， 但極限好求的先進(jìn)行計算， （一x2x2般題目要求求的都是極限存在的，所以可以用當(dāng)x0時，tanxx2 x此方法解題， 若解出來發(fā)現(xiàn)極限不存在，這說明不能用四則運(yùn)算，因而再想別的方法）3五、綜合題 （每小題 10 分，共 20 分）23求lim 3 x x9x212x1有根號， 無從下手時想到用分母有理化，化成指數(shù)次冪除以指數(shù)次冪的形式。1解：原式1lim x011x1ex解： 原式有理化lim x9x29x22x1xe3x9x22x11lim x3 x2x1x1elim x01x1 xeelim x 01xx9x22x ee令y1x11 ln 1 e xxlim x

22、3211321xxy1x111xxln 1x9332xxx2x224 已知lim x 2x 2x 22mx82 n1，求常1x1 x x12xln 1xn x5x1x數(shù)m n 的值。原式lim x 0 ex1xln 1xlim e x 00 ln 1xx 21x2x3x 2解：（1）原極限存在且lim x 2x22n x2n0elim x02xxx 2e132lim x 2x2mx80,42 m80第三講：函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo) 數(shù)、微分的概念的強(qiáng)化練習(xí)題 答案2m12,m6（2）lim x 22 x2 x26x82 nn x一、單項(xiàng)選擇題（每小題 4 分，共 24 分）01若 fx 為是連續(xù)函數(shù)，

23、0lim x 22x2 x26n4426n且f01,f10，21則lim xfxsin1( ) 2n5x102nn12答m6,n12A -1 B0 選做題 1C1 D 不存在解： 原式求lim x01x1xxf連續(xù)flim xxsin1flim xsin1exx1xf10，選 B A 可去間斷點(diǎn)B 跳躍間斷點(diǎn)C 無窮間斷點(diǎn)D 連續(xù)點(diǎn)2 要使fxln 1kxm在點(diǎn)x0處連解：lim x 0F xlim x 0fxf0f0 ,x續(xù)，應(yīng)給f0補(bǔ)充定義的數(shù)值是( ) x0A kmBkf0f0F0f0lim x 0F0，m故x0是 F x 的第一類可去間斷點(diǎn)。選A Cln kmDekm5fxxsin1,

24、x0在x0處() mx解：lim x 0fxln lim(1 x 0kx )x0,x0lnelim x 0kxmlnkm ekmA 極限不存在B極限存在但不連續(xù)xC 連續(xù)但不可導(dǎo)D可導(dǎo)但不連續(xù)f0km 選 A 解：lim x 0fxlim x 0 xsin10，且f00 x3 若 lim x af x ( )A ， 則 下 列 正 確 的 是fx 在x0連續(xù)，又f0（）lim x 0 xsin10不存在，fx 在x0A lim x afxAxx0B lim x afxA不可導(dǎo)選 C （判斷函數(shù)是否可導(dǎo)，應(yīng)該用定義法去判 斷。）C lim x afxA6設(shè)fxx21,x1在x1可導(dǎo)，則D lim

25、 x af x ( )Aaxb x1解： lim x af xu 連續(xù)lim x afxAa b 為（）選 B Aa2,b2Ba0,b24設(shè)Fxfx,x0Ca2,b0Da1, b1x解：（1）fx 在x1連續(xù)，f0 ,x0lim x 1x212, lim x 1axbab且 fx 在x0處可導(dǎo)，f00,f00,則x0是 F x的 ( ) 故ab21（2）f1lim x 1x212,f1（2）6 2k3 4 6 2 13, 12k12 12 13,x1故k1lim x 1axxb21lim x 1a x1a10 若yf x 滿足：f x ( )f0 xx1x ，且lim x 0 x01a2，代入

26、 1 得b0，選 C x（兩個未知數(shù)找準(zhǔn)兩個方程，第一人利用連續(xù)則f0= 的性質(zhì)，第二個利用可導(dǎo)， 求出特殊點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）二、 填空題 （每小題 4 分，共 24 分）解：f0lim x 0fxf07設(shè)f x 為連續(xù)奇函數(shù)，則f0= x0解：（1）fx 為奇函數(shù)，fxf xlim x 0 xxx101（2）lim x 0fxlim x 0fx（在不確定函數(shù)是否可以求的導(dǎo)的情況下一定要用定義求在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)）又fx 在x0連續(xù)11 設(shè)f( ) x 在x2連續(xù)，且f(2)=4，f0f0故f00則lim x 2f x ( )x122 x44規(guī)律總結(jié)：連續(xù)的奇函數(shù)在0 點(diǎn)的函數(shù)值為0；可導(dǎo)的偶函數(shù)，0 點(diǎn)的

27、導(dǎo)函數(shù)為0；解： 原式 =f(2) lim x 2x2 x2448若 fx 為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則f04lim x 2x12411解：（1）fx 為偶函數(shù)，fxfx412f x ( )sinxx1的間斷點(diǎn)個數(shù)為(2)fx可 導(dǎo) ，fxfx故x5xf0f0解： 令x5x0,x x1x12 x10 x0,x1,x1為間斷點(diǎn)，2f00即f009設(shè)y6xk 是曲線y3 x26 x13的故 fx 有三個間斷點(diǎn)（間斷點(diǎn)就是函數(shù)沒有意義的點(diǎn)）三 、計算題 （每小題 8 分，共 64 分）一條切線，則k解： （1）y6,y6 x6, 6x66,x213 已知f x ( )sin 2xx2 eax1,x0f00,f

28、0b 若F xf xa sin , x xx0a x0A x0在,上連續(xù)，求 a 的值在x0連續(xù)，求常數(shù)A。解：fx 在x0連續(xù)解：lim x 0F xlim x 0fxf0asinxxlim x 0fxlim x 0sin 2xxe2ax1lim x 0fxf0lim x 0asinxx0 xlim x 0sin 2xlim x 0e2ax122af0axx且F0A，abA 答 Aab且f0a ,22 aa16 設(shè)f x ( )x e1,x0在x0可導(dǎo)，故a2x1kxb x0ex,x014 討論f x ( )0,0 x1在x0,x1求k b 的值。（看到可導(dǎo)的條件要求變量，一定是兩個方 程，

29、一個關(guān)于連續(xù)性， 一個是關(guān)系某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（都是左導(dǎo)等于右導(dǎo)）找 一 個 題 目 自 己 動 手 計 算 ， 看 是 否 有 問 題?。﹍nx x 11x連續(xù)性 1解：（1）在x0處，lim x 0ex0,lim 0 x 00且f00解：（1）fx 在x0連續(xù)，lim x 0 x e11fx 在x0處連續(xù)xlim ( x 0kxb)b故有b1（2）在x1處，lim 0 x 10,（2）fx 在x0可導(dǎo)lim x 1lnx x1tlim x 0ln 1t1tf0lim x 0ex11x1x0fx 在x1不連續(xù)x(判斷連續(xù)性即找準(zhǔn)分段點(diǎn)，求極限) 15 設(shè)f( )有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 函 數(shù) ， 且0

30、解：（1）falim x axax0lim x 0 x e1x0lim x 0 x ex11xax 222lim x axxaaxf0lim x 0kx1 1k,xk1，答k1 , 2b1lim x ax連續(xù)a217設(shè)f x ( )ln(1xax ) ,x0在x0可（2）falim x axax01,x0 xa導(dǎo)，求 a 與f0lim x axaaxlim x ax連續(xù)a解：（1）fx 在x0連續(xù)，xlim x 0fxlim x 0ln 1xaxlim x 0axa答： 當(dāng)a0時， fx 在 xa 連續(xù)，當(dāng)a0時， fx 在 xa不連續(xù)x且f01，故有a119 求f x ( )1的間斷點(diǎn)，并指

31、出間斷l(xiāng)nx（2）fx 在x0可導(dǎo)點(diǎn)類型f0lim x 0ln(1x )1解：（1） 間斷點(diǎn)：x0,x1,x1xx（2） 在x0處：lim x 01x0lim x 0ln 1xxx0lim x 0 x11ln01x0是 fx 的第一類間斷點(diǎn)。22xlim x 01x11（3） 在x1處：lim x 112 x x12lnx答：a1,f01x1為 fx 的第二類無窮間斷點(diǎn)。218 討論f x ( )xax 在 xa是否可120 設(shè)f x ( )ex1,x0指 出導(dǎo)，其中x 在 xa連續(xù)。ln 1x, 1x0f x 的間斷點(diǎn)，并判斷間斷點(diǎn)的類型。2 xx x0 x1，22已知f x ( )3 ax

32、2 bxcx d,0解 ：（1）x1為間斷點(diǎn)，x0可能是間斷2 xx x1點(diǎn)。（2）在x1處：在,可導(dǎo)，求a b c d 之值11lim x 1ex1e0, lim x 1ex1解：（1）fx 在x0連續(xù)，x1是 fx 的第二類無窮間斷點(diǎn)lim x 03 axbx2cxdd（3）在x0處：1lim x 0 x2x0,f00 x lim 0ex1e1, lim ln 1 x 0 x0 x0是 fx 的第一類跳躍間斷點(diǎn)故d01（2）fx 在x0可導(dǎo)四、 綜合題 （每小題 10 分，共 20 分）1121 求f x ( )x1x1 1的間斷點(diǎn)，并判別f0lim x 0 x2xx1,x1x間斷點(diǎn)的類型

33、。f0lim x 0ax3bx2cxc解： （1）間斷點(diǎn)：x0，x1,x1x（2）在x0處：故有c12fx11)x x1x1（3）fx 在x1連續(xù)，1x xx1lim x 0fxlim x 0 x11lim x 1ax32 bxxf1x1x0是 fx 的第一類可去間斷點(diǎn)即ab1f10ab103（3）在x1處：lim x 1fxlim x 1x10 x1x1是 fx 的第一類可去間斷點(diǎn)（4）fx 在x0可導(dǎo)：f1lim x 1x2x1（4）在x1處：x lim1x1x1x1x1是 fx 的第二類無窮間斷點(diǎn)f1lim x 1ax3xbx2x10解：（1）lim x 0 xusin1u0 時000l

34、im x 13 ax22bx1x3 a2b1sin11,lim x 0u xu00 x故有 3 a2 b04由（ 3）（4）解得a2,b3當(dāng)u0時， fx 在x0連續(xù)(2)lim x 0 x usin1lim x 0 x u1sin1u1 時答：a2,b3,c1,d0 xx1x五、證明題 （每小題 9 分，共 18 分）sin11,lim x 0 x u1u10，即23 證明x42x40在區(qū)間2,2 內(nèi)至x少有兩個實(shí)根。當(dāng)u1時， fx 在x0可導(dǎo)證：（1）f( ) x 在2,0 連續(xù)，總之，當(dāng)u0時， fx 在x0連續(xù)且f040,f2160當(dāng)u1時， fx 在x0可導(dǎo)由零點(diǎn)定理知，選做題f

35、x =0 在2,0 上至少有一個實(shí)根。設(shè)對于任意的x ，函數(shù)滿足f1x（2）f x 在 0,2 連續(xù) ,且afx 且f0b 證明f1a bf040,f216480證：（1）令x0，f10af0由零點(diǎn)定理知，f x =0 在 0,2 上至少有一個實(shí)根f1af0（3）綜上所述，f x =0 在2,2上至少有(2) f1lim x 0f1xf1兩個實(shí)根x24 設(shè)fxxusin1,x0，證明（ 1）lim x 0afxxaf0af0a bx0,x0證畢當(dāng)u0時 fx 在x0連續(xù)，當(dāng)u1時，fx 在x0可導(dǎo)第四講： 導(dǎo)數(shù)與微分的計算方 法的強(qiáng)化練習(xí)題答案C15!5D15!5xx解：fx1x1,一、單項(xiàng)選

36、擇題（每小題 4 分，共 24 分）1設(shè)fx2x42 x1,則f1( ) fx1 1x2,A 1 B 3 C -1 D -3 fx121x3解：（1）fx22 x2x21f4x1231x4,fxx2x1f(5)x12341x5(2) fx2 x1,f12 114!(1)x5選 A 選 C 2設(shè)fxx x22 1x2224設(shè) yfx 由方程2 ex ycosxye1x2n2,則f0（）所確定，則曲線yfx 在點(diǎn)（ 0，1）的切線斜率f(0)= ( ) A ( !)2B1n n ( !)2Cn!D1n n!A 2 B -2 C 1 2D -1 2解： 令g x2 x2 12 x2 22 xn2解：

37、2 ex y2ysinxyyxy0fxx g x ( )fxg xxgxe2y000,y0f02選 B f0g0012225 設(shè) fx 為可導(dǎo)偶函數(shù)， 且g xfcos x ，n21nn!2則g2（）選 B 注：本題用導(dǎo)數(shù)定義計算更方便！A 0 B 1 3設(shè)fxln 1x ，則f5x = ( ) C -1 D 2 A 14!5B 14!5解：（1）gxfcosxcosxxxfcosxsinx（2）fxfx,8設(shè)fx1ln2x ，lnxfx1fx則 fe = 解：(1)fx2lnx1x1f0f0得f00 xx（3）g2f00選 A 2 1ln21ln2x（2）fe1 126設(shè) fx 在x1有連續(xù)

38、導(dǎo)數(shù)， 且f12,xx e 相2e2 e則lim x 0d f dxcosx( ) 9 直線l與 x 軸平行，且與曲線yA 1 B -1 切，則切點(diǎn)坐標(biāo)是0C 2 D -2 解：y 曲1x e,y e0 x e1解：d f dxcosx故有切點(diǎn)坐標(biāo)0, 1fcosxsinx21x10 yfx由方程3 x3 ysinx6y0(2)原式lim x 0sinxx fcosx確定，則dyx002解：當(dāng)x0時，y36y0得y1f11232 x3y2ycosx6y0dx選 B y01，dyx0y0dx1二、填空題 （每小題 4 分，共 24 分）7若xt esintt，6611設(shè)yln1x e，yetco

39、s1x e則2 d y則 dydx2解：y1ln 1ex1ln 1ex解：（1）dyetcostetsinte2 t( 1)22dxt esintt ecosty1x e1x ex e1(2) 2 d ydydydxsin2 e3 tt2x e2 1x e2 ex1dx2dxdtdttcos1 xa ，012設(shè)f xn a x 0n a x 11a n則fn0= (2)yarcsinx解：fxna xn1(nn 1) a x22a n1x21fnxn n1a x 0n n1x24x22n a 0,fn0n a 015方程sinxylnxy11確定 yy x ，三、計算題 （每小題 8 分，共

40、64 分）13 設(shè)yln1x1，求 dy 。求dyx01x1dx解： (1)yln(1x1)ln1x1解： (1)cosxy(yxy)x11y1=0 y(2)y111x（2） 當(dāng)x0時， 0lny1yex1 2 1111（3）cos 0e(e0)11y(0)0e1x1 2 1xx1xe11y(0)，y(0)e e1)（3）dyx1xdxe16設(shè)yxs i nc o s x，求 y1解：（1） lnylnxcosxln sinx14設(shè)yxarcsinx4x2，求 y 及 y 。21(2)1 yy1sinxln sinxcosxcosx解： (1) yarcsinxx12x2xsinx2yxsinxcosx12 cosxsin ln sinx22 xx2arcsinx4xx2xs