優(yōu)化設(shè)計(jì)論文

1、淺談最優(yōu)化問題12材控一班 袁揭 1210121054摘 要：優(yōu)化設(shè)計(jì)是一門綜合性的學(xué)科，非常有發(fā)展?jié)摿Φ难芯糠较?，是解決復(fù)雜設(shè)計(jì)問題的一種有效工具。最優(yōu)化問題涉及很多內(nèi)容很多，由其產(chǎn)生來源到問題分類，再到求解方法及模型的構(gòu)建等，它將最優(yōu)化原理和計(jì)算技術(shù)運(yùn)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為生活生產(chǎn)提供重要的科學(xué)方法。關(guān)鍵詞：優(yōu)化方法 分類 模型1最優(yōu)化問題概念1.1最優(yōu)化問題在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、商業(yè)、國防、建筑、通信、政府機(jī)關(guān)等各部門各領(lǐng)域的實(shí)際工作中，我們經(jīng)常會遇到求函數(shù)的極值或最大值最小值問題，這一類問題我們稱之為最優(yōu)化問題。而求解最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法被稱為最優(yōu)化方法。它主要解決最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃、最優(yōu)分配、

2、最佳設(shè)計(jì)、最優(yōu)決策、最優(yōu)管理等求函數(shù)最大值最小值問題。最優(yōu)化問題的目的有兩個：求出滿足一定條件下，函數(shù)的極值或最大值最小值；求出取得極值時(shí)變量的取值。最優(yōu)化問題所涉及的內(nèi)容種類繁多，有的十分復(fù)雜，但是它們都有共同的關(guān)鍵因素：變量，約束條件和目標(biāo)函數(shù)。1.2變量變量是指最優(yōu)化問題中所涉及的與約束條件和目標(biāo)函數(shù)有關(guān)的待確定的量。一般來說，它們都有一些限制條件（約束條件），與目標(biāo)函數(shù)緊密關(guān)聯(lián)。設(shè)問題中涉及的變量為；我們常常也用表示。1.3約束條件 在最優(yōu)化問題中，求目標(biāo)函數(shù)的極值時(shí)，變量必須滿足的限制稱為約束條件。 例如，許多實(shí)際問題變量要求必須非負(fù)，這是一種限制；在研究電路優(yōu)化設(shè)計(jì)問題時(shí)，變量必須

3、服從電路基本定律，這也是一種限制等等。在研究問題時(shí)，這些限制我們必須用數(shù)學(xué)表達(dá)式準(zhǔn)確地描述它們。 用數(shù)學(xué)語言描述約束條件一般來說有兩種：等式約束條件 不等式約束條件 或 注：在最優(yōu)化問題研究中，由于解的存在性十分復(fù)雜，一般來說，我們不考慮不等式約束條件或。這兩種約束條件最優(yōu)化問題最優(yōu)解的存在性較復(fù)雜。1.4目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化問題中，與變量有關(guān)的待求其極值（或最大值最小值）的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)常用表示。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為某問題的效益函數(shù)時(shí)，問題即為求極大值；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為某問題的費(fèi)用函數(shù)時(shí)，問題即為求極小值等等。求極大值和極小值問題實(shí)際上沒有原則上的區(qū)別，因?yàn)榍骹(X)的極小值，也就是要求f(X)

4、的極大值，兩者的最優(yōu)值在同一點(diǎn)取到。2. 最優(yōu)化問題分類 最優(yōu)化問題種類繁多，因而分類的方法也有許多?？梢园醋兞康男再|(zhì)分類，按有無約束條件分類，按目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)分類等等。 一般來說，變量可以分為確定性變量，隨機(jī)變量和系統(tǒng)變量等等，相對應(yīng)的最優(yōu)化問題分別稱為：普通最優(yōu)化問題，統(tǒng)計(jì)最優(yōu)化問題和系統(tǒng)最優(yōu)化問題。 按有無約束條件分類：無約束最優(yōu)化問題，有約束最優(yōu)化問題。按目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)分類：單目標(biāo)最優(yōu)化問題，多目標(biāo)最優(yōu)化問題。按約束條件和目標(biāo)函數(shù)是否是線性函數(shù)分類：線性最優(yōu)化問題（線性規(guī)劃），非線性最優(yōu)化問題（非線性規(guī)劃）。按約束條件和目標(biāo)函數(shù)是否是時(shí)間的函數(shù)分類：靜態(tài)最優(yōu)化問題和動態(tài)最優(yōu)化問題（動態(tài)

5、規(guī)劃）。按最優(yōu)化問題求解方法分類： 解析法（間接法）數(shù)值算法（直接法）數(shù)值算法（梯度法）多目標(biāo)優(yōu)化方法網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法3最優(yōu)化問題的求解步驟和數(shù)學(xué)模型3.1最優(yōu)化問題的求解步驟最優(yōu)化問題的求解涉及到應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)以及各專業(yè)領(lǐng)域等等，是一個十分復(fù)雜的問題，然而它卻是需要我們重點(diǎn)關(guān)心的問題之一。怎樣研究分析求解這類問題呢？其中最關(guān)鍵的是建立數(shù)學(xué)模型和求解數(shù)學(xué)模型。一般來說，應(yīng)用最優(yōu)化方法解決實(shí)際問題可分為四個步驟進(jìn)行：步驟1：建立模型提出最優(yōu)化問題，變量是什么？約束條件有那些？目標(biāo)函數(shù)是什么？建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型：確定變量，建立目標(biāo)函數(shù)，列出約束條件建立模型。步驟2：確定求解方法分析模型，根據(jù)

6、數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)，選擇優(yōu)化求解方法確定求解方法。步驟3：計(jì)算機(jī)求解編程序（或使用數(shù)學(xué)計(jì)算軟件），應(yīng)用計(jì)算機(jī)求最優(yōu)解計(jì)算機(jī)求解。步驟4：結(jié)果分析對算法的可行性、收斂性、通用性、時(shí)效性、穩(wěn)定性、靈敏性和誤差等等作出評價(jià)結(jié)果分析。3.2最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型最優(yōu)化問題的求解與其數(shù)學(xué)模型的類型密切相關(guān)，因而我們有必要對最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型有所掌握。一般來說，最優(yōu)化問題的常見數(shù)學(xué)模型有以下幾種：3.2.1無約束最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立一個目標(biāo)函數(shù)且無約束條件，這樣的求函數(shù)極值或最大值最小值問題，我們稱為無約束最優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為： 目標(biāo)函數(shù)例如：求一元函數(shù)和二元函數(shù)的極值。又例如：求函

7、數(shù)的極值和取得極值的點(diǎn)。3.2.2有約束最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立一個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件（等式或不等式），這樣的求函數(shù)極值或最大值最小值問題，我們稱為有約束最優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為： 目標(biāo)函數(shù) 約束條件有約束最優(yōu)化問題的例子：求函數(shù)在約束條件條件下的最大值和取得最大值的點(diǎn)。3.2.3線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立一個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是變量的線性函數(shù)，而且變量是非負(fù)的，這樣的求函數(shù)最大值最小值問題，我們稱為線性最優(yōu)化問題，簡稱為線性規(guī)劃問題。其標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型為： 目標(biāo)函數(shù) 約束條件矩陣形式： 目標(biāo)函數(shù) 約束條件其中 ， 在線性規(guī)

8、劃問題中，關(guān)于約束條件我們必須注意以下幾個問題。注1：非負(fù)約束條件，一般來說這是實(shí)際問題要求的需要。如果約束條件為，我們作變量替換；如果約束條件為，我們作變量替換。注2：在線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型中，約束條件為等式。如果約束條件不是等式，我們引入松馳變量，化不等式約束條件為等式約束條件。情況1：若約束條件為，引入松馳變量原約束條件變?yōu)?。情況2：若約束條件為，引入松馳變量原約束條件變?yōu)?在其它最優(yōu)化問題中，我們也常常采取上述方法化不等式約束條件為等式約束條件。實(shí)際問題中，我們經(jīng)常遇到兩類特殊的線性規(guī)劃問題。一類是：所求變量要求是非負(fù)整數(shù)，稱為整數(shù)規(guī)劃問題；另一類是所求變量要求只取或，稱為0-1規(guī)

9、劃問題。例如：整數(shù)規(guī)劃問題 。又例如：0-1規(guī)劃問題 。3.2.4非線性規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立一個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件，如果目標(biāo)函數(shù)或約束條件表達(dá)式中有變量的非線性函數(shù)，那么，這樣的求函數(shù)最大值最小值問題，我們稱為非線性規(guī)劃最優(yōu)化問題，簡稱為非線性規(guī)劃問題。其數(shù)學(xué)模型為： 目標(biāo)函數(shù) 約束條件其中目標(biāo)函數(shù)或約束條件中有變量的非線性函數(shù)。例如：非線性規(guī)劃問題 。 上述最優(yōu)化問題中，目標(biāo)函數(shù)是非線性函數(shù)，故稱為非線性規(guī)劃問題。 前面介紹的四種最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型都只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)最優(yōu)化問題，簡稱為最優(yōu)化問題。3.2.5多目標(biāo)最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型由某實(shí)際問題設(shè)立變量，建立兩個或多個目標(biāo)函數(shù)和若干個約束條件，且目標(biāo)函數(shù)或約束條件是變量的函數(shù)，這樣的求函數(shù)最大值最小值問題，我們稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問題。其數(shù)學(xué)模型為： 目標(biāo)函數(shù) 約束條件 上述模型中有個目標(biāo)函數(shù)，個等式約束條件。例如：“生產(chǎn)商如何使得產(chǎn)值最大而且消耗資源最少問題”“投資商如何使得投資收益最大而且風(fēng)險(xiǎn)最小問題”等都是多目標(biāo)最優(yōu)化問題。參考文獻(xiàn)1孫靖民.現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)方法M.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.2鐘志華 周彥偉.現(xiàn)代