高中數(shù)學競賽平面幾何定理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質(zhì)）1 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍2 射影定理（歐幾里得定理）3 中線定理（巴布斯定理）設ABC的邊BC的中點為P，則有；中線長：4 垂線定理：高線長：5 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例如ABC中，AD平分BAC，則；（外角平分線定理）角平分線長：（其中為周長一半）6 正弦定理：，（其中為

2、三角形外接圓半徑）7 余弦定理：8 張角定理：9 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BDAD2·BCBC·DC·BD10 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角12 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13 布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ACBD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊14 點到圓的冪：設P為O所在平

3、面上任意一點，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點P對于O的冪過P任作一直線與O交于點A、B，則PA·PB= |d2r2|“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論這條直線稱為兩圓的“根軸”三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點15 托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)

4、 （廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BCAC·BD16 蝴蝶定理：AB是O的弦，M是其中點，弦CD、EF經(jīng)過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM 17 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時，在三角形內(nèi)必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內(nèi)角不小于120°時，此角的頂點即為費馬點18 拿破侖三角形：在任

5、意ABC的外側(cè)，分別作等邊ABD、BCE、CAF，則AE、AB、CD三線共點，并且AEBFCD，這個命題稱為拿破侖定理 以ABC的三條邊分別向外作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C1 、A1 、B1的圓心構(gòu)成的外拿破侖的三角形，C1 、A1 、B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；ABC的三條邊分別向ABC的內(nèi)側(cè)作等邊ABD、BCE、CAF，它們的外接圓C2 、A2 、B2的圓心構(gòu)成的內(nèi)拿破侖三角形，C2 、A2 、B2三圓共點，內(nèi)拿破侖三角形也是一個等邊三角形這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心 19 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三

6、邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: （1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; （2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點; （3）三角形的九點圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切費爾巴哈定理20 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上21 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R22Rr22 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和23 重心：三角形的三條中

7、線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設G為ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則；（2）設G為ABC的重心，則；（3）設G為ABC的重心，過G作DEBC交AB于D，交AC于E，過G作PFAC交AB于P，交BC于F，過G作HKAB交AC于K，交BC于H，則；（4）設G為ABC的重心，則；（P為ABC內(nèi)任意一點）；到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即最?。?三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為ABC的重心）24 垂心：三角形的三條高線的交點；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的

8、距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于ABC的三邊的對稱點，均在ABC的外接圓上；（3）ABC的垂心為H，則ABC，ABH，BCH，ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為ABC的外心和垂心，則25 內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等； 內(nèi)心性質(zhì)：（1）設I為ABC的內(nèi)心，則I到ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為ABC的內(nèi)心；（4）設I為ABC的內(nèi)心， 平分線交BC于D，交ABC外接圓于點

9、K，則；（5）設I為ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則；26 外心：三角形的三條中垂線的交點外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點距離相等；（2）設O為ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和27 旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點旁切圓圓心；設ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為旁心性質(zhì)：（1）（對于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設的連線交ABC的外接圓于D，則（對于有同樣的結(jié)論）；（4）ABC是IAIBIC的垂足三角形，且IAIBIC的外接

10、圓半徑等于ABC的直徑為2R28 三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，29 三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系： 30 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 （逆定理也成立）31 梅涅勞斯定理的應用定理1：設ABC的A的外角平分線交邊CA于Q，C的平分線交邊AB于R，B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線32 梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線33

11、 塞瓦(Ceva)定理：設X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是··=134 塞瓦定理的應用定理：設平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點M35 塞瓦定理的逆定理：（略）36 塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點37 塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點38 西摩松（Simson）定理：從ABC的

12、外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）39 西摩松定理的逆定理：（略）40 關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上41 關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點42 史坦納定理：設ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心43 史坦納定理的應用定理：ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于邊BC、CA

13、、AB的對稱點和ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上這條直線被叫做點P關(guān)于ABC的鏡象線44 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共線這條直線叫做這個四邊形的牛頓線 45 牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線46 笛沙格定理1：平面上有兩個三角形ABC、DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線47 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形ABC、DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這

14、三個交點共線48 波朗杰、騰下定理：設ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) 49 波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點50 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點51 波朗杰、騰下定理推論3：考查ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的

15、弦，則三點P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點52 波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點53 卡諾定理：通過ABC的外接圓的一點P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線54 奧倍爾定理：通過ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN

16、與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線55 清宮定理：設P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線56 他拿定理：設P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則

17、稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點）57 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上 58 從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心59 一個圓周上有n個點，從其中任意n1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點60 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點61 康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三

18、角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線62 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點63 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E

19、的康托爾線64 費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切 65 莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形這個三角形常被稱作莫利正三角形66 布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點67 帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線68 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周

20、上這個圓稱為阿波羅尼斯圓69 庫立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓70 密格爾（Miquel）點： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構(gòu)成四個三角形，它們是ABF、AED、BCE、DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點71 葛爾剛（Gergonne）點：ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點 72 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角

21、形中的任意一點，過M向三邊作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： 平面幾何的意義 就個人經(jīng)驗而言，我相信人的智力懵懂的大門獲得開悟往往緣于一些不經(jīng)意的偶然事件 羅素說過：“一個人越是研究幾何學，就越能看出它們是多么值得贊賞”我想羅素之所以這么說，是因為平面幾何曾經(jīng)救了他一命的緣故 天知道是什么緣故，這個養(yǎng)尊處優(yōu)的貴族子弟鬼迷心竅，想要自殺來結(jié)束自己那份下層社會人家的孩子巴望一輩子都夠不到的幸福生活在上吊或者抹脖子之前，頭戴假發(fā)的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面幾何到底有多大迷人的魅力而這個魅力是之前他的哥哥向他吹噓的估計他的哥哥將平面幾何與人生的意義攪和在一起向他做了推介，不然

22、萬念俱灰的的頭腦怎么會在離開之前想到去做最后的光顧？而羅素真的一下被迷住了，厭世的念頭因為沉湎于平面幾何而被淡化，最后竟被遺忘了 羅素畢竟是羅素平面幾何對于我的意義只是發(fā)掘了一個成績本來不錯的中學生的潛力，為我解開了智力上的扭結(jié)；而在羅素那里，這門知識從一開始就使這個未來的偉大的懷疑論者顯露了執(zhí)拗的本性他反對不加考察就接受平面幾何的公理，在與哥哥的反復爭論之后，只是他的哥哥使他確信不可能用其他的方法一步步由這樣的公理來構(gòu)建龐大的平面幾何的體系的以后，他才同意接受這些公理 公元前334年，年輕的亞歷山大從馬其頓麾師東進，短短的時間就建立了一個從尼羅河到印度河的龐大帝國隨著他的征服，希臘文明傳播到

23、了東方，開始了一個新的文明時代即“希臘化時代”，這時希臘文明的中心也從希臘本土轉(zhuǎn)移到了東方，準確地說，是從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城正是在這個城市，誕生了“希臘化時代”最為杰出的科學成就，其中就包括歐幾里德的幾何學因為他的成就，平面幾何也被叫作“歐氏幾何” “歐氏幾何”以它無與倫比的完美體系一直被視為演繹知識的典范，哲學史家更愿意把它看作是古代希臘文化的結(jié)晶它由人類理性不可辯駁的幾個極其簡單的“自明性公理”出發(fā)，通過嚴密的邏輯推理，演繹出一連串的定理，這些在結(jié)構(gòu)上緊密依存的定理和作為基礎的幾個公理一起構(gòu)筑了一個龐大的知識體系世間事物的簡潔之美無出其右 費馬點：法國著名數(shù)學家費爾馬曾提出關(guān)于三

24、角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小人們稱這個點為“費馬點”這是一個歷史名題，近幾年仍有不少文獻對此介紹拿破侖三角形：讀了這個題目，你一定覺得很奇怪還有三角形用拿破侖這個名子來命名的呢！拿破侖與我們的幾何圖形三角形有什么關(guān)系？ 少年朋友知道拿破侖是法國著名的軍事家、政治家、大革命的領導者、法蘭西共和國的締造者，但對他任過炮兵軍官，對與射擊、測量有關(guān)的幾何等知識素有研究，卻知道得就不多了吧！ 史料記載，拿破侖攻占意大利之后，把意大利圖書館中有價值的文獻，包括歐幾里德的名著幾何原本都送回了巴黎，他還對法國數(shù)學家提出了“如何用圓規(guī)將圓周四等分”的問題，被法國數(shù)學家曼徹羅尼所解決據(jù)說拿破侖在統(tǒng)治法國之前，曾與法國大數(shù)學家拉格朗日及拉普拉斯一起討論過數(shù)學問題拿破侖在數(shù)學上的真知灼見竟使他們驚服，以至于他們向拿破侖提出了這樣一個要求：“將軍，我們最后有個請求，你來給大家上一次幾何課吧！” 你大概不會想到拿破侖還是這樣一位有相當造詣的數(shù)學愛好者吧！不少幾何史上有名的題目還和拿破侖有著關(guān)聯(lián)，他曾經(jīng)研