人教版選修1-2§1.1.1對回歸模型的統(tǒng)計.

1、人教版選修1 2 1-1.2對回歸模型的統(tǒng)計檢驗假設(shè)身高和隨機(jī)誤差的不同不會對體重產(chǎn)生任何彩響，那么所有人的體重 將相同.在體重不受任何變量形響的假設(shè)下，設(shè) 8 名女大學(xué)生的體重都是她們 的平均值，即 8 個人的體重都為54.5kg編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg54.554.554.554.554.554.554.554.5在散點圖中，所有的點應(yīng)該落在同一條 水平直線上，但是觀測到的數(shù)據(jù)并非如 此。這就意味著預(yù)報變址血重值 受解析變量（身高）或隨機(jī)誤差的影響。思考P5：如何刻畫預(yù)報變量（體重）的變化？這個變化在多大程度上 與解析變量（身

2、高）有關(guān)？在多大程度上與隨機(jī)誤差有關(guān)？編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359例如，編號為 6 的女大學(xué)生的體重并沒有落在水平直線上，她的體重為 61kg. 解析變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從 545kg“推”到了 61kg, 相差 6. 5kg,所以6.5kg 是解析變量和隨機(jī)誤差的組合效應(yīng)。編號為 3 的女大學(xué)生的體重并也沒有落在水平直線上，她的體重為 50kgo 解析 變量（身高）和隨機(jī)誤差共同把這名學(xué)生的體重從 50kg推”到了 54.5kg,相差-4.5kg, 這時解析變量和隨機(jī)誤差的組合效

3、應(yīng)為 4.5 畑。用這種方法可以對所有預(yù)報變量計算組合效應(yīng).數(shù)學(xué)上，把每個效應(yīng)（觀測值減去總的平均值）的平方加起來，即用n藝（y-5）2 表示總的效應(yīng)，稱為總偏差平方和。 在例1中，總偏差平方和為354。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體巫/kg4857505464614359那么，在這個總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來自于解析變量 （身高）？有多少來自于隨機(jī)誤差？假設(shè)隨機(jī)誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響，那么散點圖 中所有的點將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸 直線上。這些點散布在回歸直線附近，所以一

4、定是隨機(jī)誤差把這些點從回歸 直線上“推”開了。因此，數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異（必-兀）是隨機(jī)誤差的效應(yīng), 稱2=乩_0 為殘差。例如，編號為 6 的女大學(xué)生，計算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為:61-（0.849 x!65-85.712） = 6.627對每名來大學(xué)生計算這個差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號表示為:X（y, -y,-）2稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。1=1在例 1 中，殘差平方和約為 128.361。由于解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng) （總偏差平方和） 為354,而隨機(jī)誤差的 效應(yīng)為128. 361,所以解析變量的效應(yīng)為354-128.361=225

5、.639這個値琳為回歸平方和。解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）二解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和）我們可以用艸關(guān)指啓皿來刻畫回歸的效果， 其計算公式是 心 二殘差平方和。_齊總偏差平方和總偏差平方和-殘差平方和_回歸平方和總偏差平方和一總偏差平方和離差平方和的分解（三個平方和的意汶）1.總偏差平方和（SST）-反映因變量的力個觀察值與其均值的總離差2.回歸平方和（SS7?）-反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化 的影踰，或爭說，是由于 x 與 y 之間的線 性關(guān)系引起的 y的取值變化，也稱為可解釋 的平方和3殘差平方和（SSE）-反映除 x 以外的其他

6、因素對 y取值的影響, 也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和1=1F二-已-X（y,-y）2樣本決定系數(shù)（判定系數(shù)疋）1.回歸平方和占總離差平方和的比例“aNa尸2 =z 反=_ = 2_2.反映回歸直攻的擬合程度3.取值范圍在0，1之間4.說明回歸方程擬合的越好；“TO,說明回歸方程擬合的越差5判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即*=Cr）2我們可以用相關(guān)指數(shù) R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是疋=1 一召 37=1_殘壟平歹和。乞（y _ $）2總備差平萬和顯然，R2 的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好.在線性回歸模型中，*表示解析變童對預(yù)報變童變化的貢獻(xiàn)率R2 越接近 1,表

7、示回歸的效果越好（因為 R2 越接近 1,表示解析變量和 預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則 可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取 R2 較大的模型作為這組 數(shù)據(jù)的模型.總的來說：相關(guān)指數(shù)H是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)皿來刻畫回歸的效果，其計算公式是Ha r川i召_叩=1殘差平方和v（y._亍）2總偏差平方和f=l表3來源平方和比例解釋變量225.6390.64隨機(jī)誤差128.3610.36總計3541從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%,即R2 =0.64,可以敘述

8、為：“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應(yīng) 比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。殘差分析與殘差圖的定義：在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略 判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。然后，我們可以通過殘差&,：,2“來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。表“4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。編號12345678身離/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181

9、.1376.627-2.8830.382我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標(biāo)為殘差， 橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣 作出的圖形稱為殘差圖。幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認(rèn)在 釆集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾 正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)釆集沒有 錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選 用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合 精度越高，回歸方程的預(yù)叛赭度越高。1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有

10、時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響; 模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。用身這些問題也使用于其他問題棋型問3.一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解析變量， 哪個變量是預(yù)報變量。(2)畫出確定好的解析變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察 它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)。(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線 性關(guān)系，則選用線性回歸方程:y=bx+a )(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘 差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等)，過存在異常,