高數(shù)上冊歸納公式篇(完整)

1、最新資料推薦公式篇目錄一、函數(shù)與極限1 .常用雙曲函數(shù)2 .常用等價無窮小3 .兩個重要極限二、導數(shù)與微分1 .常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導數(shù)公式2 .n階導數(shù)公式3 .高階導數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較4 .參數(shù)方程求導公式5 .微分近似計算三、微分中值定理與導數(shù)的應用1 .一階中值定理2 .高階中值定理3 .部分函數(shù)使用麥克勞林公式展開4 .曲率四、定積分1 .部分三角函數(shù)的不定積分2 .幾個簡單分式的不定積分五、不定積分1 .利用定積分計算極限2 .積分上限函數(shù)的導數(shù)3 .牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理4 .三角相關定積分5 .典型反常積分的斂散性6 .r函數(shù)（選）六、定積分

2、的應用1 .平面圖形面積2 .體積3 .弧微分公式七、微分方程1 .可降階方程2 .變系數(shù)線性微分方程3 .常系數(shù)齊次線性方程的通解4 .二階常系數(shù)非齊次線性方程（特定形式）的特解形式5 .特殊形式方程（選）一、函數(shù)與極限1.常用雙曲函數(shù)(sh(x).ch(x).th(x)廢-d*/+/sinKvex-exsinhA=.coslrr=.tanliv=22coshAcosh2-sinh2x=12 .常用等價無窮小(X-0時)X尸sinvx.tanAx.1-cosa.secA-177arcsiavx.nrctanx工(1+依產(chǎn)-1必花ax-1zkIna(ex-1x)3 .兩個重要極限sinxI/l

3、iin=1,limfld)l=elim(l+x)c=exgxi。二、導數(shù)與微分1.常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導數(shù)公式(sinx)f=cost,(coskvf=-siav(tain)=sec2xXcotv)=-esc2(sec寶y=sec.xtanx,(esex)=-csc.vcotv11(arcsinx)=.,(arcco&x/=,Vl-x2JI11(arctanx)r=/arccotx)r=1+a21+/(凡是“余”求導都帶負號)2 .n階導數(shù)公式)=(hw)V(exyTJ!=cx(“一ln(ax+b)產(chǎn)=優(yōu)(-1yH(0!=1)(ax+b)n(wc+by產(chǎn)=“；1-1)q-計特另地，若=n

4、7（B+匕）”產(chǎn)5（川）sm(ax+b)nin(ax+b+cos(ax+b)tn=ari* cos(ax+b+HJlT)nn3)3 .高階導數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項式定理的比較（小嚴=&“叫詢+0心歲+aW/+C；/W（艮+川=C；/F+Ci葉+Cf產(chǎn)*/+C：出產(chǎn)函數(shù)的0階導數(shù)可視為函數(shù)本身4 .參數(shù)方程求導公式0尸g(f)dy_出_4dxdxdtd$=ddy_d(g(/)出=於”(”廣dx2&dxdtf(t)fdxLTF5 .微分近似計算(|Ax很小時)Ayaay=f,(珀Ax（注意與拉格朗日中值定理比較）（與等價無窮小相聯(lián)記憶）f8+(與)(，-/)常用：(l+ctrVl+a/7xsi

5、nx穴；苞cosx(rad)cv+xjn(l+x)；x三、微分中值定理與導數(shù)的應用1.一階中值定理（f（x）在a,b連續(xù)，（a,b）可導）羅爾定理（端點值相等f（a）=f（b）拉格朗日中值定理運3例/-八例=/3切柯西中值定理（g（x）#0金0）王力）,g -g(b)2.高階中值定理（f（x）在（a,b）上有直到（n+1）階導數(shù)）泰勒中值定理力）j. y . j, y廣() .、J () =/ (/)+ j (XT。)nl(x-x+RnRn為余項Kft-1(葉 1)!凡尸皿X7J1（E在x和xo之間）令x0 = 0得到麥克勞林公式/(x)=/(0) + -0：+l)!凡尸。2/2O)x+* *

6、 ,+-x+/?F.3.部分函數(shù)使用麥克勞林公式展開（皮亞諾型余項）兀多工21siiu =x-11-( 一 y*,:3!(2血-1)!co&x =1 -12!(2m)!+o(x2fnc = 1 +xH1 * Hr +o(xf,)2! n1r:ln(l+x)=xF +(-l 廣,l-o(x,L)2n(1 +1)= 1 +AX+2;r H1-為(A-1)(2-汽+1)A iriz LA J/14.曲率1 K=一 p|v,h|二一!2-L-irii+G02zifX=尸#/丁K川ILf平四、不定積分1 .部分三角函數(shù)的不定積分Jsimadx=-cosx+C,fcosxdx=sirrr+CJtaax(i

7、i-In|cosx|+C,J*cotxdx=In|siru|+CJsee兀dxIn|secx+taav|+CJcscadx=In|esex-COtT|+C2 .幾個簡單分式的不定積分dx-yfx-+a-=n(x+ y/x2+a2 )+C=Inx+ yfx-a | +C五、定積分1 .利用定積分計算極限lim=J/W小打一8勺-ni=Ir（n-z+l）a+（i-l）Z（n-i）a+ib-AG1)1-pDivergence(/?OaGl+oo)lim xpf(x)=l0X- + ?+0C/(x)irConvergence (p)Divergence(P1)(2)瑕積分(無界函數(shù)的反常積分1f -

8、1 =Jo xpl-p!)則 y = (x,Ci)dx C212推論2/(x)0a(0,1=oox0limxpf(x)=l0X-*+ConvergenceDivergenceS1)Convergence:收斂,Divergence:發(fā)散6.r函數(shù)(選)r(s)dx小旬小八T($+1)二($)(1)遞推公式：堆八5+1)二加5GN+)推論：(2)歐拉反射公式(余元公式)when0.vlTCv)r(l-s)=siiwifv-)六、定積分的應用1.平面圖形面積(1)直角坐標：由曲線y=f(x)之0及x=a,x=b與x軸圍成圖形a二fVw改J裁(2)極坐標：有曲線p=(e)及日=P圍成圖形2體積(1)

9、繞X軸旋轉體體積(2)平行截面面積已知的立體的體積平行截面(與X軸垂直)面積為A(x)3.弧微分公式(1)直角坐標：以二J(荷+(力)=ZWF公(2)極坐標:X=/)(y)COSX,二psiavdsyp2(0)+pt2(ff)dO七、微分方程1 .可降階方程y(n)=f(x)型n次積分得1/dx二小十0”+-C一6+C-、網(wǎng)n2 2)y=f(x,y)型作換元p=y得p=f(x,p)得通解p=：(x,C1)最新資料推薦y=f(y,y)型作換元p=y,y=dp=pdp,p_dp=f(y,p)dxdxdx得通解p=；(y,C1)=dydx=xC22 .變系數(shù)線性微分方程(1)一階線性微分方程：y+P

10、(x)y=Q(x)_P(x)dx對應齊次方程：y+P(x)y=0的通解為Y=Ce原方程y+P(x)y=Q(x)的通解為P(x)dx_P(x)dxy=(.Q(x)edxC)e一階線性非齊次方程的通解等于相應齊次方程的通解和非齊次方程一個特解的和(2)高階線性微分方程yR(x)y(nJ1)Pnx)yPn(x)y=Q(x)對應齊次方程為y(n)P(x)y(n4):i!:：!PnJ(x)yPn(x)y=0若y1(x，y2(x，yn(x)為齊次方程n個線性無關解則齊次方程的通解為Y(x)=C1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)若y*(x)為非齊次方程的一個特解則非齊次方程的通解為y=Y(x)y*(x

11、)3 .常系數(shù)齊次線性方程的通解(1)二階方程y+py+q=0特征方程為r2prq=0b-b,：0,兩個不等實根1=,b=2a2a-：=0,兩個相等實根r1=r2=一上2通解為y=(C1C2x)er1x：二0，一對共軻復根r1=：J,r2-：-i,：=，:=-22通解為y=eVc1cosxC2sin-x)(2)高階方程y+Piy(n_1)+Pny+Pny=0特征方程為rn,p1rn工+-+pnr,pn=0對于其中的根r的對應項實根r一個單實根：Cerx一個k重實根：(C1+C2x+Ckxk,)erxI2k復根r1,2=久士Pi一對單復根：e：x(C1cos-x-C2sinx)一對k重復根：ex

12、(G+C2x+Ckxk)cosPx+(D1+D2x+Dkxk)sinPx通解為對應項之和4 .二階常系數(shù)非齊次線性方程(特定形式)的特解形式_2_y，pyqy=f(x),對應的特征萬程為r,pr,q=0f(x)=e?xPm(x)Pm(x)為x的m次多項式特解形式為y*=xkQm(x)exk=0(非特征根)1億為特征單根)2(7一為特征重根)Qm(x)是x的m次多項式(2)f(x)=eP(x)cossx+Pn(2)(x)sinmxP(x),Pn(x)分別為x的l,n次多項式特解形式為y*=xkQm(x)cossx+Rm(x)sinsxexm=maxl,n,Qm(x),Rm(x)為x的m次多項式記z=ik=0（z非特征根）1（z為特征復根）5.特殊形式方程(選)(1)伯努利方程dyP(x)y=Q(x)yn(n=0,1)dxy上dyP(x)yJ=Q(x)dx15dZndr(1一n)ydydxdz一(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)dx得通解z=q：、：（x,c）1y=L(x,C)產(chǎn)(2)歐拉方程f(x)n(n)n(n