圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題.doc

1、軌跡方程經(jīng)典例題一、軌跡為圓的例題：1、必修2課本P.B組2：長為2a的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在X軸和y軸上移動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程:必修2課本PB組：已知M與兩個(gè)定點(diǎn)(0,0),A(3,0)的距離之比為求點(diǎn)M的軌跡方程；(一般地：必修2課2本P,B組2：已知點(diǎn)M(x,y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1,M2的距離之比為一個(gè)常數(shù)m；討論點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程(分m=1,與m=1進(jìn)行討論)BMA2、必修2課本P122例5：線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(葉1)2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡。(2013新課標(biāo)2卷文20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在X軸上截得線段長為2<

2、2,在y軸上截得線段長為2寸口。(1)求圓心的P的軌跡方程;/2(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為，求圓P的方程。2如圖所示，已知(4,0)是圓葉2=36內(nèi)的一點(diǎn)，、是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足N=90°,求矩pxyABAPB形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解：設(shè)的中點(diǎn)為，坐標(biāo)為(，),則在Rt4中，I1=1I.又因父R是弦的中點(diǎn),ABRxyABPARPR/_Z(x4)y所以有在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)Q+一y。，代入方程2-4-io=o2依垂徑定理：在Rta中，II2=lI2-|I2=36(2+2)又I1=11=22OARARAOORxyARPR(-4)2+2=36-(2+2),即2

3、+2410=0因此點(diǎn)在一個(gè)圓上，而當(dāng)xyXyxyxRR動(dòng).十設(shè)(，y)，(.y)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x=A"+*1?-v+4(1)若圓心C也在直(4)2(y)24x10=0整理得：x?+y2=56,這就是所求的軌跡方程.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3),直線1:y2x4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在1上.線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.（2013陜西卷理20）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4,0）,且在y軸上截得弦MN的長為8.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知點(diǎn)B（_l,0）,設(shè)不垂直于x軸的直

4、線1與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是/PBQ的角平分線，證明直線1過定點(diǎn)。二、橢圓類型：3、定義法：（選修2-1P5。第3題）點(diǎn)M（X,y）與定點(diǎn)F（2,0）的距離和它到定直線X=8的距離之比為1,求點(diǎn)2M的軌跡方程.（圓錐曲線第二定義）討論：當(dāng)這個(gè)比例常數(shù)不是小于1,而是大于1,或等于1是的情形呢？（對(duì)應(yīng)雙曲線，拋物線）4、圓錐曲線第一定義：（選修2-1P5。第2題）一個(gè)動(dòng)圓與圓.x2+y2+6x150=外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x"91%內(nèi)切，求動(dòng)圓的圓心軌跡方程。5、圓錐曲線第一定義：點(diǎn)M（xo,yo）圓Fl（#l）2+y2=9上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F2（1,0）為定點(diǎn)。線段

5、MF2的垂直平分線與MF1相交于點(diǎn)Q（x,y）,求點(diǎn)Q的軌跡方程;（注意點(diǎn)F2（1,0）在圓內(nèi)）6、其他形式：（選修2-1P50例3）設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是（-5,0）,（5,0）,直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且他們的斜率4的乘積為，求點(diǎn)M的軌跡方程：（是一個(gè)橢圓）94（討論當(dāng)他們的斜率的乘積為一時(shí)可以得到雙曲線）9（2013新課標(biāo)1卷20）已知圓M:（x+l）2+y2=i,圓N:（x-l）2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,PC1C21PM1C圓心的軌跡為曲線。（）求的方程；（）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，求AB|(2013陜西卷文20)已知

6、動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點(diǎn)N(l,0)的距離的2倍。(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率。三、雙曲線類型:+=8、圓錐曲線第一定義：點(diǎn)'xo,yo)/Fi(xi)2y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F2(1,0)為定點(diǎn)。線段MF2的垂直平分線與MF1相交于點(diǎn)Q(x,y),求點(diǎn)Q的軌跡方程；(注意點(diǎn)F2(1,0)在圓外)-，求點(diǎn)M的軌跡方41(2定義法：(選修2-1P59例5)點(diǎn)M(X,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線X=_的距離之比為5程.(圓錐曲線第二定義)四、拋物線類型：10、定義法：(選

7、修21)點(diǎn)M(X,y)與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到定直線X=-2的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程。(或：點(diǎn)M(X,y)與定點(diǎn)F(2,0)的距離比它到定直線X=-3的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程。)(2013陜西卷文20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線1:x4的距離是它到點(diǎn)N(l,0)的距離的2倍。(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與軌跡C交于A,B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率已知三點(diǎn)0(0,0),A(2,1),B(2,l),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足TTT+=,+IMAMBIOM(OAOB)2。(1)求曲線C的方程；1222I上任意一點(diǎn)M,M到直線x=-)在直角

8、坐標(biāo)系xOy中，曲線C的點(diǎn)均在C：(x-5)+y=9外，且對(duì)C2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.(I)求曲線Ci的方程；(湖北)設(shè)A是單位圓x?+y2=l上的任意一點(diǎn)，i是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線i與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線1上,且滿足IDMI=mIDA|(m>0,且mW1)。當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線Co(I)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；(遼寧)如圖，橢圓Co：=l(a>b右，a,b為a2b2Ci:x2y2ti2,b。點(diǎn)Ai,A2分別為Co的左,交于A,B,C,D四點(diǎn)。(I)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程；(四川)

9、如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A(T,0)、B(2,0)構(gòu)成常數(shù))，動(dòng)圓與CoCo(I)求軌跡C的方程；(II)設(shè)直線y=-2x+m與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R,且IPQIli)RI,IPRI求的取值范圍。IPQI1 .()已知橢圓的焦點(diǎn)是B、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長BP到Q,使得IPQI=IPF2I,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A.B.橢圓C.雙曲線的一支2 .()設(shè)A、A是橢圓/+占=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn),D.拋物線是垂直于AA的弦的端點(diǎn)，則直線AP與AP交點(diǎn)的軌跡方程為()A.c.針廿=lD.y294x2=l94二、填空題3.()ABC中,aA為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(-,0),C(a

10、,。)2，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A2的軌跡方程為4.()高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(一5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是.三、解答題上的三點(diǎn)，且IABI=IBCI=6,。O'切直線1于點(diǎn)A,又過B、C作。O'異于5.()已知A、B、C是直線11的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.PP文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)x為X軸，以一的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為81726.解:設(shè)P(xo,yo)(x#±a),Q(x,y).,*Ai(a,0),A

11、z(a,0).x+axo+a由條件yyoI1=-ix-axo-a而點(diǎn)(o,o)在雙曲線上，,Pxyxo=-x(xo*±a)榭x2-a2yo=Iy22222222即b(-x)a(a)=aby化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2-b2y2=4(x#土a).8.解：(I),點(diǎn)F?關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接PQ,ZF2PR=ZQPR,IF2RITQRI,IPQI=IPF2I又因?yàn)閘為NBPB外角的平分線，故點(diǎn)Iil=l2I+Il=lil+l2I=2,貝U(FQFPPQFPPFax'xi+cXO=又2I_ILyoL2得xi=2xoc,yi=2y().77)1Am:.(2xo)+(2y()=(

12、2a),:.xo+y()=a.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(yW0)(2)如右圖，aaob=!lI-IIsinS-OAOB2當(dāng)N=90°時(shí),AOBAOB最大值為S2aFixP、Q在同一直線上,設(shè)存在R(Xo,yo),Q(xi,yi),Fi(c,0),F2(c,0).此時(shí)弦心距IOCI二在RtAOC中，ZAOC=45°,J2°=二，k=±2IOCIlakI=cos45IOAI/1+k2專題一：求曲線的軌跡方程課前自主練習(xí)：1 .如圖1,MBC中，已知B(-2,0),C(2,0),點(diǎn)A在x軸上方運(yùn)動(dòng)，且tanB+tanC=2,則頂點(diǎn)A的軌跡方程是.2

13、.如圖2,若圓C：(xt)2+y2=36上的動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)B(l,0)連線BM的垂直平分線交CM于點(diǎn)G,則G的軌跡方程是圖1圖2圖3圖4實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)+=1上運(yùn)/3 .如圖3,已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)P在圓x2y2動(dòng)，-AOP的平分線交AP于Q,則Q的軌跡方程是4 .與雙曲線x2-2y2-2有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(22)的雙曲線方程為.5 .如圖4,垂皂步y(tǒng)軸的直線與y軸及拋物線y2-2(；1)分別交于點(diǎn)A、P,點(diǎn)B在y軸上，且點(diǎn)A滿足IABI2IOAI,則線段PB的中點(diǎn)Q的軌跡方程是.幾種常見求軌跡方程的方法：1.直接法：由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用

14、坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.直接法求軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)十例1(1)求和定圓x2y2列式代換化簡檢驗(yàn);R2的圓周的距離等于R的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;(2)過點(diǎn)A(a,O)作圓O:R2(a>R>0)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡.=+=+=解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，則有IOPI2R或IOPI。.即x+二十故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2y24R2或y22y24R2或x?y20.0.(2)設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y),連結(jié)OM,貝iJOM1,化簡得：(xAM.VkoMkAMa3(y.2其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓【例2】已知直角坐標(biāo)平面上一點(diǎn)Q(2,0)

15、O內(nèi)的一段弧,不育學(xué)點(diǎn)).和圓C：X2y2-1,動(dòng)點(diǎn)M到圓c的切緣長等于圓C的半徑與IMQI的和.求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說啰它表示什么曲線.解：如圖,AIOMI2設(shè)MN切圓C于N,又圓的半徑ION門，+=*一INMI2IONI2-INMI21,AIMNIIOM21,已知IMNIIMQI設(shè)M(x,y),則x-y1.2x3=V(x-2卞y2,即我+2)2y2y2-8x1,>-50(x3).2233故所求的軌跡是以點(diǎn)(,。)為中心，實(shí)軸在x軸上的雙曲線的右支，頂點(diǎn)為(，0),如圖.3>3【例4】已知定圓A的半徑為r,定點(diǎn)B與圓A的圓心A的距離為m(m2r).又一動(dòng)圓P過定點(diǎn)B,且與定圓A

16、相切.求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖.當(dāng)動(dòng)圓P與定圓A外切時(shí)，IPAIIPBIr；當(dāng)動(dòng)圓P與定圓A外切時(shí)，IPBIIPAIr.由雙曲線的定義知?jiǎng)訄A圓心=m=-支).顯然，C,又a2Sfb2-c2nr-r2.4P的軌跡應(yīng)是以A、B為兩焦點(diǎn)的雙曲線(外切時(shí)為右支，內(nèi)切時(shí)為左x44M所以所求的點(diǎn)p軌跡方程是：3.動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法：若動(dòng)點(diǎn)P（x,y）隨已知曲線上的點(diǎn)Q（xo,yo）的變動(dòng)而變動(dòng)，且xo、yo可用x、y表示,則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程.這種方法稱為動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法（或代換法或相關(guān)點(diǎn)法）.【例5】已知定點(diǎn)A（3,l）、

17、B為拋物線y2=x+l,上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)P（x,y）,且設(shè)點(diǎn)B（xo,yo）,則有yo2=x（）+l.,點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：'xo+3x2Jxo=2x-32_十2yo+1,yo=2y-1.將此式代入yo=XO1中，并整理得：（2y-l）=2xa,y='2即為所求軌跡方程.它是一條拋物線.4 .待定系數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是確定的某種曲線時(shí)，設(shè)出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設(shè)的參數(shù)，進(jìn)而求出方程.如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.【例7】若拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對(duì)稱

18、軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，又直線y=2x被雙曲線截得的線段長等于/5，求此雙曲線方程.解：設(shè)所求雙曲線方程為金一二=1,將y2=4x代入整理得：a2x2_4b2x+a2b2=0.a2b2,拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對(duì)稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程a?X2-41?x+a2b2=0應(yīng)有等根.=16b'4a3b2=0,BPa2=2b.由y2x和i得：（4bLa2）x2_a2b2=0.a2b2（1丁,I_a2b2由弦長公式得：25=Q攵2XI+X2）2-4XIX2=。-（4）（-二2一2）:j74b-a-x2=1.2t,并用t表示便可得到動(dòng)點(diǎn)P的即a2b2=

19、4b2_a2.由ja2=2b得：a2=2,b2=1.雙曲線的方程是!a2b2=4b2-a25 .參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量r_f（t）動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y,從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程8=消去參數(shù)t,8=g。）的軌跡的普通方程，但要注意方程的等價(jià)性，即有t的范圍確定出x、y的范圍.B(X2,y2),與xZ4y聯(lián)立得:y（D）雙曲線【例8】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)（0,-1）作直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A、B,以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB,求頂點(diǎn)R的軌跡方程.十，中點(diǎn)為解：設(shè)R(x,y),AB：y17xABM(xo,yo),A(xi,yi),

20、x2-4kx+4=0.=16(k210,xi+X2=4k,xi*X2-4.yi+y2+2=k(xi+x2)Wk2,yi+y2=4k2-2.M(2k,2k2-l),VF(0,1),M為AB中點(diǎn)，x=4k,y=4k2-3.消k得：x2=4(y+3)(y.鞏固練習(xí)：1 .平面上和兩相交的定圓(半徑不等)同時(shí)相外切的動(dòng)圓圓心的軌為(A)橢圓的一部分(B)橢圓(C)雙曲線的一部分2 .已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與定點(diǎn)F（2,0）的距離比動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡（）（D）拋物線和一直線（A）拋物線（B）拋物線的一部分（C）拋物線和一射線3 .已知定直線1和1外一點(diǎn)A,過A與1相切的圓的圓心軌跡是（）實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)

21、(A)拋物線(B)雙曲線(C)橢圓(D)直線4.一動(dòng)圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為(5.6.(A)圓已知橢圓的焦點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(A)圓已知點(diǎn)A(一2,0)、(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支Fi、F2、P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).如果延長(D)拋物線FiP到Q,使得IPQI=1PF2I,那么)(B)橢圓(D)拋物線B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足PAPB，則點(diǎn)P的軌跡是(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線7.與圓x2+y2-4x=0外切，又與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程是(A) y2=8x(B) y2=8x(xX)和y2(Oy2=8x(x>0)

22、(D)y2=8x(xX)和y歸x/8.過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q,則線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為()9.(A)y2=2x-1(B)y2=-2x+1(C)y2=2x(D)y22k2wP(x.y)XyABQpy過點(diǎn)的直線gu與的正半.和j軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若BP=2PA,且OQAB'=1,則點(diǎn)P的軌跡方程是()軸對(duì)稱,10.(A) 3x2+3y2=i(x>0,y2(C)_x2_3y2=i(x>0,y2已知兩點(diǎn)M(一2,0)、N(2,0)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為(夕)(B) 3x2_3_y2=1(x>0,yJ7(D)_X-2+3y2=1(x>0,y9)11.(A)y2與雙曲線=8xX2(B)2，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),)y2=-8x(C) y2滿足=4xI