東北大學線性代數

1、教學基本要求:1. 掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念2. 了解合同變換和合同矩陣的概念.3. 了解實二次型的標準形和規(guī)范形，掌握化二次型為標準形的方法4. 了解慣性定理.了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別方法第六章二次型本章所研究的二次型是一類函數，因為它可以用矩陣表示，且與對稱矩陣一一對應，所以就通過研究對稱矩陣來研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形狀”的函數？如何通過研究對稱矩陣來研究二次型？二次型是“什么形狀”的函數涉及二次型的分類通過對稱矩陣研究二次型將涉及矩陣的“合同變換”、二次型的“標準形”、通過正交變換化二次型為標準形、慣性定理、正定二次型等.一、二次型與合

2、同變換1. 二次型n個變量xi,x2,nX勺二次齊次函數f(Xl,X2,nX=ailXl2+322X22+0nXn2+2ai2XiX2+2ainXiXn+2an-1nXn-lXn(6.1)稱為一個n元二次型.當系數aj均為實數時，稱為n元實二次型.(P佃定義6.i)以下僅考慮n元實二次型.'ain'1a2n9,X=X2,那么ann)<XnJaiiai2、共aai2a22設A=©na2nf(Xi,X2，n：X=x1Ax.(6.2)式(6.2)稱為n元二次型的矩陣表示例6.1(例6.1P132)二次型f與對稱矩陣A對應，故稱A是二次型f的矩陣，f是對稱矩陣A的二次型

3、，且稱A的秩R（A）為二次型f的秩.（定義6.2P132）由于二次型與對稱矩陣是一一對應的，所以從某種意義上講，研究二次型就是研究對稱矩陣定義6.2僅含平方項的二次型f（X1,X2，nX=a11X12+322X22+*5妒（6.3）稱為標準形.系數為1莊2,na僅取-1,0,1的標準形稱為規(guī)范形.（定義6.3P132）標準形的矩陣是對角矩陣二次型有下面的結論:定理6.1線性變換下，二次型仍變?yōu)槎涡?可逆線性變換下，二次型的秩不變.（定理6.1P133）這是因為x=Cy,Tf=xAxAiB=CTACR(A)=R(B)b=ctac-Tf=yBy.C-02. 合同變換在可逆線性變換下，研究前后的二

4、次型就是研究它們的矩陣的關系定義6.3設A,B是同階方陣，如果存在可逆矩陣C,使B=CaC,則稱A與B是合同的，或稱矩陣B是A的合同矩陣.對A做運算CTAC稱為對A進行合同變換，并稱C是把A變?yōu)锽的合同變換矩陣.（定義6.4P133）矩陣的合同關系具有反身性、對稱性、傳遞性注意：（1）合同的矩陣（必須是方陣）必等價，但等價的矩陣（不一定是方陣）不一定合同.（P134）A與B合同u可逆矩陣C,時B=CAC.（推論1P137）A與B等價u可逆矩陣P,Q,cB=PAQ（2）合同關系不一定是相似關系，但相似的實對稱矩陣一定是合同關系正交矩陣Q,己Q-1AQ=QtAQ=BnA與B既相似又合同合同變換的作

5、用：對二次型施行可逆線性變換等價于對二次型的矩陣施行合同變換t=xAx一T_T'T_-yCACy=yBy1CTAC=B如果B是對角矩陣，則稱f=yTBy是f=xAx的標準形.二、用正交變換化二次型為標準形1. 原理由第五章第三節(jié)知：對于實對稱陣A,存在正交矩陣Q,使Q-1AQ為對角矩陣（對角線上的元素為A的n個特征值）.因此，二次型f=xTAx經正交變換x=Qy就能化為標準形f=yT（QTAQ）y=yT（Q'1AQ）y.定理6.2任意實二次型都可經正交變換化為標準形，且標準形中的系數為二次型矩陣的全部特征值.（定理6.2P134）推論1任意實對稱矩陣都與對角矩陣合同.（推論1P

6、137）推論2任意實二次型都可經可逆線性變換化為規(guī)范形.（推論2P137）正交變換既是相似變換又是合同變換.相似變換保證矩陣有相同的特征值，化標準形則必須經合同變也.所以，正交變換是能把二次型化為“系數為特征值”的標準形的線性變換2. 用正交變換化二次型為標準形的步驟用正交變換化二次型f=xTAx為標準形的過程與將實對稱陣A正交相似對角化的過程幾乎一致.具體步驟如下：（1）求出A的全部互異特征值求齊次線性方程組(ZiE-A)x=o(i=1,2,-；s)的基礎解系(即求A的n個線性無關特征向量)；(3) 將每一個基礎解系分別正交化、規(guī)范化，得到n個正交規(guī)范的線性無關特征向量氣ar瓦(4) 正交相

7、似變換矩陣Q=(S)；2；-；£n),正交相似變換x=Qy把二次型f=xTAx變?yōu)闃藴市蝔=yT(QTAQ)y.例6.2(例6.2P134)例6.3(例6.3P135)三、用配方法化二次型為標準除了正交變換，事實上，還存在其它的可逆線性變換能把二次型化為標準形.舉例說明如下.例6.4(例6.4P139)例6.5(例6.5P139)總結：用配方法化二次型為標準形的過程分兩種情形：(1) 二次型中含有平方項例如，若二次型中含有平方項311X12，則把所有含*的項集中起來配方，接下來考慮322X22,并類似地配方，直到所有項都配成了平方和的形式為止(2) 二次型中不含平方項，只有混合項例如

8、，若二次型中不含平方項，但有混合項2312X1X2,則令X1=yy2,X2=yf,Xi=y”i=3,.,n.那么關于變量y1；y2；-；yn的二次型中就有了平方項，然后回到(1).四、正定二次型1. 慣性定理雖然把二次型化為標準形的可逆線性變換不唯一，從而標準形也可能不唯一，但同一個二次型的所有標準形卻總滿足如下慣性定理.定理6.3(慣性定理)設實二次型f=xTAx的秩為r,且在不同的可逆線性變換x=Cy和x=Dy下的標準形分別為f=X|y/+?2y/+-+?ry；/iQf=則入1,波危與s廠，湖正數的個數相同2.2.2一"1+（J2y2+ryr,（Ji乒Q.（定理6.3P142）定

9、義6.4二次型f的標準形中的正（負）系數的個數稱為f的正（負）慣性指數.（定義6.5P143）慣性定理指出，可逆變換不改變慣性指數推論n階實對稱陣A與B合同的充分必要條件是A與B有相同的正慣性指數和負慣性指數.（推論P143）正慣性指數+負慣性指數=R（A）.正慣性指數=正特征值的個數，負慣性指數=負特征值的個數.2.二次型的分類二次型（/二次型的矩陣）的分類：（定義6.6-6.7P143）f/A正定uf/A半正定u<f/A負定uf/A半負定uf/A不定uf0,Vx#0（A正定記作A0）f芝0,vX#0（A半正定記作A芝0）f<0,Vx,0（A負定記作A<0）f<0,/

10、X#0（A半負定記作AM0）我。0,窗（x）a0且三y。0,疏（y）<0由此，根據慣性定理可知，合同變換不改變實對稱矩陣的類型.3. 正定二次型（正定矩陣）的判定定理6.4n元實二次型f=xTAx為正定（負定）二次型的充分必要條件是f的正（負）慣性指數等于n.（定理6.4P143）定理6.5n元實二次型f=xTAx為半正定（半負定）二次型的充分必要條件是f的正（負）慣性指數小于n,且負（正）慣性指數為0.（推論1P143）推論2n階實對稱陣A正定（負定）的充分必要條件是A的n個特征值全是正數（負數）；A半正定（半負定）的充分必要條件是A的n個特征值為不全為正數（負數）的非負數（非正數）.

11、（推論2P143）例6.6（例6.6P143）例6.7（例6.7P144）例6.8（例6.8P144）例6.9（例6.9P144）定義6.4設A=（aij）n,則行列式a11a12a12a22Dk=:ak1ak2a1ka2kakk(k=1,2,n)稱為A的k階順序主子式.（定義6.8P144）(定理6.5P144)定理6.6n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零；A負定的充分必要條件是A的所有順序主子式中奇數階的小于零而偶數階的大于零例6.10(例6.10P145)五、二次型應用實例6-1二次曲面圖形的判定六、習題（Pi48）選擇題：11-0.51.提示：A=|1100

12、0.5-0.50.5-1=99>0,A1001001991-0.51-1.25提示：f(x1,X2,X3)=X12+2X22+3X32-2X1X2+2X2X3=(X1-X2)2+(X2+X3)2+2X322. n正慣性指數為3,故選A提示：方法一特征值為2,-1,-1,故選C.e11、方法二A=101j10n|0|=0,排除A,B01=1<0,|A|=2>0,排除D10=選CB填空題：222.1.提示-f(X,X2,X3)=X+2X2+3x3+4xX2+8xX3-2x_2X31200、22102.01309000“211'211'Z214*23.提示：A=12

13、-1->03-3T032r2fI1-12,g-33,E0=秩為21-30120'錯誤的解答：221<01如錯誤的解答：正慣性指數為3,故秩為3.事實上，線性變換yi=X1+X2,y2=X2-X3,y3=X1+X3不可逆，故R(f)<3.4. 提示：A可逆、對稱nA=(A)AAnx=Ay.5. 提示：tE-A的特征值為t-1,t-2,t-nnt>n.%22、66.提示：方法一A=2a2與0相似<22a；<0；3a=6a=2方法二f(y,y2,y3)=6y2nA有2個0特征值=R(A)=1=a=2方法三f(y,y2,y3)=6y12nA的特征值為6,0,

14、0二次型的特征值為a+4,a-2,a-2=a+4=0,a-2=0=a=2提示：A的各行元素之和為3臺A(1,1,-,1)T=3(1,1,-,1)丁R(f)=1n3是A的唯一非零特征值n標準形為f(y1,yg,yg)=3y12或f(yj,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答題:參見P134-135的例6.2、例6.3參見P139的例6.4、例6.5參見P145的例6.1052-1'(1)A=21-1L-1-1tj|5|=5>0,2=10,11A=211-1t1t-20t-rA=t12廠125>|1|=1>0,1*=1/0,A=5f4tA0t13.

15、 =-4/5<t<0TTT22提示：f=xAx=xUUx=|Ux|>。因為U可逆，故當xo時，Ux乒o,從而f=|Ux|>0,所以f為正te二次型(A=UTU是正定矩陣).4. 提示：因為A正定，故存在正交矩陣Q和正定對角矩陣D=diag(入1,»,)，使A=QDQT令D1=diag(皿1,72，.，/),則A=QDQT=QDiD1TQT=UTU，其中U=(QD1)T5、6兩題表明A是正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣U使A=UtU.7提示設對稱矩陣A與矩陣B合同則存在可逆矩陣C使CTAC=BBT=(CTAC)T=CTAC=B所以與對禾急市._(/AL/)_

16、/1/_匚陣合同的矩陣必是對稱矩陣.提示：方法一矩陣A與矩陣-A合同，則存在可逆矩陣C,使CtAC=-A從而|CTAC|=|-A|=|C|2|A|=(-1)n|A|=|A|(|C|2-(-1)n)=0A可逆C可逆=>|C|2=(-1)nn|C|2>0,故n為偶數方法二A的正慣性指數=-A的負慣性指數A的負慣性指數=-A的正慣性指數A與-A合同nA與-A有相同的正慣性指數和負慣性指數nA的正慣性指數=A的負慣性指數nn為偶數-13W5-3、-15-3T02-3I3-3kK0k3,或由k=3.(R(A)=2,9.提示：A=因為R(A)=2,所以有|A|=0，得k=3.)余下略.00、1

17、、10.提示：03a與2ea3><5,相似200103a20a35余下略.2a0=9-a=5=a=2qb1ba1與1相似I1114J2+a=51b1fa=311.提示:=0b=1余下略.12.提示：(1)A(v/2,0,-V/2)T和(0,1,0)T,是Q的前兩列.于是的特征值為1,1,0,Q的第3列是屬于0的特征向量，1的特征向量與其正交，易知為A=Qdiag(1,1,0)QT=.A+E的特征值為2,2,1,所以A+E為正定矩陣.丸一a0-10黑a1-11禹一(aT)13.提不(1)3.EA=(，-a)-a-1Z-a=(舄a)0-1Ma=(舄a)0-1-11Ia-1)-20Ia-

18、1)-2la1)=(a)(2-(2a-1)，a2-a-2)2_-a)('-(2a-1)，(a-2)(a1)=(a)(，一(a-2)C(a1)A的特征值為a-2,a,a+1.（2）二次型f的規(guī)范形為f（y1,y2,y3）=y2+y22,所以A有2個正特征值，一個0特征值.由于a-2<a<a+1,所以a-2=0,故a=2.14.提示:A正定uA的任意特征值0n|A|>0A-1的任意特征值1/»0=A-1正定A*的任意特征值|A|/»0nA*正定15.提示:/xo,xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0nA+B正定16.提示:A與對角矩陣diag

19、（方，況,-；布）（出A2>命）相似三正交矩陣Q,cQAQ=diag(1入2,n)入y=Qxnf=xTAx=yTDy-氣iy2imnnmaxf=max'iy%1,禺或=則匚弗2-、當分別取TTy=q和y=en時，得,誓f=由仰四f='".17. 提示：設入是A的特征值，貝UX3+f+X-3=0,入的值為1或復數.因為A是實對稱矩陣，所以A的特征值全為1,因此A為正定矩陣.提示：A,B實對稱nA,B的特征值都是實數A的特征值都大于a,B的特征值都大于bnA-aE和B-bE正定（若入是A的特征值，貝U人a是A-aE的特征值）第15題n(A-aE)+(B-bE)E定，

20、即A+B-(a+b)E正定nA+B的特征值都大于a+b.19. 提示：必要性設R(A)=n,令B=A,則AB+BTA=2A2為正定矩陣.充分性設AB+Bta是正定矩陣，若R(A)<n,那么Ax=°有非零解y.因此，yT(AB+BTA)y=(Ay)TBy+yTBT(Ay)=o,這與AB+BTA正定矛盾，所以R(A)=n.20. 提示：考慮二次型g(x,y,z)=2x2+4y2+5z2-4xz,由于|7E-A=Z-2020如一4020Z-5=(兀一1)(兀一4)(舄一6),A的特征值全為正數222一g(x,y,z)=2x+4y+5z-4xz是橢球曲面一、一2.2_2.口十f(x,y

21、,z)=2x+4y+5z-4xz+2x-4y+1是橢球曲面附加題：1.設A為m階正定矩陣，B為en實矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件為R(B)=n.提示：BTAB正定一xo,xTBTABx=(Bx)TA(Bx)>0Vxo,有BxoBx=o只有零解R(B)=n七、計算實踐實踐指導：(1)掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念(2) 了解實二次型的標準形式及其求法.(3) 了解合同變換和合同矩陣的概念.(4) 了解慣性定理和實二次型的規(guī)范形.(5) 了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別法112,人例6.1設a=,2，則在實數域上與A合同的矩陣為D.(A)12-2;(B)2

22、1犀2"(d)G二(2008數二四)提示：合同的矩陣有相同的秩，有相同的規(guī)范形，從而有相同的正慣性指數與負慣性指數.故選D.例6.2已知二次型f(xi,x2,x3)=(1-a)xi2+(1-a)x22+2x32+2(1+a)xix2的秩為2.(1) 求a的值；(2) 求正交變換x=Qy,把f化成標準形；(3) 求方程f(x1,x2,x3)=0的解.(2005數一)%-a1+a0、(220'解(1)A=1+a1a0T1+a1-a01002>1'、002>R(A)21+a=1-a=a=0(2)略.f(x,x2,x3)=0u(x1+x2)2+2x32=0ux1=

23、-x2,x3=0=>解為k(-1,1,0)T,kR例6.3右一次曲面的方程x+3y+z+2axy+2xz+2yz=4經正交變換化為y+4z=4，則a=1.(2011數一)提示：一次型f(x,y,z)=x+3y+z+2axy+2xz+2yz經正交變換化為標準形f=y1+4z1,因此一次型矩陣Z1a1、Z0，A=a31與1相似.所以J1h<4J1a1a31=0na=1.111例6.4設矩陣A=,則A與BBl.0)(A)合同且相似;(B)合同但不相似;(C*合同但相似;(D)既不合同也不相似(2007數一)E-A=12111九一2111=A0舄一30=舄(兀一3)200Z-3即A的特征值為0,3,3.故A與B不相似.由于A與B有相同的正慣性指數與負慣性指數，所以A與