人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)講義角平分線的性質(zhì)(含解析)

1、,第3講角平分線的性質(zhì)|制知識(shí)定位講解用時(shí)：5分鐘A、適用范圍：人教版初二,根底較好；B、知識(shí)點(diǎn)概述：本講義主要用于人教版初二新課,本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì),角平分線和三角形結(jié)合的幾何大題也在中考的考查范圍之內(nèi),該知識(shí)點(diǎn)的重要性非同一般,此外我們還要掌握角平分線的判定,有效、快速處理含角平分線的題目.!弱!知識(shí)梳理講解用時(shí)：20分鐘;角平分線和作法>3,ea11rknrrmrmr,r-rbirrewrr1、角平分線定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角,這條射線叫做這個(gè)角的角平分線2、尺規(guī)作角平分線：1 .以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交角AOB兩邊

2、于點(diǎn)M,N;2 .分別以點(diǎn)M,N為圓心,以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)C;3.作射線OC,射線OC即為/AOB的角平分線角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等1、角平分線的性質(zhì)定理：一二,定理所具備的條件：XI1、角的平分線2、點(diǎn)在該平分線上3、垂直距離定理的作用：證實(shí)線段相等用符號(hào)語(yǔ)百表小為：.OC是/AOB勺角平分線,點(diǎn)P在OC上PD±OAPEXOB.PD=PE不必再證全等,直接得結(jié)論2、三角形的內(nèi)心：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),稱作三角形內(nèi)心；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.三角形的內(nèi)心包在圖形內(nèi),且到三邊的距離都相等角平分線的判定定理角平分線的判定

3、定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn),都在這個(gè)角的平分線上用符號(hào)語(yǔ)百表小為：vPD±OAPEXOB且PD=PEOPW/AOB證實(shí)：在RtODP和RtAOEP中,OP=OPPD=PERtAODF1RtAOEP/DOP=/EOPOP平分/AOB【例題11觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡,以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.OE是/AO由勺平分線B.OC=ODC.點(diǎn)C、D到OE的距離不相等D./AOE=BOE【解析】根據(jù)圖形的畫(huà)法得出OE是/AOB勺角平分線,再根據(jù)尺規(guī)作圖的畫(huà)法結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論.解：根據(jù)尺規(guī)作圖的畫(huà)法可知：.皿/AOB勺角平分線.A、OE是/AOB勺平分線,A正確；

4、B、OC=ODB正確；C、點(diǎn)C、D到OE的距離相等,C不正確；D/AOE=BOED正確.應(yīng)選：C.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了尺規(guī)作圖中的作角的平分線以及角平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng).此題屬于根底題,難度不大,牢記尺規(guī)作圖的方法和步驟是關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟悉角平分線的作法.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)1.1】如圖,OP平分/AOBPCIOA于C,點(diǎn)D是OB上的動(dòng)點(diǎn),假設(shè)PC=6cnflUPD的長(zhǎng)可以是A.3cmB.4cmC.5cmD.7cm【解析】過(guò)點(diǎn)P作PDLOB于D,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PC=PD再根據(jù)垂線段最短解答即

5、可.解：作PDLOA于D,.OPW/AOBPC,OAPDLOA.PD=PC=6cm貝1PD的最小值是6cm,應(yīng)選：D.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟記角平分線的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題2】如圖,RtAABC,/C=90°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,AB=10Sxabd=15,貝UCD的長(zhǎng)為A.3B.4C.5D.6【解析】過(guò)點(diǎn)D作DHAB于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=CD然后利用ABD勺面積列式計(jì)算即可得解.解：如圖,

6、過(guò)點(diǎn)D作DE!AB于E,./C=90°,AD平分/BACDE=CDSAB=Lab?de122X10?DE=15解得DE=3講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),三角形的面積,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握角平分線的性質(zhì),并計(jì)算三角形的面積.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)2.1】如下圖,在RtAACEfr,/C=90°,AD平分/BAC假設(shè)BC=16BD=10那么點(diǎn)D到AB的距離是【答案】D【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,可得點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離=CD解

7、：VBC=16BD=10.CD=6由角平分線的性質(zhì),得點(diǎn)D到AB的距離等于CD=6應(yīng)選：D.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題主要考查平分線的性質(zhì),由能夠注意到D到AB的距離即為CD長(zhǎng)是解決的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握角平分線的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)2.2】如圖,RtABC中,/C=90°,AD是/BAC的平分線,CD=3AB=1Q那么ABD的面積等于A.30B.24C.15D.10【解析】過(guò)D作DHAB于E,由角平分線的性質(zhì),即可求得DE的長(zhǎng),繼而求得三角形面積.解：如圖,過(guò)D作DHAB于E,.ADF分/BAC/C=90,DE=DC=3vA

8、B=10ABD勺面積=yAB?DE=rX10X3=15.應(yīng)選：C.D講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì),能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=C電解此題的關(guān)鍵,注意：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.教學(xué)建議：熟練掌握角平分線的性質(zhì)并應(yīng)用.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題31如圖,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),AB±BCDCLBC,AE平分/BAD以下結(jié)論：/AED=90/ADE=CDEDE=BEAD=AB+CD四個(gè)結(jié)論中成立的是A.B.C.D.【答案】A【解析】過(guò)E作EF,AD于F,易證得RtAAEFRtAAEE?得至UBE=EFAB=AF/AEF之AEB而

9、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),得至IEC=EF=B現(xiàn)U可證得RtAEFtDRtAECD得至UDC=DF/FDE=CDE也可得至UAD=AF+FD=AB+DCAED=AEF吆FED=/BEC=90,即可判斷出正確的結(jié)論.解：過(guò)E作EF,AD于F,如圖,vAB±BC,AE平分/BADRtAAEFRtAAEBBE=EFAB=AF/AEF玄AEB而點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),.EC=EF=B£所以錯(cuò)誤；RtAEFtDRtAECQDC=DF/FDEWCDE所以正確；AD=AF+FD=AB+DC以正確；/AED=AEF吆FED-/BEC=90,所以正確.2應(yīng)選：A.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分

10、線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形全等的判定與性質(zhì).教學(xué)建議：只要看到角平分線的題目,向角兩邊作垂線,利用垂線段相等解題難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)3.1】AD如圖,在ABC中,/C=90°,AD平分/BACDEIAB于E,那么以下結(jié)論：平分/CDE/BAC=BDEDE平分/ADBBE+AC=AM中正確的有SCA.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)【解析】根據(jù)題中條件,結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論,與各選項(xiàng)進(jìn)行比對(duì),排除錯(cuò)誤答案,選出正確的結(jié)果.解：:AD平分/BAC丁./DAC=DAEVZC=90°,DnAB./C=Z

11、E=90°vAD=AD .DAC2ADAE丁./CDA=EDA AD平分/CDEiE確；無(wú)法證實(shí)/BDE=60, .DE平分/ADB錯(cuò)誤；vBE+AE=ABAE=ACBE+AC=AB .BE+AC=AB確；vZBDE=90-/B,/BAC=90-/B丁./BDE=BAC /BAC=BDE£確.應(yīng)選：B.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì)；題目是一道結(jié)論開(kāi)放性題目,考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題的水平,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維水平.教學(xué)建議：熟練掌握角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解題.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題4】如圖,O是4AB

12、C的角平分線白交點(diǎn),ABC的面積為2,周長(zhǎng)為4,那么點(diǎn)O至UBC的距離為A.1B.2C.3D.無(wú)法確定【解析】首先設(shè)點(diǎn)O到BC的距離為x,由O是ABC勺角平分線的交點(diǎn),4ABC的面積為2,周長(zhǎng)為4,可得X4x=2,繼而求得答案.解：設(shè)點(diǎn)O到BC的距離為x,O是ABC的角平分線白交點(diǎn),ABC勺面積為2,周長(zhǎng)為4,6x4x=2,解得：x=1.點(diǎn)O到BC的距離為1.應(yīng)選：A.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì).此題難度適中,得到方程f-X4x=2是解此題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心,到三邊的距離都相等.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：

13、2021【練習(xí)4.1】如圖,點(diǎn)O在ABCft,且到三邊的距離相等,假設(shè)/A=60°,那么/BOC三【答案】120【解析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等判斷出點(diǎn)O是三個(gè)角的平分線的交點(diǎn),再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出/OBC+OCB然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.解：點(diǎn)O在ABCft,且到三邊的距離相等,點(diǎn)O是三個(gè)角的平分線的交點(diǎn),在BCOK/BOC=180(ZOBC+OCB=180°60°=120°./OBC+OCB(/ABC+ACB=77(180-/A)等(180°-60.)=60.,故答案為：120°

14、;.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記性質(zhì)并判斷出點(diǎn)O是三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：熟練掌握三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心,到三邊的距離都相等.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題5】如圖11,12,13表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)在要建一個(gè)加油站,要求它到三條公路的距離相等,那么可供選擇的地址有一處.【答案】4【解析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等作出圖形即可得解.解：作直線11、12、13所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線,外角平分線相交于點(diǎn)P1、B、

15、R,內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P4,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個(gè)點(diǎn)到三條公路的距離分別相等.故答案為：4講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀.教學(xué)建議：三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三邊的距離都相等,三角形外每三條線圍成的區(qū)域有各有一個(gè),總共是4個(gè).難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)5.1】如圖,AD是AABC的角平分線,AB:AC=32,AABD的面積為15,那么ACD勺面積為【答案】10【解析】先利用角平分線的性質(zhì)判斷出DF=1Q即可得出結(jié)論.解：如圖,DE=DF再用ABD的面積求出;ACX過(guò)點(diǎn)D作DH

16、AB于E,DF±AC于F,:ADABC的角平分線,DE=DF又AB:AC=32,ABAQ.ABD勺面積為15Saabd=-ABXDEXACXDF=15.-AODF=102Saac=AODF=102故答案為：10.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的面積公式,根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷出DE=D思解此題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：充分利用角平分線的性質(zhì)做題,向角兩邊作垂線,垂線段相等.難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題6】：如圖,P是OC上一點(diǎn),PDLOA于D,PE!OB于E,F、G分別是OAOB上的點(diǎn),且PF=PGDF=EG求證：OC是/AOB的平分

17、線.【答案】OC是/AOB勺平分線【解析】利用“HL證實(shí)RtAPFD?0RtAPGEr,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PD=PE再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證實(shí)即可.證實(shí)：在RtAPFDffiRtAPGE,fPF=PG,lDF=EGRtAPFtDRtAPGE(HL.), .PD=PEP是OC上一點(diǎn),PDLOAPE±OB.OC®/AOB勺平分線.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),熟記性質(zhì)并求出全等三角形是解題的關(guān)鍵.教學(xué)建議：此題主要是角平分線的判定,充分利用到角兩邊的距離相等便可判定.難度：3適應(yīng)

18、場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)6.1】如圖,ABC中,/B的平分線與/C的外角的平分線交于P點(diǎn),PDLAC于D,PHLBA于H,(1)假設(shè)點(diǎn)P到直線BA的距離是5cm,求點(diǎn)P到直線BC的距離;(2)求證：點(diǎn)P在/HAC勺平分線上.【答案】(1)5cm；(2)點(diǎn)P在/HAC勺平分線上【解析】(1)過(guò)P作PF71BE于F,由于BP平分/ABCPH!BAPF71BE,那么根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到PH=PF=5cm(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PF=PD那么PD=PH于是根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上得到AP平分/HAD(1)解：過(guò)P作PF,BE于F,如圖,.BP平分/AB

19、CPH!BA于H,PF±BE于F, .PH=PF=5cm.二點(diǎn)P到直線BC的距離為5cm(2)證實(shí)：vCP平分/ACEPDLAC于D,PF±BE于F,.PF=PD.PD=PH解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了角平分線定理的逆定理.教學(xué)建議：熟練應(yīng)用角平分線的性質(zhì)和判定進(jìn)行解題難度：4適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【例題71如圖,ABC勺/ABCt/ACB的外角平分線交于點(diǎn)D,求證：D在/BAC的【答案】D在/BAC的平分線上【解析】首先作輔助線：分別過(guò)D作DEDF、DG垂直于ABBCAC垂足分別為E、F、G,然后

20、利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知DE=DG再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的逆定理證實(shí).證實(shí)：分別過(guò)D作DEDFDG®直于ABBCAC垂足分別為E、F、G,作射線AD BDF分/CBEDEIBE,DF±BC,DE=DF同理DG=DFDE=DG 點(diǎn)D在/EAGF分線上,AD/BAC的平分線講解用時(shí)：4分鐘解題思路：此題考查了角平分線的性質(zhì)及其逆用；解題的關(guān)鍵是作輔助線,輔助線是證實(shí)一道題的重中之重,然后利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的逆定理.教學(xué)建議：綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定.難度：4適應(yīng)場(chǎng)景：當(dāng)堂例題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【練習(xí)7.1】如

21、圖,ABC的外角/CBDffi/BCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在/DAE的平分線上.【答案】點(diǎn)F在/DAE勺平分線上【解析】過(guò)點(diǎn)F分別作AEBCAD的垂線FP、FMFN,P、MN為垂足.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FP=FMFM=FN；FP=FN;點(diǎn)F在/DAE的平分線上.證實(shí)：過(guò)點(diǎn)F分別作AE、BCAD的垂線FP、FMFN,P、MN為垂足,.CF是/BCE的平分線,FP=FM同理：FM=FNFP=FN 點(diǎn)F在/DAE勺平分線上.講解用時(shí)：3分鐘解題思路：此題主要考查角平分線的性質(zhì)定理和逆定理.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得FP=FM!解題關(guān)鍵.教學(xué)建議：綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定.難度：4適應(yīng)場(chǎng)景

22、：當(dāng)堂練習(xí)例題來(lái)源：無(wú)年份：2021蠹;課后作業(yè)【作業(yè)1尺規(guī)作圖的畫(huà)圖工具是A.刻度尺、量角器B.三角板、量角器C.直尺、量角器D.沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)【答案】D【解析】根據(jù)尺規(guī)作圖的定義可知.解：尺規(guī)作圖的畫(huà)圖工具是沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī).應(yīng)選：D.講解用時(shí)：2分鐘難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：練習(xí)題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【作業(yè)2】如圖,在ABC中,/ACB=90,AD4ABC的角平分線,BC=10cmBDDC=3【解析】先由BC=10cmBDDC=32計(jì)算出DC=4cm由于/ACB=90,那么點(diǎn)D到AC的距離為4cm,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點(diǎn)D到AB的距離等于4cm解：VBC=10cmBDD

23、C=32,DC=4cmVADbABC的角平分線,/ACB=90, 點(diǎn)D到AB的距離等于DC即點(diǎn)D到AB的距離等于4cm故答案為4cm講解用時(shí)：3分鐘難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：練習(xí)題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【作業(yè)3】如圖,OP平分/AOB/AOP=15,PC/OBPD±OB于點(diǎn)D,PD=4貝UPC等于【解析】作PE,OA于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出PE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可.解：作PE!OA于E,.OPW/AOBPD±OBPE!OA .PE=PD=4.OPW/AOB/AOP=15, ./AOB=30,PC/OB ./ECPWAOB=30, .PC=2PE=8故答案為：8.A講解用時(shí)：3分鐘難度：3適應(yīng)場(chǎng)景：練習(xí)題例題來(lái)源：無(wú)年份：2021【作業(yè)4】如圖,在ABC中,/ACB=90,BE平分/ABCDEIAB于D,如果AC=3crp