全等三角形培優(yōu)(含答案)

1、三角形培優(yōu)練習(xí)題1已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD學(xué)習(xí)幫手Z1= Z22 已知：BC=DE, ZB= ZE, /C=/D, F 是 CD 中點(diǎn)，求證:3 已知：Z1= Z2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC4 已知：AD 平分 ZBAC, AC=AB+BD ,求證：/B=2 ZC5 已知：AC 平分/BAD, CEL AB, /B+/D=180 ° ，求證：AE=AD+BE6如圖，四邊形ABCD中，AB/DC, BE、CE分別平分ZABC、/BCD,且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC 。7 已知：AB=CD , ZA= ZD,求證

2、：ZB= ZCPC-PB<AC-AB8.P是/BAC平分線 AD上一點(diǎn)，AC>AB ,求證：9 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求 DC10.如圖，已知AD/BC, /PAB的平分線與/CBA的平分線相交于 E, CE的連線交 AP于D.求證：AD+BC=AB.11如圖， ABC中，AD是/CAB的平分線，且 AB=AC+CD,求證：ZC=2 ZB12如圖：AE、BC交于點(diǎn)M , F點(diǎn)在AM上,BE/ZCF, BE=CF。求證：AM 是ABC的中線。A13已知:如圖,AB=AC,BD AC, CE AB,垂足分別為D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F。

3、求證：BE=CD.14 在 ABC中， ACB 90, AC BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D ,BE MN于E .(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC CEB; DE AD BE;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)聞圖1中的結(jié)論還成立嗎？若成15 如圖所示，已知 AEAB, AFLAC, AE=AB , AF=AC。求證：(1) EC=BF; (2) EC±BF16.如圖，已知AC/BD, EA、EB分別平分/CAB和/DBA , CD過點(diǎn)E,則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說明理由17.如圖9所示，4ABC是等腰直角三角形，/

4、ACB = 90 ° ,AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,求證：/ADC = /BDE.圖9學(xué)習(xí)幫手全等三角形證明經(jīng)典（答 案）1. 延長(zhǎng) AD 至ij E,使 DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=52證明：連接BF和EF。因?yàn)?BC=ED,CF=DF, /BCF= /EDF。所以三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。所以 BF=EF,/CBF=/DEF。連接BE。在三

5、角形 BEF中,BF=EF。所以 ZEBF= ZBEFo又因?yàn)?"BC= "ED。所以 /ABE=/AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,ZABF= ZABE+ ZEBF= ZAEB+ ZBEF= /AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 ZBAF= ZEAF (Z1= Z2)。3 證明：過E點(diǎn)，作EG/AC ,交AD延長(zhǎng)線于 G貝U /DEG=/DCA, /DGE=/2X/CD=DE.ZADCNGDE (AAS). EG=AC.EF/ABzDFE= Z1,/= /2zDFE= ZDGE.EF=EG.EF=AC4證明：學(xué)

6、習(xí)幫手在AC上截取 AE=AB ,連接ED.AD 平分 ZBACzEAD= ZBADX 1. AE=AB , AD=ADNAEDNABD (SAS)zAED= ZB, DE=DB-.AC=AB+BDAC=AE+CE. CE=DEzC= ZE DC zAED= ZC+ ZEDC=2 ZCzB=2 ZC5證明：在AE上取F,使EF=EB,連接CF因?yàn)镃EXAB所以 ZCEB= ZCEF= 90 °因?yàn)?EB= EF, CE=CE,所以CEBCEF所以 ZB=ZCFE因?yàn)?B+/D= 180 ° , GFE+ ZCFA= 180所以 ZD=ZCFA因?yàn)锳C平分ZBAD 所以 ZD

7、AC = ZFAC又因?yàn)锳C= AC所以 ADCAFC (SAS)所以AD = AF所以 AE = AF + FE= AD + BE6證明：在BC上截取BF=BA,連接EF.ZJBE= /FBE,BE=BE貝必ABE* FBE(SAS),EFB久AB 平行于 CD,則:/A+ / D=180 ° ；XZEFB+Z EFC=180 則/EFC=ZD;又 ZFCE= /DCE,CE=CE,故力 FCEA DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.7證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于 E,(當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng) AD>BC時(shí)，

8、E點(diǎn)是射線 AB.DC的交點(diǎn))。則： AED是等腰三角形。所以:AE=DE而 AB=CD所以：BE=CE (等量加等量，或等量減等量)所以： BEC是等腰三角形所以：角8二角C.8作B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B '，因?yàn)锳D是角BAC的平分線，B'在線段AC上（在AC中間，因?yàn)锳B較短）因?yàn)?PC<PB ' +B ' C,BC <B而 C,'C=AC-AB'=AC-AB,所以 PC-PB<AC-AB學(xué)習(xí)幫手9作AG/BD交DE延長(zhǎng)線于GAGE全等BDEAG=BD=5AGFRDFAF=AG=5所以 DC=CF=210證明：做BE的延長(zhǎng)線，

9、與AP相交于F點(diǎn)，1.PA/BCZPAB+ Z CBA=180 ° ,又, AE, BE均為ZPAB和ZCBA的角平分線ZEAB+ Z EBA=90 ° . . / AEB=EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AEXBF,且AE為ZFAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，/EBC=/DFE,且 BE=EF, ZDEF= ZCEB,三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BC. AB=AF=AD+DF=AD+BC11證明：在AB上找點(diǎn)E,使AE=AC1 .AE=AC , ZEAD= /CAD , AD=AD2

10、.ADEAADC。DE=CD , ZAED= ZC3 .AB=AC+CD , .-.DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEZB= ZEDBZC= ZB+ ZEDB=2 ZB13證明：學(xué)習(xí)幫手.BE | CF ，zE=/CFM, ZEBM= ZFCM,.BE=CF.BEMA CFM. BM=CM. AM是ABC的中線.13證明：因?yàn)锳B=AC , 所以 /EBC=/DCB 因?yàn)?BDXAC, CE±AB 所以 /BEC=/CDBBC=CB (公共邊)則有三角形EBC全等于三角形DCB 所以BE=CD14(1)證明：ACB=90 ° ,ZACD+ / BCE=90 °

11、; ,而 ADMN 于 D, BEX MN 于 E,zADC= / CEB=90 ° ,BCE+Z CBE=90 ° , zACD= ZCBE.在 RtAADC 和 RtACEB 中，"DC= /CEB"CD= ZCBE AC=CB , . RtAADCRtACEB (AAS),. AD=CE , DC=BE, ，DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，證明：在 AADC 和 ACEB 中，/ADC= Z CEB=90 AQD= ZCBE AC=CB , .,.ADCACEB (AAS),. AD=CE , DC=BE, .DE=CE-CD=AD-

12、BE ;15(1)證明；因?yàn)锳E垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因?yàn)锳F垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC二角BAF 因?yàn)?AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F(2)延長(zhǎng)FB與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G因?yàn)榻荅CA二角F(已證)所以角G=角CAF因?yàn)榻荂AF=90度 所以EC垂直BF16在AB上取點(diǎn)N ,使得AN=AC/CAE=/EAN ,AE為公共邊，所以三角形 CAE全等三角形 EAN所以 ZANE= /ACE又AC平行BD所以 ZACE+ ZBDE=180而 ZANE+ ZENB=180所以 ZENB= ZBDEZNBE= /EBNBE為公共邊，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD17證明：作CG平分ZACB交AD于G. / ACB=90 °zACG= / DC