第十二章級數(shù)

1、 第十二章 無窮級數(shù) § 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)1、 設(shè)級數(shù)，則其和為（ ） A B C D 2、 若，則級數(shù)（ ） A 收斂且和為0 B 收斂但和不一定為0 C 發(fā)散 D 可能收斂也可能發(fā)散3 、若級數(shù)收斂于S，則級數(shù)（ ） A 收斂于2S B收斂于2S+ C收斂于2S- D發(fā)散4、若，,求 的值解： 所以5、若級數(shù)收斂，問數(shù)列是否有界 解：由于，故收斂數(shù)列必有界。6、若，求級數(shù)的值 解： 故7、求的值 解：故=8、求 的和 ( § 2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、用比較審斂法或極限形式的比較審斂法判別下列級數(shù)的收斂性1、 判定級數(shù) 的斂散性 解：由于< ,而收斂，故

2、收斂2、 判定斂散性 解： = 故>,而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散3、 判定斂散性 收斂; 1, 發(fā)散4、 判定斂散性 (收斂); 二、用比值或根值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性5、 判定級數(shù)的斂散性 解：>1,所以發(fā)散6、 判定級數(shù)的斂散性 解：，所以收斂 7、 收斂 8、 ， 收斂三、判別下列級數(shù)是否收斂。如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？7、 （絕對收斂）10、 （條件收斂）四、判定是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂解：|，用比值判別法知,所以絕對收斂 §3 冪級數(shù)1、設(shè)冪級數(shù)在x=3處收斂，則該級數(shù)在x=-1點處（ ）A 絕對收斂 B 條件收斂 C發(fā)散 D 可能收斂也可能

3、發(fā)散2、級數(shù)的收斂域 （0，43、 求冪級數(shù)的收斂半徑 （）4、若級數(shù)在x=-2處收斂，則此級數(shù)在x=5處是否收斂，若收斂，是否絕對收斂 （絕對收斂 ）5、求冪級數(shù)的收斂域解：首先判斷其收斂區(qū)間為（-7，-3），當(dāng)x=-7、-3時，級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收 斂域為（-7，-3）6、求冪級數(shù)的收斂域解：首先求得收斂區(qū)間為（-3，3），而級數(shù)在x=-3處發(fā)散，在x=3處收斂，所以 收斂域為（-3，3 7、求冪級數(shù)的和函數(shù) （ -1<x<1）8、求冪級數(shù)的和函數(shù)解： = （-1<x<-1） § 4 函數(shù)展開成冪級數(shù)1、 將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)解：f(x)=由

4、展開式可得f(x)= x2、 將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)解： 而= x兩邊積分得 x3、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)解：f(x)=4、將函數(shù)f(x)=展開成x-5的冪級數(shù)解： f(x)= = x5、解：= x §5函數(shù)冪級數(shù)展開式的應(yīng)用1、 計算ln2的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：在lnx的冪級數(shù)展開式中令x=2 ln2=1- 考慮誤差范圍可求得ln22、 計算定積分的進(jìn)似值（要求誤差不超過0.0001）解：= = 再考慮誤差范圍可求得3、 計算積分的進(jìn)似值，（要求誤差不超過0.0001） 再考慮誤差范圍可求得 §7 傅里葉級數(shù)1、 設(shè)f(x)是周期為

5、的周期函數(shù)，它在-上的表達(dá)式為f(x)= 試將f(x)展開成傅立葉級數(shù)解： b=再將所求得的系數(shù)代入傅立葉級數(shù)可得傅立葉級數(shù)展開式2、 將函數(shù)展開成正弦級數(shù) 3、 將函數(shù)展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù) §8 一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)1、 將f(x)=2+|x|(-1展開成以2為周期的傅立葉級數(shù)后求的值 解：展開f(x)= 代x=0得 =+ 得 2、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的余弦級數(shù)解： f(x)= (0)3、 將f(x)=x-1(0)展開成周期為4的正弦級數(shù)的和函數(shù)為s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、設(shè)f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(=

6、第十一章 自測題一選擇題:（40分）1、下列級數(shù)中,收斂的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).2、下列級數(shù)中,收斂的是( ). (A) ； (B)； (C)； (D).3、下列級數(shù)中,收斂的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).4、部分和數(shù)列有界是正項級數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件5、設(shè)為非零常數(shù),則當(dāng)( )時,級數(shù)收斂 . (A)； (B)； (C)； (D)6、冪級數(shù)的收斂區(qū)域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) 0,27、是級數(shù)收斂的( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 .8、冪級數(shù)的收斂區(qū)間是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、 （8分）判別下列級數(shù)的收斂性 1、； 2、三、（6分）判別級數(shù)的斂散性 .四、（6分）求極限 . 五（8分）求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間: 1、； 2、.六（6分）求冪級數(shù)的和函數(shù) . 七（6分）求數(shù)項級數(shù)的和 . 八（6分）試將函數(shù)展開成.九（6分）設(shè)是周期為的函數(shù),它在上的表達(dá)式為 將展開成傅立葉級數(shù) . 十（8分）將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)