第八章相量圖和相量法求解電路

1、第八章相量圖和相量法求解電路一、教學(xué)基本要求1、掌握阻抗的串、并聯(lián)及相量圖的畫(huà)法。2、了解正弦電流電路的瞬時(shí)功率、有功功率、無(wú)功功率、功率因數(shù)、復(fù)功率的概念及表達(dá)形式。 3、熟練掌握正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析法。4、了解正弦電流電路的串、并聯(lián)諧振的概念，參數(shù)選定及應(yīng)用情況。5、掌握最大功率傳輸?shù)母拍?，及在不同情況下的最大傳輸條件。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)： (1).正弦量和相量之間的關(guān)系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的電壓、電流關(guān)系的相量形式(4). 電路定律的相量形式及元件的電壓電流關(guān)系的相量形式。2教學(xué)難點(diǎn)：1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和區(qū)別；2.

2、元件電壓相量和電流相量的關(guān)系。三、本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：本章是學(xué)習(xí)第 9-12 章的基礎(chǔ)，必須熟練掌握相量法的解析運(yùn)算。§8.1 復(fù)數(shù)相量法是建立在用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量的基礎(chǔ)上的，因此，必須掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式及運(yùn)算規(guī)則。1. 復(fù)數(shù)的四種表示形式代數(shù)形式 A = a +jb 復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別表示為： ReA=a ImA=b 。圖 8.1 為復(fù)數(shù)在復(fù)平面的表示。圖 8.1根據(jù)圖 8.1 得復(fù)數(shù)的三角形式： 兩種表示法的關(guān)系： 或 根據(jù)歐拉公式可將復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)換為指數(shù)表示形式： 指數(shù)形式有時(shí)改寫為極坐標(biāo)形式：注意：要熟練掌握復(fù)數(shù)的四種表示形式及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，這對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算非常重要

3、。2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1) 加減運(yùn)算 采用代數(shù)形式比較方便。若 則 即復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算滿足實(shí)部和實(shí)部相加減，虛部和虛部相加減。復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算也可以在復(fù)平面上按平行四邊形法用向量的相加和相減求得，如圖8.2所示。 圖 8.2(2) 乘除運(yùn)算 采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式比較方便。若 則 即復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足模相乘，輻角相加。除法運(yùn)算滿足模相除，輻角相減，如圖8.3示。 圖 8.3 圖 8.4(3) 旋轉(zhuǎn)因子：由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算得任意復(fù)數(shù) A 乘或除復(fù)數(shù) ， 相當(dāng)于 A 逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，而模不變，如圖 8.4 所示。故把 稱為旋轉(zhuǎn)因子。當(dāng) 當(dāng) 故 +j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)

4、因子。3. 復(fù)數(shù)運(yùn)算定理定理1 式中 K 為實(shí)常數(shù)。定理2 定理3 若則 例8-1 計(jì)算 復(fù)數(shù) 解：本題說(shuō)明進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)應(yīng)先把極坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)為代數(shù)形式。例8-2 計(jì)算 復(fù)數(shù) 解：本題說(shuō)明進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)應(yīng)先把代數(shù)形式轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)形式。 §8.2 正弦量1.正弦量電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流統(tǒng)稱為正弦量，以電流為例，其瞬時(shí)值表達(dá)式為（本書(shū)采用 cosine 函數(shù)）： 波形如圖 8.5 所示。圖 8.5注意：激勵(lì)和響應(yīng)均為正弦量的電路稱為正弦電路或交流電路。研究正弦電路的意義：（1）正弦電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。由于： 1）正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、

5、求導(dǎo)、積分運(yùn)算后仍是同頻率的正弦函數(shù)； 2）正弦信號(hào)容易產(chǎn)生、傳送和使用。（2）正弦信號(hào)是一種基本信號(hào)，任何復(fù)雜的周期信號(hào)可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。因此對(duì)正弦電路的分析研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際意義。2. 正弦量的三要素（1）Im 幅值(振幅、最大值)：反映正弦量變化過(guò)程中所能達(dá)到的最大幅度。（2） 角頻率：為相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。它與周期和頻率的關(guān)系為： rad/s （3）y 初相角：反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，常用角度表示。需要注意的是：1）計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同，圖 8.6給出了同一個(gè)正弦量在不同計(jì)時(shí)起點(diǎn)下初相位的取值。 2）一般規(guī)定初相位取主值范圍，即 |y| 。3）

6、如果余弦波的正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后，如圖8.7所示，則初相位為負(fù)，如果余弦波的正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之前，則初相位為正。4）對(duì)任一正弦量，初相可以任意指定，但同一電路中許多相關(guān)的正弦量只能對(duì)于同一計(jì)時(shí)起點(diǎn)來(lái)確定各自的相位。 圖 8.6圖 8.73. 相位差相位差是用來(lái)描述電路中兩個(gè)同頻正弦量之間相位關(guān)系的量。設(shè) 則相位差為： 上式表明同頻正弦量之間的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范圍，即：| 如果上式中 0 ，稱 u 超前 i ，或 i 滯 u ，表明 u 比 i 先達(dá)到最大值；如圖 8.8（a）所示。如 0 ， 稱 i 超前 u ，或 u 滯后 i , 表明 i 比 u 先達(dá)到最大

7、值。如 = ±p ， 稱 i 與 u 反相，如圖 8.8（b）所示；如 =0 ， 稱 i 與 u 同相，如圖 8.8（c）所示。 圖 8.8 （a）（b）（c）需要注意的是：兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主值范圍比較。4. 正弦電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效應(yīng)，工程上采用有效值來(lái)表示。周期電流、電壓有效值的物理意義如圖 8.9 所示，通過(guò)比較直流電流 I 和交流電流 i 在相同時(shí)間 T 內(nèi)流經(jīng)同一電阻 R 產(chǎn)生的熱效應(yīng)，即令： 從中獲得周期電流和與之相等的直流電流 I 之間的關(guān)系： 這個(gè)直流量 I 稱為周期量的有效值

8、。有效值也稱方均根值。 圖 8.9同樣，可定義電壓有效值： 設(shè)正弦電流 相應(yīng)的有效值為： 因?yàn)?所以 即 正弦電流的有效值與最大值滿足關(guān)系： 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關(guān)系： 若一交流電壓有效值為 U = 220V ，則其最大值為Um311V ；需要注意的是：（1）工程上說(shuō)的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級(jí)等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。（2）測(cè)量中，交流測(cè)量?jī)x表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。（3）區(qū)分電壓、電流的瞬時(shí)值 i、u ，最大值 IMm 、 Um 和有效值 I、U 的符號(hào)。 例8-3 已知正弦

9、電流波形如圖所示， 103rad/s ， （1）寫出正弦 i(t) 表達(dá)式； （2）求正弦電流最大值發(fā)生的時(shí)間 t1例 8 3 圖解： 根據(jù)圖示可知電流的最大值為 100A ， t=0 時(shí)電流為 50A ，因此有： 解得 由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè)故取 所以 當(dāng) 時(shí)電流取得最大值，即： 例8-4 計(jì)算下列兩正弦量的相位差。 解：（1） 轉(zhuǎn)為主值范圍： 說(shuō)明 i1 滯后 i2。 （2） 先把 i2 變?yōu)橛嘞液瘮?shù)： 則 說(shuō)明 i1 超前 i2。 （3） 因?yàn)閮蓚€(gè)正弦量的角頻率 ，故不能比較相位差。（4） 則 說(shuō)明 i1 超前i2本題說(shuō)明兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號(hào)，且在主

10、值范圍比較。§8.3 相量法的基礎(chǔ)正弦穩(wěn)態(tài)線性電路中，和各支路的電壓和電流響應(yīng)與激勵(lì)源是同頻率的正弦量，因此應(yīng)用基爾霍夫定理分析正弦電路將遇到正弦量的相減運(yùn)算和積分、微分運(yùn)算，在時(shí)域進(jìn)行這些運(yùn)算十分繁復(fù)，通過(guò)借用復(fù)數(shù)表示正弦信號(hào)可以使正弦電路分析得到簡(jiǎn)化。1. 正弦量的相量表示 構(gòu)造一個(gè)復(fù)函數(shù) 對(duì) A(t) 取實(shí)部得正弦電流： 上式表明對(duì)于任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)函數(shù)，即： A(t) 還可以寫成 稱復(fù)常數(shù)為正弦量i(t)對(duì)應(yīng)的相量，它包含了i(t)的兩個(gè)要素I ,Y 。任意一個(gè)正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一與其對(duì)應(yīng)的相量，即： 注意：相量的模為正弦量的有效值，相量的幅角為正弦

11、量的初相位。同樣可以建立正弦電壓與相量的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 例如若已知正弦電流和電壓分別為： 則對(duì)應(yīng)的相量分別為： 若正弦電流的相量 頻率 則對(duì)應(yīng)的正弦電流為：2. 相量圖在復(fù)平面上用向量表示相量的圖稱為相量圖。如已知相量 則對(duì)應(yīng)的相量圖如圖 8.10 所示。輻角為零的相量稱為參考相量。 圖 8.103.相量法的應(yīng)用(1) 同頻率正弦量的加減 設(shè) 則 從上式得其相量關(guān)系為： 圖 8.11故同頻正弦量相加減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)應(yīng)相量的相加減運(yùn)算，運(yùn)算過(guò)程如圖 8.11 所示。（2）正弦量的微分、積分運(yùn)算 設(shè) 則 即 對(duì)應(yīng)的相量為 而 即 對(duì)應(yīng)的相量為 以上式子說(shuō)明正弦量的微分是一個(gè)同頻正弦量，其相量等于原正

12、弦量i 的相量 乘以，正弦量的積分也是一個(gè)同頻正弦量，其相量等于原正弦量 i 的相量除以。例如圖 8.12 所示 RLC 串聯(lián)電路，由 KVL 得電路方程為 根據(jù)正弦量與相量的關(guān)系得以上微積分方程對(duì)應(yīng)的相量方程為：圖 8.12 因此引入相量的優(yōu)點(diǎn)是： （1）把時(shí)域問(wèn)題變?yōu)閺?fù)數(shù)問(wèn)題； （2）把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運(yùn)算；需要注意的是：1）相量法實(shí)質(zhì)上是一種變換，通過(guò)把正弦量轉(zhuǎn)化為相量，而把時(shí)域里正弦穩(wěn)態(tài)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)為頻域里復(fù)數(shù)代數(shù)方程問(wèn)題的分析； 2）相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路。 3）相量法用來(lái)分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。 例8-5 計(jì)算兩正弦電壓之和，已知： 解： 兩正弦電壓對(duì)應(yīng)

13、的相量為 : 相量之和為： 所以 本題也可借助相量圖計(jì)算，如下圖所示。例 8 5 相量圖例8-6 試判斷下列表達(dá)式的正、誤，并給出正確結(jié)果。 解：（1）錯(cuò) ，瞬時(shí)式和相量混淆，正確寫法為：（2）錯(cuò) ，瞬時(shí)式不能和相量相等，正確寫法為：（3）錯(cuò) ，有效值和相量混淆，正確寫法為：（4）對(duì) （5）錯(cuò) ，感抗和容抗混淆，正確寫法為： （6）錯(cuò) ，有效值和相量混淆，正確寫法為： （7）錯(cuò)，電容和電感的VCR混淆，正確寫法為：或 §8.4 電路定律的相量形式1. 電阻元件 VCR 的相量形式設(shè)圖8.13（a）中流過(guò)電阻的電流為 則電阻電壓為： 其相量形式：圖8.13（a）以上式子說(shuō)明： 

14、0;（1） 電阻的電壓相量和電流相量滿足復(fù)數(shù)形式的歐姆定律：，圖8.13（b）為電阻的相量模型圖。圖 8.13（ b ）（2）電阻電壓和電流的有效值也滿足歐姆定律：UR = RI（3）電阻的電壓和電流同相位，即：u = i 電阻電壓和電流的波形圖及相量圖如圖8.14（a）和（b）所示。 圖 8.14（a） （b）電阻的瞬時(shí)功率為： 即瞬時(shí)功率以2 交變，且始終大于零，如圖8.14（a）所示，表明電阻始終吸收功率。2. 電感元件 VCR 的相量形式設(shè)圖 8.15（a）中流過(guò)電感的電流為 則 對(duì)應(yīng)的相量形式分別為：圖 8.15 （ a ）（ b ）以上式子說(shuō)明：（1） 電感的電壓相量和電流相量滿足

15、關(guān)系：，其中XL=L =2fL ，稱為感抗，單位為(歐姆)，圖8.16（b）為電感的相量模型圖。（2）電感電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：，表示電感的電壓有效值等于電流有效值與感抗的乘積。（3）電感電壓超前電流 相位，即： 電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖8.16（a）和（b）所示。注意:（1） 感抗表示限制電流的能力；（2）感抗和頻率成正比如圖8.16（c）所示，當(dāng)；電感電壓和電流的波形圖及相量圖如圖8.16（a）和（b）所示。 圖 8.16 （a）（b）（c）電感的瞬時(shí)功率為： 即電感的瞬時(shí)功率以 2 交變，有正有負(fù)，如圖8.16（a）所示。電感在一個(gè)周期內(nèi)吸收的平均功率為零。3. 電容元件

16、 VCR 的相量形式 圖 8.17 （ a ）（ b ）設(shè)圖8.17（a）中電容的電壓為： 則 對(duì)應(yīng)的相量形式分別為： 以上式子說(shuō)明：（1）電容的電壓相量和電流相量滿足關(guān)系： 其中 XC =1/C ，稱為容抗，單位為(歐姆)，圖8.17（b）為電容的相量模型圖。（2）電容電壓和電流的有效值滿足關(guān)系：，表示電容的電壓有效值等于電流有效值與容抗的乘積。（3）電容電壓滯后電流 相位，即： 電容電壓和電流的波形圖及相量圖如圖8.18（a）和（b）所示。注意: 容抗和頻率成反比如圖8.18（c）所示，當(dāng) ，說(shuō)明電容有隔斷直流的作用，而高頻時(shí)電容相當(dāng)于短路。 圖 8.18 （ a ）（ b ）（ c ）電

17、容的瞬時(shí)功率為： 即電容的瞬時(shí)功率以 2 交變，有正有負(fù)，如圖8.18（a）所示。電感在一個(gè)周期內(nèi)吸收的平均功率為零。4. 基爾霍夫定律的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對(duì)應(yīng)的相量形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，KCL和KVL可用相應(yīng)的相量形式表示。對(duì)電路中任一結(jié)點(diǎn)，根據(jù)KCL有，由于 得 KCL 的相量形式為： 同理對(duì)電路中任一回路，根據(jù) KVL 有 ，對(duì)應(yīng)的相量形式為： 上式表明：流入某一節(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足 KCL ；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足 KVL 。例8-7 圖(a)所示電路中電流表的讀數(shù)為：A1=8A ，A2=6A ，試求： （1）若 ，

18、則電流表 A0 的讀數(shù)為多少？ （2）若 為何參數(shù)，電流表 A0 的讀數(shù)最大？ I0max = ？ （3）若 為何參數(shù)，電流表 A0 的讀數(shù)最小？ I0min = ？ （4）若 為何參數(shù)，可以使電流表A0=A1讀數(shù)最小，此時(shí)表A2=？ 例 8 7 圖（a）(b)解：（1）設(shè)元件兩端的電壓相量為參考相量，根據(jù)元件電壓和電流相量的關(guān)系畫(huà)相量圖如圖（b）所示，則： （2）因?yàn)槭请娮瑁援?dāng)也是電阻時(shí)，總電流的有效值為兩個(gè)分支路電流有效值之和，達(dá)到最大值： （3）因?yàn)?是電感元件，所以當(dāng)是電容元件時(shí)，總電流的有效值為兩個(gè)分支路電流有效值之差，達(dá)到最小值： （4）是電感元件，所以當(dāng)是電容元件時(shí)，滿足例8-8 電路如圖(a)所示，已知電源電壓 ，求電源電流i(t) 例 8 8 圖（a）(b)解：電壓源電壓的相量為： 計(jì)算得感抗和容抗值為： 電路的相量模型如圖（b）所示。根據(jù) KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得： 所以 例8-9 電路如圖（a）所示，已知電流 ，求 us(t) 。 例 8 9 圖（ a ）(b)解：電流的相量為： 計(jì)算得容抗為： 電路的相量模型如圖（b）所示。根據(jù) KVL 和元件的 VCR 的相量表示式得：例8-10 電路如圖（a）所示，已知電壓，求電壓例 8 10 圖（ a