湘教版必修2高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第4課時(shí)實(shí)數(shù)與向量的積教案_第1頁
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1、實(shí)數(shù)與向量的積( 1)教學(xué)目的:1. 掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義,理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義;2. 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律;3. 理解兩個(gè)向量共線的充要條件,能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行教學(xué)重點(diǎn): 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn): 對(duì)向量共線的充要條件的理解授課類型: 新授課課時(shí)安排: 1 課時(shí)教具:多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)過程 :一、復(fù)習(xí)引入:1. 向量的概念: 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二個(gè)要素 :大小、方向 .2. 向量的表示方法: 用有向線段表示;用字母 、等表示;3. 零向量、單位向量概念: 長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量,長(zhǎng)度為1 個(gè)單位

2、長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.4. 平行向量定義: 方向相同或相反的非零向量叫平行向量;我們規(guī)定0 與任一向量平行. 向量 、 、 平行,記作 .5. 相等向量定義:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共線向量與平行向量關(guān)系: 平行向量就是共線向量 .7. 向量的加法: 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法向量加法的 三角形法則 和平行四邊形法則8向量加法的交換律:a +b = b + a9向量加法的結(jié)合律:(a + b ) + c = a+ (b + c )10 向量的減法 向量a加上的b相反向量,叫做a 與b 的差即:ab =a + (b)11差向量的意義:OA =a,OB=b,則BA=ab

3、即 ab 可以表示為從向量b 的終點(diǎn)指向向量a 的終點(diǎn)的向量二、講解新課:1示例:已知非零向量a ,作出a + a + a 和 (a )+(a )+(a )OC=OAABBC = a + a +a =3 aPN= PQQMMN=(a )+(a )+(a )=3 a( 1) 3 a 與 a 方向相同且 |3 a |=3|2實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù) 與向量a | ;(2)3 a 與 a 方向相反且a 的積是一個(gè)向量,記作: a|3 a |=3|a |( 1) | a |=| |a |( 2) >0 時(shí) a 與 a 方向相同; <0 時(shí) a 與 a 方向相反; =0 時(shí) a = 03運(yùn)算定律

4、結(jié)合律: ( a )=( ) a第一分配律: ( + ) a = a + a第二分配律: (a + b)= a + b結(jié)合律證明:如果 =0, =0, a =0 至少有一個(gè)成立,則式成立如果 0,0, a0 有: | ( a )|=| | a |=| | |a |( ) a |=| |a |=| | | a | ( a )|=|( ) a |如果 、 同號(hào),則式兩端向量的方向都與a 同向;如果 、 異號(hào),則式兩端向量的方向都與a 反向從而 ( a )=( ) a第一分配律證明:如果 =0,a =0 至少有一個(gè)成立,則式顯然成立=0如果 0,0, a0當(dāng) 、 同號(hào)時(shí),則 a 和 a 同向,|(

5、+ ) a |=| +|a |=(| |+| |)|a | a + a |=| a |+| a |=| |a |+| | a |=(| |+| |)|a | 、 同號(hào) 兩邊向量方向都與a 同向即 |( + ) a |=| a + a |當(dāng) 、 異號(hào),當(dāng) > 時(shí)兩邊向量的方向都與 a 同向;當(dāng) < 時(shí) 兩邊向量的方向都與 a 同向,且|( + ) a |=| a + a |式成立第二分配律證明:如果 a = 0 , b = 0 中至少有一個(gè)成立,或 =0, =1 則式顯然成立當(dāng) a0 , b0 且 0, 1 時(shí)( 1)當(dāng) >0 且 1 時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作 OAaABbOA

6、1 aA1B1 b則 OBa +bOB1 a + b由作法知,ABA1 B11 1AB |= | A1 B1 |有 OAB= OAB | |OA1 | A1B1 | OAB OA1B1|OA |AB|OB1 |AOB=A 1OB1|OB |因此, O, B, B1 在同一直線上, | OB1 |=| OB |OB1 與 OB 方向也相同 ( a + b )= a + b當(dāng) <0 時(shí) 可類似證明:( a + b )= a + b 式成立4向量共線的充要條件若有向量 a ( a0 ) 、 b ,實(shí)數(shù) ,使 b = a ,則 a 與 b 為共線向量若 a 與 b 共 線 ( a0 ) 且 |

7、b | : | a |= , 則 當(dāng) a 與 b 同 向 時(shí) b = a ;當(dāng) a 與 b 反向時(shí) b = a 從而得向量共線定理向量 b 與非零向量 a 共線的 充要條件 是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) ,使 b =a三、講解范例:例 1 若 3 2, 3 ,其中 , 是已知向量,求 ,.分析:此題可把已知條件看作向量、 的方程,通過方程組的求解獲得 、.解:記 3 2 3×得 得11 . 13 將代入有: 3112111111評(píng)述:在此題求解過程中,利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律,從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例 2 凸四邊形的邊

8、、的中點(diǎn)分別為、 ,求證EF 1(AB+DC ).ABCDAD BCE F2解法一:構(gòu)造三角形,使EF作為三角形中位線,借助于三角形中位線定理解決.過點(diǎn)C在平面內(nèi)作CGAB,則四邊形ABGC是平行四邊形,故F為 AG中點(diǎn) . EF是 ADG的中位線, EF = 1 DG , EF1DG.22而DGDC CGDC AB, EF 1(ABDC).2解法二:創(chuàng)造相同起點(diǎn),以建立向量間關(guān)系如圖,連 EB, EC,則有 EB EA AB ,ECEDDC ,又 E 是 AD之中點(diǎn),有EA ED 0.即有EBECABDC ;以 EB 與 EC 為鄰邊作平行四邊形EBGC,則由 F 是 BC之中點(diǎn),可得F 也

9、是 EG之中點(diǎn) . EF 1 EG1(EBEC) 1(ABDC )222四、課堂練習(xí):1. 錯(cuò)例分析判斷向量 e 與 e 是否共線 ? 對(duì)此題,有同學(xué)解答如下:解: e, e, , 與 共線 .分析:乍看上述解答,真是簡(jiǎn)單明快. 然而,仔細(xì)研究題目已知,卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題,這是因?yàn)?,原題已知中對(duì)向量e 并無任何限制,那么就應(yīng)允許e 0,而當(dāng)e 0 時(shí),顯然 0, 0,此時(shí), 不符合定理中的條件,且使 成立的 值也不惟一 ( 如 , , 等均可使 成立 ) ,故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線 . 可見,對(duì) e 0 的情況應(yīng)另法判斷才妥 .綜上分析,此題應(yīng)解答如下:解: (1) 當(dāng) e 0 時(shí),

10、則 e 0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”,所以,此時(shí)與共線 .(2) 當(dāng) e 0 時(shí),則 e 0, e0 ( 這時(shí)滿足定理中的 0,及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ( ),使得 成立 )與 共線 .綜合 (1) 、 (2) 可知, 與 共線 .2. 用向量法解決幾何問題向量是數(shù)學(xué)中重要概念之一,是解決數(shù)學(xué)問題的得力工具,它簡(jiǎn)潔明快,許多幾何里的命題,如果用向量知識(shí)來解決就顯得格外簡(jiǎn)練.如圖, MN是 ABC的中位線,求證:MN 1 BC,且 MN BC.21證明: M、N 分別是 AB、 AC邊上的中點(diǎn),所以AM =AB ,2AN =1 AC,MN=ANAM =1 AC-1AB =

11、1(AC- AB)22221= BC .2因此, 1 且 BC.2五、小結(jié) : 通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義,掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律,理解兩個(gè)向量共線的充要條件,并能在解題中加以運(yùn)用.六、課后作業(yè):1當(dāng) Z 時(shí),驗(yàn)證: (a + b)= a + b證:當(dāng) =0 時(shí),左邊=0?(a +b)=0右邊 =0? a +0? b= 0分配律成立當(dāng) 為正整數(shù)時(shí),令 =n,則有:n(a +b)=(a + b )+(a + b )+ +(a + b)= a + a + +a + b + b +b + + b =n a +n b即 為正整數(shù)時(shí),分配律成立當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí),令 = n(n 為正整

12、數(shù)),有n( a +b )=n( a + b )=n(a )+(b )=n(a )+n(b )= n a +( n b )= n a n b分配律仍成立綜上所述,當(dāng) 為整數(shù)時(shí), ( a + b )= a + b 恒成立A2如圖,在 ABC中, AB = a ,BC = b, AD 為邊 BC的a中線,G為 ABC的重心,求向量 AGb DCB解法一: AB = a ,BC =b則BD=1 BC=1 bA22a AD = AB + BD = a+ 1 b 而 AG = 2 ADEGF23AG=2a + 1 bBbCD33解法二:過 G作 BC的平行線,交AB、 AC于 E、 F AEF ABC,

13、AE = 2 AB = 2 aEF = 2 BC = 2 bEG = 1 EF = 1 b333323 AG = AE + EG = 2 a + 1 b 3 33在ABCD中,設(shè)對(duì)角線AC =a , BD =b 試用 a ,b 表示 AB , BC解法一: AO =OC = 1aBO=1 BD=1 b222 AB=AO+OB=AOBO = 1 a 1 b22BC =BO+OC =OC +BO=1 a + 1 b22解二:設(shè) AB = x , BC = y則 AB+BC=AC ,即x + y = a; ADAB = BD ,即 x y =b x = 1 ( a b ) ,y = 1 ( a +b )22即 AB = 1 ( a b )BC = 1 ( a +b )224 設(shè) e1 , e2 是兩個(gè)不共線向量, 已知 AB =2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2, CD =2 e1e2 , 若三點(diǎn) A,B,D共線,求 k 的值解: BD =CDCB =(2 e1 e2 ) ( e1 +3 e2 )= e1 4 e2A, B, D共線

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