湘教版必修2高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第4課時(shí)實(shí)數(shù)與向量的積教案

1、實(shí)數(shù)與向量的積（ 1）教學(xué)目的：1. 掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義；2. 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；3. 理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行教學(xué)重點(diǎn)： 掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律、理解向量共線的充要條件教學(xué)難點(diǎn)： 對(duì)向量共線的充要條件的理解授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀.教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1. 向量的概念： 既有大小又有方向的量叫向量 , 有二個(gè)要素 ：大小、方向 .2. 向量的表示方法： 用有向線段表示；用字母 、等表示；3. 零向量、單位向量概念： 長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量，長(zhǎng)度為1 個(gè)單位

2、長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.4. 平行向量定義： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0 與任一向量平行. 向量 、 、 平行，記作 .5. 相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.6. 共線向量與平行向量關(guān)系： 平行向量就是共線向量 .7. 向量的加法： 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量加法的 三角形法則 和平行四邊形法則8向量加法的交換律：a +b = b + a9向量加法的結(jié)合律：(a + b ) + c = a+ (b + c )10 向量的減法 向量a加上的b相反向量，叫做a 與b 的差即：ab =a + (b)11差向量的意義：OA =a,OB=b,則BA=ab

3、即 ab 可以表示為從向量b 的終點(diǎn)指向向量a 的終點(diǎn)的向量二、講解新課：1示例：已知非零向量a ，作出a + a + a 和 (a )+(a )+(a )OC=OAABBC = a + a +a =3 aPN= PQQMMN=(a )+(a )+(a )=3 a（ 1） 3 a 與 a 方向相同且 |3 a |=3|2實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù) 與向量a | ；（2）3 a 與 a 方向相反且a 的積是一個(gè)向量，記作： a|3 a |=3|a |（ 1） | a |=| |a |（ 2） >0 時(shí) a 與 a 方向相同； <0 時(shí) a 與 a 方向相反； =0 時(shí) a = 03運(yùn)算定律

4、結(jié)合律： ( a )=( ) a第一分配律： ( + ) a = a + a第二分配律： (a + b)= a + b結(jié)合律證明：如果 =0， =0， a =0 至少有一個(gè)成立，則式成立如果 0，0， a0 有： | ( a )|=| | a |=| | |a |( ) a |=| |a |=| | | a | ( a )|=|( ) a |如果 、 同號(hào)，則式兩端向量的方向都與a 同向；如果 、 異號(hào)，則式兩端向量的方向都與a 反向從而 ( a )=( ) a第一分配律證明：如果 =0，a =0 至少有一個(gè)成立，則式顯然成立=0如果 0，0， a0當(dāng) 、 同號(hào)時(shí)，則 a 和 a 同向，|(

5、+ ) a |=| +|a |=(| |+| |)|a | a + a |=| a |+| a |=| |a |+| | a |=(| |+| |)|a | 、 同號(hào) 兩邊向量方向都與a 同向即 |( + ) a |=| a + a |當(dāng) 、 異號(hào)，當(dāng) > 時(shí)兩邊向量的方向都與 a 同向；當(dāng) < 時(shí) 兩邊向量的方向都與 a 同向，且|( + ) a |=| a + a |式成立第二分配律證明：如果 a = 0 ， b = 0 中至少有一個(gè)成立，或 =0， =1 則式顯然成立當(dāng) a0 ， b0 且 0， 1 時(shí)（ 1）當(dāng) >0 且 1 時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 OAaABbOA

6、1 aA1B1 b則 OBa +bOB1 a + b由作法知，ABA1 B11 1AB |= | A1 B1 |有 OAB= OAB | |OA1 | A1B1 | OAB OA1B1|OA |AB|OB1 |AOB=A 1OB1|OB |因此， O， B， B1 在同一直線上， | OB1 |=| OB |OB1 與 OB 方向也相同 ( a + b )= a + b當(dāng) <0 時(shí) 可類似證明：( a + b )= a + b 式成立4向量共線的充要條件若有向量 a ( a0 ) 、 b ，實(shí)數(shù) ，使 b = a ，則 a 與 b 為共線向量若 a 與 b 共 線 ( a0 ) 且 |

7、b | ： | a |= ， 則 當(dāng) a 與 b 同 向 時(shí) b = a ；當(dāng) a 與 b 反向時(shí) b = a 從而得向量共線定理向量 b 與非零向量 a 共線的 充要條件 是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) ，使 b =a三、講解范例：例 1 若 3 2， 3 ，其中 ， 是已知向量，求 ，.分析：此題可把已知條件看作向量、 的方程，通過方程組的求解獲得 、.解：記 3 2 3×得 得11 . 13 將代入有： 3112111111評(píng)述：在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例 2 凸四邊形的邊

8、、的中點(diǎn)分別為、 ，求證EF 1(AB+DC ).ABCDAD BCE F2解法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點(diǎn)C在平面內(nèi)作CGAB，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為 AG中點(diǎn) . EF是 ADG的中位線， EF = 1 DG , EF1DG.22而DGDC CGDC AB， EF 1（ABDC）.2解法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系如圖，連 EB， EC，則有 EB EA AB ，ECEDDC ，又 E 是 AD之中點(diǎn)，有EA ED 0.即有EBECABDC ；以 EB 與 EC 為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由 F 是 BC之中點(diǎn)，可得F 也

9、是 EG之中點(diǎn) . EF 1 EG1（EBEC） 1（ABDC ）222四、課堂練習(xí)：1. 錯(cuò)例分析判斷向量 e 與 e 是否共線 ? 對(duì)此題，有同學(xué)解答如下：解： e， e， ， 與 共線 .分析：乍看上述解答，真是簡(jiǎn)單明快. 然而，仔細(xì)研究題目已知，卻發(fā)現(xiàn)其解答存有問題，這是因?yàn)?，原題已知中對(duì)向量e 并無任何限制，那么就應(yīng)允許e 0，而當(dāng)e 0 時(shí)，顯然 0， 0，此時(shí)， 不符合定理中的條件，且使 成立的 值也不惟一 ( 如 ， ， 等均可使 成立 ) ，故不能應(yīng)用定理來判斷它們是否共線 . 可見，對(duì) e 0 的情況應(yīng)另法判斷才妥 .綜上分析，此題應(yīng)解答如下：解： (1) 當(dāng) e 0 時(shí)，

10、則 e 0由于“零向量與任一向量平行”且“平行向量也是共線向量”，所以，此時(shí)與共線 .(2) 當(dāng) e 0 時(shí)，則 e 0， e0 ( 這時(shí)滿足定理中的 0，及有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) （ ），使得 成立 )與 共線 .綜合 (1) 、 (2) 可知， 與 共線 .2. 用向量法解決幾何問題向量是數(shù)學(xué)中重要概念之一，是解決數(shù)學(xué)問題的得力工具，它簡(jiǎn)潔明快，許多幾何里的命題，如果用向量知識(shí)來解決就顯得格外簡(jiǎn)練.如圖， MN是 ABC的中位線，求證：MN 1 BC，且 MN BC.21證明： M、N 分別是 AB、 AC邊上的中點(diǎn)，所以AM =AB ，2AN =1 AC，MN=ANAM =1 AC-1AB =

11、1（AC- AB）22221= BC .2因此， 1 且 BC.2五、小結(jié) : 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件，并能在解題中加以運(yùn)用.六、課后作業(yè)：1當(dāng) Z 時(shí)，驗(yàn)證： (a + b)= a + b證：當(dāng) =0 時(shí)，左邊=0?(a +b)=0右邊 =0? a +0? b= 0分配律成立當(dāng) 為正整數(shù)時(shí)，令 =n,則有：n(a +b)=(a + b )+(a + b )+ +(a + b)= a + a + +a + b + b +b + + b =n a +n b即 為正整數(shù)時(shí)，分配律成立當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令 = n（n 為正整

12、數(shù)），有n( a +b )=n( a + b )=n(a )+(b )=n(a )+n(b )= n a +( n b )= n a n b分配律仍成立綜上所述，當(dāng) 為整數(shù)時(shí)， ( a + b )= a + b 恒成立A2如圖，在 ABC中， AB = a ,BC = b， AD 為邊 BC的a中線，G為 ABC的重心，求向量 AGb DCB解法一： AB = a ,BC =b則BD=1 BC=1 bA22a AD = AB + BD = a+ 1 b 而 AG = 2 ADEGF23AG=2a + 1 bBbCD33解法二：過 G作 BC的平行線，交AB、 AC于 E、 F AEF ABC，

13、AE = 2 AB = 2 aEF = 2 BC = 2 bEG = 1 EF = 1 b333323 AG = AE + EG = 2 a + 1 b 3 33在ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC =a ， BD =b 試用 a ,b 表示 AB ， BC解法一： AO =OC = 1aBO=1 BD=1 b222 AB=AO+OB=AOBO = 1 a 1 b22BC =BO+OC =OC +BO=1 a + 1 b22解二：設(shè) AB = x ， BC = y則 AB+BC=AC ，即x + y = a； ADAB = BD ，即 x y =b x = 1 ( a b ) ，y = 1 ( a +b )22即 AB = 1 ( a b )BC = 1 ( a +b )224 設(shè) e1 , e2 是兩個(gè)不共線向量， 已知 AB =2 e1 +k e2 , CB = e1 +3 e2, CD =2 e1e2 , 若三點(diǎn) A,B,D共線，求 k 的值解： BD =CDCB =(2 e1 e2 ) ( e1 +3 e2 )= e1 4 e2A, B, D共線