2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.1數(shù)列的概念與簡單表示法教案文（含解析）新人教A版.docx

6.1數(shù)列的概念與簡單表示法最新考綱考情考向分析1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).以考查Sn與an的關(guān)系為主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱點本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空的形式進行考查，難度為低檔.1數(shù)列的定義按照一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN遞減數(shù)列an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因為n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.5數(shù)列an中，ann211n(nN)，則此數(shù)列最大項的值是答案30解析ann211n2，nN，當n5或n6時，an取最大值30.6已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則an.答案解析當n1時，a1S12，當n2時，anSnSn1n21(n1)212n1，a12不滿足上式故an題型一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式例1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)，；(2)1，7，13，19，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5555，.解(1)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13，35，57，79，911，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2，4，6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個通項公式為an.(2)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式(1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an(1)n(6n5)(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察即，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an.(4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，易知數(shù)列9，99，999，的通項為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an(10n1)思維升華求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：(1)分式中分子、分母的特征(2)相鄰項的變化特征(3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征(4)各項符號特征等(5)若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式跟蹤訓(xùn)練1(1)數(shù)列，的一個通項公式an.答案(1)n解析這個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an(1)n.(2)數(shù)列an的前4項是，1，則這個數(shù)列的一個通項公式是an.答案解析數(shù)列an的前4項可變形為，故an.題型二由an與Sn的關(guān)系求通項公式例2(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn2n23n，則an.答案4n5解析a1S1231，當n2時，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6.答案63解析Sn2an1，當n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)當n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.(3)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2n，則an.答案解析當n1時，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an.顯然當n1時不滿足上式，an思維升華已知Sn求an的常用方法是利用an一定要檢驗a1的情況跟蹤訓(xùn)練2(1)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n1，則an.答案解析當n1時，a1S1314；當n2時，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.當n1時，23112a1，所以an(2)設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，則an.答案解析因為a13a232a33n1an，則當n2時，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由題意知a1符合上式，所以an.(3)若數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項公式是an.答案(2)n1解析當n1時，a1S1a1，即a11；當n2時，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.題型三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式例3設(shè)數(shù)列an中，a12，an1ann1，則an.答案解析由條件知an1ann1，則an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.引申探究1若將“an1ann1”改為“an1an”，如何求解？解an1an，a12，an0，.ana12.2若將“an1ann1”改為“an12an3”，如何求解？解設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，則b1a135，且2.所以bn是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列所以bn52n1，故an52n13.3若將“an1ann1”改為“an1”，如何求解？解an1，a12，an0，即，又a12，則，是以為首項，為公差的等差數(shù)列(n1).an.4若將本例條件換為“a11，an1an2n”，如何求解？解an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即數(shù)列an的奇數(shù)項與偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列當n為偶數(shù)時，a21，故ana22n1.當n為奇數(shù)時，an1an2n，an1n(n1為偶數(shù))，故ann.綜上所述，annN.思維升華已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法(1)當出現(xiàn)anan1m時，構(gòu)造等差數(shù)列(2)當出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列(3)當出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解(4)當出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解跟蹤訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列an滿足a11，a24，an22an3an1(nN)，則數(shù)列an的通項公式an.答案32n12解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a13為首項，2為公比的等比數(shù)列，an1an32n1，當n2時，anan132n2，a3a232，a2a13，將以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(當n1時，也滿足)(2)在數(shù)列an中，a13，an1an，則通項公式an.答案4解析原遞推公式可化為an1an，則a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐項相加得ana11，故an4，經(jīng)驗證a1，a2也符合題型四數(shù)列的性質(zhì)命題點1數(shù)列的單調(diào)性例4已知an，那么數(shù)列an是()A遞減數(shù)列B遞增數(shù)列C常數(shù)列D擺動數(shù)列答案B解析an1，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，nN，易知an是遞增數(shù)列命題點2數(shù)列的周期性例5(2019包頭質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a10，an1，則S2020.答案0解析a10，an1，a2，a3，a40，即數(shù)列an的取值具有周期性，周期為3，且a1a2a30，則S2020S36731a10.命題點3數(shù)列的最值例6已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sm12，Sm0，Sm13(m2)，則nSn的最小值為()A3B5C6D9答案D解析由Sm12，Sm0，Sm13(m2)可知am2，am13，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d1，Sm0，a1am2，則ann3，Sn，nSn.設(shè)f(x)，x0，f(x)x25x，x0，f(x)的極小值點為x，nN+，且f(3)9，f(4)8，f(n)min9.思維升華應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性，判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個：(1)利用數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷；(2)對數(shù)列的前后項作差(或作商)，利用比較法判斷跟蹤訓(xùn)練4(1)(2018葫蘆島模擬)若數(shù)列an滿足a12，an1，則a2020的值為()A2B3CD.答案D解析因為a12，an1，所以a23，a3，a4，a52，故數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，故a2020a5054a4.(2)若數(shù)列an的前n項和Snn210n(nN)，則數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是()A第2項B第3項C第4項D第5項答案B解析Snn210n，當n2時，anSnSn12n11；當n1時，a1S19也適合上式an2n11(nN)記f(n)nann(2n11)2n211n，此函數(shù)圖象的對稱軸為直線n，但nN+，當n3時，f(n)取最小值數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第3項1已知數(shù)列，則5是它的()A第19項B第20項C第21項D第22項答案C解析數(shù)列，中的各項可變形為，所以通項公式為an，令5，得n21.2記Sn為數(shù)列an的前n項和“任意正整數(shù)n，均有an0”是“Sn是遞增數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析“an0”“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”，“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的充分條件如數(shù)列an為1，1，3，5，7，9，顯然數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零，“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”不能推出“an0”，“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的不必要條件“an0”是“數(shù)列Sn是遞增數(shù)列”的充分不必要條件3(2018錦州質(zhì)檢)若Sn為數(shù)列an的前n項和，且Sn2an2，則S8等于()A255B256C510D511答案C解析當n1時，a1S12a12，據(jù)此可得a12，當n2時，Sn2an2，Sn12an12，兩式作差可得an2an2an1，則an2an1，據(jù)此可得數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，其前8項和為S82925122510.4(2018呼和浩特模擬)已知數(shù)列an的前n項和Snn22n，則數(shù)列的前6項和為()A.B.C.D.答案A解析數(shù)列an的前n項和Snn22n，Sn1n21，兩式作差得到an2n1(n2)，又當n1時，a1S112213，符合上式，所以an2n1，裂項求和得到S6，故選A.5在數(shù)列an中，a12，ln，則an等于()A2nlnnB2n(n1)lnnC2nnlnnD1nnlnn答案C解析由題意得ln(n1)lnn，n分別用1，2，3，(n1)取代，累加得lnnln1lnn，2lnn，an(lnn2)n，故選C.6數(shù)列an的前n項積為n2，那么當n2時，an等于()A2n1Bn2C.D.答案D解析設(shè)數(shù)列an的前n項積為Tn，則Tnn2，當n2時，an.7若數(shù)列an滿足關(guān)系an11，a8，則a5.答案解析借助遞推關(guān)系，由a8遞推依次得到a7，a6，a5.8若數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項公式an.答案解析當n1時，a1S13122112；當n2時，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當n1時，不滿足上式故數(shù)列an的通項公式為an9設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn.答案解析an1Sn1Sn，Sn1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差數(shù)列，且公差為1，而1，1(n1)(1)n，Sn.10已知數(shù)列an滿足a11，anan1nanan1(nN)，則an.答案解析由anan1nanan1，得n，則由累加法得12(n1)，又因為a11，所以1，所以an(nN)11已知在數(shù)列an中，a11，前n項和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由S2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13；由S3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當n1時，有anSnSn1anan1，整理，得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1，將以上n個等式兩端分別相乘，整理，得an，經(jīng)檢驗n1時，也滿足上式綜上，an的通項公式an.12已知數(shù)列an中，a11，其前n項和為Sn，且滿足2Sn(n1)an(nN)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bn3na，若數(shù)列bn為遞增數(shù)列，求的取值范圍解(1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1(n1)an，即nan1(n1)an，1，ann(nN)(2)bn3nn2.bn1bn3n1(n1)2(3nn2)23n(2n1)數(shù)列bn為遞增數(shù)列，23n(2n1)0，即1.cn為遞增數(shù)列，c12，即的取值范圍為(，2)13(2018撫順模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若3Sn2an3n，則a2019等于()A220191B320196C.2019D.2019答案A解析由題意可得，3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，兩式作差可得3an12an12an3，即an12an3，an112(an1)，結(jié)合3S12a133a1可得a13，a112，則數(shù)列an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，據(jù)此有a20191(2)(2)201822019，a2019220191.故選A.14(2018赤峰模擬)已知數(shù)列an的首項a1a，其前n項和為Sn，且滿足SnSn14n2(n2，nN)，若對任意nN，anan1恒成立，則a的取值范圍是()A.B.C.D(3，5)答案D解析SnSn14n2，Sn1Sn4(n1)2，當n2時，Sn1Sn18n4，即an1an8n4，即an2an18n12，故an2an8(n2)，由a1a知a22a142216，a2162a1162a，a32S243236，a3362S2362(16a)42a，a4242a；若對任意nN+，anan1恒成立，只需使a1a2a3a4，即a162a42a242a，解得3am，則SnSm的最小值為()ABC14D28答案C解析因為1，且5，所以數(shù)列是以5為首項、1為公差的等差數(shù)列，則5(n1)n6，即an(2n5)