第四章能量法2 (1)ppt課件

應(yīng)變能原理或卡氏第一定理 它代表了結(jié)構(gòu)力的平衡條件 在結(jié)構(gòu)分析中可用來建立位移法方程式 表明結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對某一廣義位移的偏導數(shù)等于此位移相對應(yīng)的廣義力 i 1 2 3 在線性體系中 上式是位移法的正則方程式 若結(jié)構(gòu)中僅發(fā)生虛位移 k 而其余位移保持不變 則 4 4 3單位位移法可用于求結(jié)構(gòu)在載荷作用下某個位置處的力 根據(jù)所求位置處的力Fi 虛設(shè)與之相對應(yīng)的單位位移 i 1 其它支座位移均為零 真實應(yīng)力 單位位移引起的虛應(yīng)變 等式為用能量表達的靜力方程 等式右邊表達了真實應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的功 即結(jié)構(gòu)獲得的虛應(yīng)變能 廣泛用于求位移法方程中的剛度系數(shù) 單元剛度矩陣等 虛位移原理是用能量的觀點來表達平衡條件的 可用來判別變形形態(tài)是否滿足平衡條件 滿足變形協(xié)調(diào)條件 滿足平衡條件 4 4 4勢 位 能駐值原理的近似解法 李茲法對不能精確求解或求解困難的結(jié)構(gòu)進行近似分析 變形體 在外力作用下 只要滿足可能位移條件的連續(xù)函數(shù)都可用來表達變形形態(tài) 在無限多的可能位移中找出所需要的正確解答 在有限個可能變形中挑選出較好的或者是最佳的近似解答 復雜問題求得正確的解答很困難 李茲法或雷利 李茲法 Raylegh Ritzmethod 李茲法的解題方法 取系統(tǒng)位移作為未知數(shù) 利用位能駐值原理 0 把變分問題看作是求一個包含有限多個變量的普通函數(shù)的極值問題 李茲法 建立在保守系統(tǒng)中應(yīng)用虛功原理的變分方程基礎(chǔ)上 是變分法中的直接法 1 選取結(jié)構(gòu)可能位移的級數(shù)表達式 2 計算由 i x 表示的V和U 滿足位移邊界條件的連續(xù)函數(shù) 稱為形狀函數(shù)或基函數(shù) 待定系數(shù) 3 代入 V U 使 變?yōu)楹袇?shù)a1 a2 的多元函數(shù) 4 由位能駐值原理 ai i l 2 變形的正確解答 為獲得彈性體的精確解 級數(shù)應(yīng)取無限項 在實際求解中級數(shù)只能取有限項 相當于在體系中引入了某些約束 增加了體系的能量 所以得到的是近似解 基函數(shù)應(yīng)滿足下列條件 將ai代入表示可能位移的級數(shù)中 這時的級數(shù)不僅滿足連續(xù)性條件 而且保證了滿足平衡條件 用李茲法解出的位移總是比實際的低 解的精度取決于對基函數(shù) i x 的成功選取及級數(shù)的項數(shù) 級數(shù)中的每一個函數(shù)應(yīng)當是獨立的 并滿足運動邊界條件 幾何約束條件 函數(shù)應(yīng)構(gòu)成整個體系 亦即函數(shù)的組合所描述的任一個位移不會與約束發(fā)生矛盾 x 0及x l時 0和 0 兩端自由支持 承受集中力P作用的單跨梁 長度l 抗彎剛度EI 在圖示的坐標下 梁的撓曲函數(shù)可取如下級數(shù) 應(yīng)變能 外力功 取 對廣義坐標an的導數(shù)為零 求得方程系數(shù)為 梁的總位能為 誤差為6 4 當取2項時 計算得到的撓度幾乎是精確值 級數(shù)只取1項時 計算得到的力作用點處梁的撓度為 準確值 4 4 5勢 位 能駐值原理的近似解法 伽略金法 選取撓曲線函數(shù) 滿足梁端的所有邊界條件 如果結(jié)構(gòu)的平衡微分方程可以寫出 則伽略金法要比李茲法方便得多 李茲法與伽略金法的主要差異 作用在x xi處的集中力 作用在x xi處的集中彎矩 分布載荷下平衡微分方程 李茲法要求選取的位移函數(shù)滿足位移邊界條件即可 再無其它限制 所以選取函數(shù)比較容易 伽略金法要求所選取的位移函數(shù)不僅滿足位移邊界條件 而且還要滿足力邊界條件 要求的條件比較高 故選取函數(shù)時比李茲法困難 在實際應(yīng)用中 李茲法比伽略金法獲得了更廣泛的應(yīng)用 在計算時李茲法比伽略金法要繁一些 反力余位能 4 5余能原理 Ri為結(jié)構(gòu)的約束反力 i為相應(yīng)于約束反力處的位移 4 5 1余位能駐值原理 仿照總位能 定義總余能 根據(jù)虛力原理 若Ri有變化 Ri 則虛余功為 僅計入支反力 因為在余位能駐值原理中外載荷不變 增量為零 故不計入 對于不能發(fā)生位移的支座 總余位能等于余能 即 V 余位能駐值原理 結(jié)構(gòu)發(fā)生虛位移 Pi時 余能V 的變分可寫作 4 5 2應(yīng)力能原理 根據(jù)虛力原理 由虛力 Pi變化的任意性 即不恒為零 可得 i 1 2 3 應(yīng)力能原理或恩格塞爾定理 代表了結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件 可用來建立力法的方程式 表明結(jié)構(gòu)的余能對某一廣義力的偏導數(shù)等于對應(yīng)于此力的廣義位移 i 1 2 3 在線性體系中 上式是力法的正則方程式 若結(jié)構(gòu)中僅有力Pk發(fā)生變化 而其余的力保持不變 則 線性體系 V V 卡氏第二定理材料力學中的卡氏定理 i 1 2 3 r 在線性體系中 結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能 表達為力的函數(shù) 對約束反力的偏導數(shù)等于零 最小功原理在結(jié)構(gòu)分析中十分有用 特別適用于曲桿及圓環(huán)結(jié)構(gòu)的分析 線性體系V V 最小余能定理 表明在穩(wěn)定平衡的靜不定結(jié)構(gòu)中 當外約束處的位移為零及內(nèi)約束處的位移協(xié)調(diào)時 多余的約束反力使結(jié)構(gòu)的余能為最小值 Xi約束力 最小功原理 r個支座 彈性支座應(yīng)計及變形能 彈性基礎(chǔ)應(yīng)計及變形能 寫出圖示彈性基礎(chǔ)梁的總位能 不計剪切和拉伸 梁的長度為l 變形能 力函數(shù)中應(yīng)計及壓力T所做功 力函數(shù) 參閱板條梁大撓度彎曲的相關(guān)內(nèi)容 總位能 例計算圖示梁單元的剛度矩陣 解 梁單元的位移向量及相應(yīng)的力向量如下 設(shè)梁的撓曲線為 式中