數(shù)學形態(tài)學原理.ppt

第9章 數(shù)學形態(tài)學原理 （第二講）,9.3 一些基本形態(tài)學算法,在前面背景知識基礎上可探討形態(tài)學的實際應用。當處理二值圖像時形態(tài)學的主要應用是提取表示和描述圖像形狀的有用成分。特別是提取某一區(qū)域的邊界線、連接成分、骨骼、凸殼的算法十分有效。區(qū)域填充、細化、加粗、裁剪等處理方法也經常與上述算法相結合在預處理和后處理中使用。這些算法的討論大部分采用的是二值的圖像，即只有黑和白兩級灰度，1表示黑，0表示白。,9.3.1邊緣提取算法,集合A的邊界記為 (A)，可以通過下述算法提取邊緣：設B是一個合適的結構元素，首先令A被B腐蝕，然后求集合A和它的腐蝕的差。如下式所示： (930),圖910 邊緣提取算法示意圖,圖910解釋了邊緣提取的過程。它表示了一個簡單的二值圖像，一個結構元素和用公式(930)得出的結果。圖910(b)中的結構元素是最常用的一種，但它決不是唯一的。通常的情況如果采用一個55全“1”的結構元素，可得到一個二到三個像素寬的邊緣。應注意當集合B的原點處在集合的邊界時，結構元素的一部分位于集合之外。這種條件下的通常的處理是約定集合邊界外的值為0。,例題：使用形態(tài)學處理提取邊界,下圖為一幅簡單的二值圖像，(b)為使用圖9.13(b)中的3*3結構元素進行處理的結果。,9.3.2 區(qū)域填充算法,下面討論的是一種基于集合膨脹，取補和取交的區(qū)域填充的簡單的算法。如圖A表示一個包含一個子集的集合，子集的元素為8字形的連接邊界的區(qū)域。從邊界內的一點P開始，目標是用1去填充整個區(qū)域。,假定所有的非邊界元素均標為0，我們把一個值1賦給P開始這個過程。下述過程將把這個區(qū)域用1來填充： (931) 其中， ，B為對稱結構元素，如圖所示。當 k 迭代到 時，算法終止。集合 和 A 的并集包括填充的集合和邊界。,圖 911 區(qū)域填充算法,如果公式(931)的膨脹過程一直進行，它將填滿整個區(qū)域。然而，每一步與AC的交把結果限制在我們感興趣的區(qū)域內（這種限制過程有時稱為條件膨脹）。圖911剩下的部分解釋了公式(931)的進一步技巧。盡管這個例子只有一個子集，只要每個邊界內給一個點，這個概念可清楚地用在任何有限個這樣的子集中。,圖 911 區(qū)域填充算法,例題：形態(tài)學區(qū)域填充,圖顯示了在球體中選擇的一個點，(b)顯示了填充的結果，(c)顯示了填充所有球體后的結果。,在形式上與填充相似。不同的是用A代替了AC ，這是因為所提取的全部元素（相連組成部分的元素）均標記為1。每一迭代步和A求交集可除去以標記為0的元素為中心的膨脹。圖912圖釋了公式(932)的操作技巧。這里，結構元素的形狀是8連接的，與區(qū)域填充算法一樣，以上討論的結果可以應用于任何有限的包含在集合A中的連接部分。,圖 912 連接部分提取算法,圖中（a）集A包含一個連接部分Y和初始點P；(b)是結構元；(c)第一次迭代結果；(d)第二次迭代結果；(e)最終結果。,9.3.4 凸殼算法（看做邊界）,集合的凸殼是一個有用的圖像描述工具。在此提出一種獲得集合A凸殼C(A)的簡單形態(tài)學算法。設 Bi ， i= 1,2,3,4,代表四個結構元素。這個處理過程由下述公式實現(xiàn)：,這個過程包括對A和B1重復使用擊中（hit）或擊不中（miss)變換；當沒有進一步的變化發(fā)生時，求A和所謂的結果D1并集。對B2重復此過程直到沒有進一步的變化為止。四個結果D的并構成了A的凸殼。,左圖中為提取凸殼的結構元素（每個結構元素的原點位于它的中心）。中圖給出了要提取凸殼的集合 A，從 開始，重復公式四步后得到的結果D1右圖。,然后令 再次利用公式(933)得到的結果示于圖913(d)(注意只用兩步就收斂了)。下兩個結果用同樣的方法得到。最后，把圖913(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的結果就為所求凸殼。每個結構元素對結果的貢獻在圖913(h)的合成集合中用不同加亮表示。,圖913 凸殼算法示例,圖913 凸殼算法示例,9.3.5 細化,根據(jù)這個概念，我們現(xiàn)定義被一個結構元素序列的細化為 ) (937) 換句話說，這個過程是用 細化A，然后用 細化前一步細化的結果等等，直到A被 細化。整個過程重復進行到沒有進一步的變化發(fā)生為止。,圖914(a)是一組用于細化的結構元素，圖914(b)為用上述方法細化的集合A 。圖914(c)示出用 細化A得到的結果，圖914(d)-(k)為用其它結構元素細化的結果。當?shù)诙瓮ㄟ^ 時收斂。圖914(k)示出細化的結果。,圖 914 細化處理,圖 914 細化處理,9.3.6 粗化運算,粗化同細化的結構元素具有相同的形式。只是所有的0和1交換位置。然而實際中粗化算法很少使用。相反通常的過程是細化集合的背景，然后求細化結果的補而達到粗化的結果。 為了粗化集合A，令 ，細化C，然后得到 即為粗化結果。圖915解釋了這個過程。,圖 915 粗化處理,這個過程可能產生一些不連貫的點，這取決于A的性質，通常要進行一個簡單的后處理步驟來清除不連貫的點,從圖中可以看出，細化的背景為粗化過程形成一個邊界。這個性質在直接使用公式實現(xiàn)粗化過程中不會出現(xiàn)，這是用背景細化來實現(xiàn)粗化的一個主要原因。,9.3.7 骨骼化算法,利用形態(tài)學方法提取一個區(qū)域的骨格可以用腐蝕和開運算表示。即A的骨骼記為S(A)，骨骼化可以表示如下： (940) 和 (941) 其中B是結構元素， 表示對A連續(xù)腐蝕k次；,即 共執(zhí)行k次，K是A被腐蝕為空集以前的最后一次迭代的步驟。即：,表明集合A的骨骼S(A)可由骨骼子集Sk(A)的并得到，同樣表明可以也可以通過下面等式從子集重構A。,表明參數(shù) k 是對子集 連續(xù)膨脹 k 次。相當于下式：,右圖說明了以上討論的概念。第一列顯示了原始集合（頂部）和通過結構元素B（3*3）兩次腐蝕的圖形。由于再多一次對A的腐蝕將產生空集，所以選取K2。第二列顯示了第一列通過B的開運算而得到的圖形。,第三列為第一列與第二列的差別。第四列含兩個部分骨骼及最后的結果。最后的骨骼不但比所要求的更粗，而且相比較更重要，它是不連續(xù)的。形態(tài)學給出了就特定圖形侵蝕和空缺的描述。骨骼必須最大限度的細化、相連、最小限度的腐蝕。,第五列顯示了 、 以及。最后一列顯示了圖像A的重構。A就是第五列中膨脹骨骼子集的“并”。,圖示：,9.3.8 裁剪,圖形細化和骨骼化運算法有可能殘留需在后續(xù)處理中去除的寄生成分，裁剪方法成為對圖形細化、骨骼化運算的必要補充。,分析每個待識別字符的骨骼形狀是自動識別手寫字符的一種常見處理方法。由于對組成字符的筆畫的不均勻腐蝕，字符的骨架常常帶有“毛刺”（一種寄生成分）。這里將提出一種解決這種問題的形態(tài)學方法。首先我們假設寄生成分“毛刺”的長度不超過3個象素。,下圖顯示了手寫字符“a”的骨骼。在字符最左邊部分的寄生成分是一種我們感興趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不斷減少該字符的終點，對寄生成分加以抑制。當然不可否認這樣也不可避免的會消去（或減少）被處理字符其余必要的骨架，,但是缺少的結構信息是在最多不超過3個象素的假設前提下，即最多減少3個象素的字符結構信息。對于一個輸入集合A，通過一系列用于檢測字符端點的結構元素的細化處理，達到希望的結果。即：,(9-45),B表示結構元序列，包含兩個不同的結構，每一個結構將對全部八個元素作90的旋轉，圖中的“”表示“不用考慮”的情況，在某種意義上，不管該位置上的值是0還是1都毫無關系。,許多圖形學文獻記載的結果都是基于類似于圖917(b)中單一結構的運用基礎之上的，不過不同的是，在第一列中多了“不用考慮”的狀態(tài)而已。這樣的處理是不完善的。例如，這個元素將標識圖917(a)位于第八排，第四列作為最后一點的點，如果減去該元素將破壞這一筆的連接性。,(a)是原像，(b)和(c)是結構元素（d）細化三次的結果，（e）端點，(f)在（a）的條件下端點的膨脹，（g）裁剪后的圖像。,連續(xù)對A運用等式(945)三次將生成圖917(d)中的集合 。下一步將是把字符“恢復”到最初的形狀，同時將寄生的成分去除。這首先需要建立包含圖917(e)所有邊緣信息的集合 ，,(946),等式(946)中 是和前面一樣的端點檢測因子，下一步對邊緣進行三次放大處理，集合A作為消減因子：,(947),等式(947)中H是一個值為1的33 的結構元素，類似局域填充和連接成分的提取的情況，這一類條件膨脹處理有效的避免了在我們感興趣區(qū)域外值1元素的產生，正如圖917(f)中顯示的結果證實的一樣。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的結果： (947) 正如圖917(g)中所示。,在更復雜的情況下，如果分支端點離骨骼較近時，使用公式(946)有時可以撿拾一些寄生分枝的“尖端”。盡管可以通過等式(944)減少，但是由于它們是A中的有效點而在膨脹處理中再次出現(xiàn)。,除非只有所有的寄生元素再次獲得的情況下（當這些寄生元素與字符筆畫相比不夠長時，這將是一種出現(xiàn)機率非常少的情況），如果寄生元素處在非連接區(qū)域，那末檢測和減少寄生元素才會變得容易一些。,在這一點上一種自然而然的想法就是必須有一種方法來解決這個問題。例如，我們可以通過運用公式(944)，僅僅對被刪除點進行跟蹤和對所有的留下的端點進行再連接。這樣的選擇是正確的，它的優(yōu)點是使用簡單的形態(tài)結構來解決所有的問題。,表91總結了前邊討論的數(shù)學形態(tài)學算法及其結果，圖9.18示出了所使用的基本結構元素。,表91 形態(tài)學結論和特性的總結,表91 形態(tài)學結論和特性的總結（續(xù)）,表91 形態(tài)學結論和特性的總結（續(xù)）,表91 形態(tài)學結論和特性的總結（續(xù)）,圖918 基本形態(tài)學結構元素,9.4 灰度圖像的形態(tài)學處理,針對二值圖像的形態(tài)學處理的基本算法可方便地推廣至灰度圖像的處理。這一節(jié)將討論對灰度圖像的基本處理，即：膨脹、腐蝕、開運算、閉運算，建立一些基本的灰度形態(tài)運算法則。,本節(jié)重點是運用灰度形態(tài)學提取描述和表示圖像的有用成分。特別是通過形態(tài)學梯度算子開發(fā)一種邊緣提取和基于紋理的區(qū)域分割算法。同時將討論在預處理及后處理步驟中非常有用的平滑及增強處理算法。,與前邊二值圖像形態(tài)學處理理論不同的是在以下的討論中我們將處理數(shù)字圖像函數(shù)而不是集合。設 f(x,y) 是輸入圖像，b(x,y) 是結構元素，它可被看作是一個子圖像函數(shù)。如果Z表示實整數(shù)的集合，同時假設(x,y) 是來自ZXZ的整數(shù)，f和b是對坐標為 (x,y) 像素灰度值的函數(shù)（來自實數(shù)集R的實數(shù)）。如果灰度也是整數(shù)，則Z可由整數(shù)R所代替。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運算,9.4.4 灰度形態(tài)學的應用,函數(shù)b對函數(shù)f進行灰度膨脹可定義 ，運算式如下：結構元素形狀定義的鄰域中選擇f+b最大值,其中 和 分別是函數(shù)f和b的定義域，和前面一樣, b是形態(tài)處理的結構元素，不過在這兒的b是一個函數(shù)而不是一個集合。,位移參數(shù)(s-x)和(t-y)必須包含在f定義域內，模仿二值膨脹運算定義，這里兩個集合必須至少有一個元素相交疊。且公式類似于二維卷積公式，同時用“最大”代替卷積求和并以“相加”代替相乘。,下面我們用一維函數(shù)來解釋上文公式中的運算原理。對于僅有一個變量的函數(shù)，簡化為：,在卷積中，f(-x)僅是f(x)關于x軸原點的映射，正象卷積運算那樣，相對于正的s，函數(shù)f(s-x)將向右移，對于-s，函數(shù)f(s-x)將向左移。,條件是(s-x)必須在f的定義域內，x必須在b的定義域內。即f和b將相覆蓋，b應包含在f內。這和二值圖像膨脹定義要求的情形是類似的，即倆個集合至少應有一個元素是相互覆蓋的。最后，與二值圖像的情況不同，不是結構元素b而是f平移。,公式可以使b代替f寫成平移的形式。然而，如果 比 ?。ㄟ@是實際中常見的），公式(949)所給出的形式就可在索引項中加以簡化，并可以獲得同樣的結果。就概念而言，在f上滑動b和在b上滑動f是沒有區(qū)別的。,膨脹是可以代換的，因而f和b相互代換的方法運用于定義式可以用來計算 ，結果都是一樣的，而且b是平移函數(shù)。相反，腐蝕是不可交換的，因而，這種函數(shù)也是不可互換的。,919 灰度膨脹圖例,由于膨脹操作是由結構元素形狀定義的鄰域中選擇f+b的最大值，因而通常對灰度圖像的膨脹處理方法可得到兩種結果：（1）如果所有的結構元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像亮；（2）黑色細節(jié)減少或去除取決于在膨脹操作中結構元素相關的值和形狀。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運算,9.4.4 灰度形態(tài)學的應用,灰度圖像的腐蝕定義為 ，其運算公式為：,和 分別是 f 和 b 的定義域。平移參數(shù) (s+x) 和 (t+y) 必須包含在f定義域內，,與二元腐蝕的定義類似，所有的結構元素將完全包含在與被腐蝕的集合內。公式的形式與二維相關公式相似，只是用“最小”取代求和，用減法代替乘積。,如果只有一個變量時，我們可以用一維的腐蝕來說明公式(951)的原理。此時，表達式可簡化為:,在相關情況下，s為正時，函數(shù)f(s+x)將向右平移，s為負時，函數(shù)f(s+x)將移向左邊，同 時，要求 ， 意味著b將包含在f的范圍內。這一點同二值圖像腐蝕定義的情況相似，所有結構元素將完全包含在被腐蝕的集合內。,不同于二值圖像腐蝕定義，操作中是f在平移,而不是結構元素b在平移。定義中可以把b寫成平移函數(shù)，由于f在b上滑動等同于b在f上滑動。下圖展示了通過某結構元素腐蝕函數(shù)的結果。,腐蝕是在結構元素定義的領域內選擇(f-b)的最小值，因而，通常對灰度圖像的膨脹處理可得到兩種結果： （1）如果所有的結構元素都為正，則輸出圖像將趨向比輸入圖像暗；,（2）在比結構元素還小的區(qū)域中的明亮細節(jié)經腐蝕處理后其效果將減弱。減弱的程度取決于環(huán)繞亮度區(qū)域的灰度值以及結構元素自身的形狀和幅值。,與求補、映射相關的膨脹、腐蝕是有互補性的，即：,（953）,其中:,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運算,9.4.4 灰度形態(tài)學的應用,灰度圖像開運算和閉運算的表達式與二值圖像相同的形式。 結構元素b對圖像f作開運算處理，可定義為 ，即：,(954),如果是二值圖像的情況，開運算b對f先后進行簡單的腐蝕操作和膨脹操作。 灰度圖，b對f的閉運算，定義為 ，即：,(955),灰度圖像開運算和關運算對于求補和映射也是對偶的，即：,（956）,由于,，式 (956) 也可以寫為,圖像的開和閉運算有一個簡單的幾何解釋。,假設看到一個三維的圖像函數(shù) f(x,y)（象一個地貌地圖），x 和 y 是空間坐標軸，第三坐標軸是亮度坐標軸（即f 的值）。在重現(xiàn)中圖像作為一個平面顯示，其中的任意點(x,y)是 f 在該點坐標值。,假設用球形結構元素 b 對 f 作開運算，可將b 看作“滾動的球”。b對f 的開運算處理可解釋為讓“滾動球”沿 f 的下沿滾動，經“滾動”處理所有比“小球”直徑小的峰都磨平了。,通過圖示解釋這一概念。圖921(a) 為解釋簡單，把灰度圖像簡化為連續(xù)函數(shù)剖面線。921(b)顯示了“滾動球”在不同的位置上滾動，921(c)顯示了沿函數(shù)剖面線結構元素 b 對 f 開運算處理的結果。所有小于球體直徑的波峰值、尖銳度都減小了。,在實際運用中，開運算處理常用于去除較小的亮點（相對結構元素而言），同時保留所有的灰度和較大的亮區(qū)特征不變。腐蝕操作去除較小的亮的細節(jié)，同時使圖像變暗。如果再施以膨脹處理將增加圖像的亮度而不再引入已去除的部分。,圖 921 開和閉運算的圖例,圖921(d)顯示了結構元素b對f的閉操作處理。小球（結構元素）在函數(shù)剖面上沿滾動，圖921(e)給出了處理結果，只要波峰的最窄部分超過小球的直徑則波峰保留原來的形狀。,在實際運用中，閉運算處理常用于去除圖像中較小的暗點（較結構元素而言），同時保留原來較大的亮度特征。最初的膨脹運算去除較小暗細節(jié)，同時也使圖像增亮。隨后的腐蝕運算將圖像調暗而不重新引入已去除的部分。,開運算處理滿足以下的性質： （i） ； (ii) 如果 ,則 ； (iii) 。 表達式 表示 是 的子集，而且在 的定義域內對于任意 都有 。,類似的，閉運算處理滿足以下的性質： （i） ； (ii)如果 ,則 ； (iii) 。,這些表達式的使用類似于對應的二值表達式。正如在二值情況下，對開運算處理和閉運算處理性質(ii)和性質(iii)被分別稱作單調增加和等冪。,9.4.1 膨脹,9.4.2 腐蝕,9.4.3 開和閉運算,9.4.4 灰度形態(tài)學的應用,根據(jù)前邊討論的灰度形態(tài)學的基本運算，下邊介紹一些簡單的形態(tài)學實用處理算法，這些處理都是針對灰度圖像進行的。,(1)形態(tài)學圖像平滑 一種獲得平滑的方法是將圖像先進行閉運算處理然后再進行開運算處理，處理結果將去除或消減亮斑和暗斑。,圖 924 形態(tài)學處理效果,（d）原圖二 值圖像,（e）二值邊 緣提取處理結果,（f）原圖像,（g）平滑處理結果,圖 924 形態(tài)學處理效果,（a）原圖,（b）梯度處理 結果,（c）邊緣提取 結果,（3）Top-hat變換. 所謂的圖像形態(tài) 變換用 來表示