2018版高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語疑難規(guī)律方法學(xué)案新人教B版.doc

第一章 常用邏輯用語1怎樣解邏輯用語問題1利用集合理清關(guān)系充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個重要概念，并且是理解上的一個難點要解決這個難點，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，看得見、想得通，才是最好的方法本節(jié)使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實踐證明效果較好集合模型解釋如下：(1)A是B的充分條件，即AB.(2)A是B的必要條件，即BA.(3)A是B的充要條件，即AB.(4)A是B的既不充分也不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1設(shè)集合S0，a，TxZ|x22，則“a1”是“ST”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析TxZ|x20)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價于“p是綈q的充分不必要條件”設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點集A表示平面區(qū)域，點集RB表示到原點距離大于r的點的集合，也即是圓x2y2r2外的點的集合ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點到原點的最近距離大于r，直線3x4y120上的點到原點的最近距離大于等于r，原點O到直線3x4y120的距離d，r的取值范圍為(0，點評若直接解的話，q是綈p的充分不必要條件即為x2y2r2 (r0)在p：所對應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.2辨析命題的否定與否命題否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個相似知識點，但又有著本質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個方面來看一下它們的區(qū)別1否命題與命題的否定的概念設(shè)命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定所以從概念上看“否命題”是對原命題的條件和結(jié)論同時否定后得到的新命題，而且否定的條件仍為條件，否定的結(jié)論仍為結(jié)論“命題的否定”是對原命題結(jié)論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結(jié)論相反例1寫出下列命題的否命題及否定：(1)若|x|y|0，則x，y全為0；(2)函數(shù)yxb的值隨x的增加而增加分析問題(1)直接依據(jù)格式寫出相應(yīng)的命題；問題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應(yīng)的命題解(1)原命題的條件為“|x|y|0”，結(jié)論為“x，y全為0”寫原命題的否命題需同時否定條件和結(jié)論，所以原命題的否命題為“若|x|y|0，則x，y不全為0”寫原命題的否定只需否定結(jié)論，所以原命題的否定為“若|x|y|0，則x，y不全為0”(2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)yxb的值也隨之增加”否命題為“若x不增加，則函數(shù)yxb的值也不增加”；命題的否定為“若x增加，則函數(shù)yxb的值不增加”點評如果所給命題是“若A，則B”的形式，則可以依據(jù)否命題和命題的否定的定義，直接寫出相應(yīng)的命題如果不是“若A，則B”的形式，則需要先將其改寫成“若A，則B”的形式，便于寫出命題的否定形式及其否命題2否命題與命題的否定的真假從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假沒有必然的關(guān)系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真這也可以作為檢驗寫出的命題是否正確的標(biāo)準(zhǔn)例2寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x24，則2x0且n0，則mn0.分析依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個判斷其真假解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”命題的否定：“若x20且n0，則mn0”由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假.3判斷條件四策略1應(yīng)用定義如果pq，那么稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件判斷時的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論例1設(shè)集合Mx|x2，Px|x0)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是_解析設(shè)p，q分別對應(yīng)集合P，Q，則Px|2x10，Qx|1mx1m，由題意知，pq，但qp，故PQ，所以或解得m9.即m的取值范圍是9，)答案9，)4等價轉(zhuǎn)化由于互為逆否命題的兩個命題同真同假，所以當(dāng)由pq較困難時，可利用等價轉(zhuǎn)化，先判斷由綈q綈p，從而得到pq.例4已知p：xy2，q：x，y不都是1，則p是q的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析因為p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因為綈p綈q，但綈q綈p，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件答案充分不必要4例析邏輯用語中的常見誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運算式都不是命題例1判斷下列語句是不是命題，若是命題，判斷其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)A(AB)錯解(1)(2)(3)(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不確定，所以x2的值也不確定，故無法判斷x20是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x220成立，故(2)為真命題(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABA(AB)B.由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集，故A(AB)成立，故(4)為真命題正解(2)(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2b2，則ab.錯解(1)因為原命題為真命題，故其否命題是假命題；(2)因為原命題為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假沒有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來判斷，應(yīng)先寫出原命題的否命題，再判斷正解(1)否命題為：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題為：若a2b2，則ab，是假命題誤區(qū)3搞不清誰是誰的條件例3使不等式x30成立的一個充分不必要條件是()Ax3 Bx4 Cx2 Dx1，2，3錯解由不等式x30成立，得x3，顯然x3x2，又x2x3，因此選C.剖析若p的一個充分不必要條件是q，則qp，pq.本題要求使不等式x30成立的一個充分不必要條件，又x4x30，而x30x4，所以使不等式x30成立的一個充分不必要條件為x4.正解B誤區(qū)4考慮問題不周例4如果a，b，cR，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實根”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件錯解判別式b24ac0，即方程ax2bxc0有兩個不等實根；若方程ax2bxc0有兩個不等實根，則判別式b24ac0，即b24ac.綜上可知“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實根”的充要條件，選C.剖析判別式b24ac只適用于一元二次方程的實數(shù)根存在情況的判斷對于方程ax2bxc0，當(dāng)a0時，原方程為一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判別式，所以當(dāng)b24ac時不能推出方程ax2bxc0有兩個不等實根；若方程ax2bxc0有兩個不等實根，則它的判別式b24ac0，即b24ac.由上可知，“b24ac”是“方程ax2bxc0有兩個不等實根”的必要不充分條件正解B誤區(qū)5用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例5(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫出“pq”(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個角相等的四邊形是正方形，試寫出“pq”錯解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四條邊相等且四個角相等的四邊形是正方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“pq”，“pq”也都應(yīng)是假命題而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題錯誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個命題的條件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四條邊相等的四邊形是正方形且四個角相等的四邊形是正方形誤區(qū)6不能正確否定結(jié)論例6p：方程x25x60有兩個相等的實數(shù)根，試寫出“綈p”錯解綈p：方程x25x60有兩個不相等的實數(shù)根剖析命題p的結(jié)論為“有兩個相等的實數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60沒有兩個相等的實數(shù)根誤區(qū)7對含有一個量詞的命題否定不完全例7已知命題p：存在一個實數(shù)x，使得x2x20，寫出綈p.錯解一綈p：存在一個實數(shù)x，使得x2x20.錯解二綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2x20.剖析該命題是存在性命題，其否定是全稱命題，但錯解一中得到的綈p仍是存在性命題，顯然只對結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒有對存在量詞進(jìn)行否定；錯解二中只對存在量詞進(jìn)行了否定，而沒有對結(jié)論進(jìn)行否定正解綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2x20.誤區(qū)8忽略了隱含的量詞例8寫出下列命題的否定：(1)不相交的兩條直線是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱錯解(1)不相交的兩條直線不是平行直線；(2)奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱剖析以上錯誤解答在于沒有看出這兩個命題都是全稱命題對于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題，要特別引起注意正解(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線；(2)存在一個奇函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱.5解“邏輯”問題的三意識1轉(zhuǎn)化意識由于互為逆否的兩個命題同真假，因此，當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題來判斷或證明例1證明：若a2b22a4b30，則ab1.分析本題直接證明原命題是真命題，顯然不太容易，可考慮轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題是真命題證明命題“若a2b22a4b30，則ab1”的逆否命題是“若ab1，則a2b22a4b30”由ab1得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命題的逆否命題是真命題，原命題也是真命題故若a2b22a4b30，則ab1.例2命題p：實數(shù)x滿足x24ax3a20，其中a0，且q是p的必要不充分條件，求a的取值范圍分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運算問題解設(shè)Ax|x24ax3a20(a0)x|3ax0x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2x|x4或x2因為q是p的必要不充分條件，所以pq，qp，由AB得或即a4或a1a2，即q真a2.由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假若p真q假，則無解；若p假q真，則1a2.故滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是(1，2)答案(1，2)點評若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時，可以先等價轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個命題為真時參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍3反例意識在“邏輯”中，經(jīng)常要