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文檔簡介
2.4.2拋物線的簡單幾何性質學習目標1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質.2.會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題.知識點一拋物線的范圍思考觀察下列圖形,思考以下問題:(1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形,分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別?(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p0)如何確定橫坐標x的范圍?答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較,有明顯的不同,橢圓是封閉曲線,有四個頂點,有兩個焦點,有中心;雙曲線雖然不是封閉曲線,但是有兩支,有兩個頂點,兩個焦點,有中心;拋物線只有一條曲線,一個頂點,一個焦點,無中心.(2)由拋物線y22px(p0)有所以x0.所以拋物線x的范圍為x0.拋物線在y軸的右側,當x的值增大時,y也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.梳理拋物線y22px(p0)中,x0,),y(,).拋物線y22px(p0)中,x(,0,y(,).拋物線x22py(p0)中,x(,),y0,).拋物線x22py(p0)中,x(,),y(,0.知識點二四種形式的拋物線的幾何性質標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)圖形范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)準線方程xxyy頂點坐標O(0,0)離心率e1通徑長2p知識點三直線與拋物線的位置關系直線ykxb與拋物線y22px(p0)的交點個數(shù)決定于關于x的方程組解的個數(shù),即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù). 當k0時,若0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點;若0時,直線與拋物線有一個公共點;若0).拋物線的焦點到頂點的距離為3,即3,p6.拋物線的標準方程為y212x或y212x,其準線方程分別為x3或x3.引申探究將本例改為“若拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標原點,若OAB的面積等于4”,求此拋物線的標準方程.解由題意,設拋物線方程為y22mx(m0),焦點F(,0),直線l:x,所以A,B兩點坐標為(,m),(,m),所以|AB|2|m|.因為OAB的面積為4,所以|2|m|4,所以m2.所以拋物線的標準方程為y24x.反思與感悟用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟跟蹤訓練1已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2y24相交于A,B兩點,|AB|2,求拋物線方程.解由已知,拋物線的焦點可能在x軸正半軸上,也可能在負半軸上.故可設拋物線方程為y2ax(a0).設拋物線與圓x2y24的交點A(x1,y1),B(x2,y2).拋物線y2ax(a0)與圓x2y24都關于x軸對稱,點A與B關于x軸對稱,|y1|y2|且|y1|y2|2,|y1|y2|,代入圓x2y24,得x234,x1,A(1,)或A(1,),代入拋物線方程,得()2a,a3.所求拋物線方程是y23x或y23x.類型二拋物線的焦半徑和焦點弦問題例2(1)過拋物線y28x的焦點,傾斜角為45的直線被拋物線截得的弦長為_.(2) 直線l過拋物線y24x的焦點,與拋物線交于A,B兩點,若|AB|8,則直線l的方程為_.(3)過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|7,則AB的中點M到拋物線準線的距離為_.答案(1)16(2)xy10或xy10(3)解析(1)由拋物線y28x的焦點為(2,0),得直線的方程為yx2,代入y28x得(x2)28x即x212x40.所以x1x212,弦長為x1x2p12416.(2)拋物線y24x的焦點坐標為(1,0),若l與x軸垂直,則|AB|4,不符合題意,可設所求直線l的方程為yk(x1).由得k2x2(2k24)xk20,則由根與系數(shù)的關系,得x1x2.又AB過焦點,由拋物線的定義可知|AB|x1x2p28,6,解得k1.所求直線l的方程為xy10或xy10.(3)拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p,即x1x227,得x1x25,于是弦AB的中點M的橫坐標為,又準線方程為x1,因此點M到拋物線準線的距離為 1.反思與感悟(1)拋物線上任一點P(x0,y0)與焦點F的連線得到的線段叫做拋物線的焦半徑,對于四種形式的拋物線來說其焦半徑的長分別為:拋物線y22px(p0),|PF|x0|x0;拋物線y22px(p0),|PF|x0|x0;拋物線x22py(p0),|PF|y0|y0;拋物線x22py(p0),|PF|y0|y0.(2)已知AB是過拋物線y22px(p0)的焦點的弦,F(xiàn)為拋物線的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2),則:y1y2p2,x1x2;|AB|x1x2p(為直線AB的傾斜角);SABO(為直線AB的傾斜角);以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.(3)當直線經(jīng)過拋物線的焦點,且與拋物線的對稱軸垂直時,直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑,顯然通徑長等于2p.跟蹤訓練2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點F,且與拋物線相交于A,B兩點.(1)若直線l的傾斜角為60,求|AB|的值;(2)若|AB|9,求線段AB的中點M到準線的距離.解(1)因為直線l的傾斜角為60,所以其斜率ktan 60.又F,所以直線l的方程為y. 聯(lián)立消去y得x25x0.若設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x25,而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p,所以|AB|538.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x23,所以x1x26.于是線段AB的中點M的橫坐標是3,又準線方程是x,所以M到準線的距離等于3.類型三拋物線綜合問題命題角度1與拋物線有關的最值問題例3拋物線y24x的焦點為F,點P(x,y)為該拋物線上的動點,若點A(1,0),求的最小值.解拋物線y24x的準線方程為x1,如圖,過點P作PN垂直x1于點N,由拋物線的定義可知|PF|PN|,連接PA,在RtPAN中,sinPAN,當最小時,sinPAN最小,即PAN最小,即PAF最大,此時,PA為拋物線的切線,設PA的方程為yk(x1),聯(lián)立得k2x2(2k24)xk20,所以(2k24)24k40,解得k1,所以PAFNPA45,cosNPA.反思與感悟(1)若曲線和直線相離,在曲線上求一點到直線的距離最小問題,可找到與已知直線平行的直線,使其與曲線相切,則切點為所要求的點.(2)以上問題一般轉化為“兩點之間線段最短”或“點到直線的垂線段最短”來解決.跟蹤訓練3已知直線l1:4x3y60和直線l2:x1,拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.答案A解析由題意知,直線l2:x1為拋物線y24x的準線.由拋物線的定義知,點P到直線l2的距離等于點P到拋物線的焦點F(1,0)的距離.故所求最值可轉化為在拋物線y24x上找一個點P,使得點P到點F(1,0)和到直線l1的距離之和最小,最小值為F(1,0)到直線 l1:4x3y60的距離,即d2.命題角度2定值或定點問題例4拋物線y22px(p0)上有兩動點A,B及一個定點M,F(xiàn)為拋物線的焦點,若|AF|,|MF|,|BF|成等差數(shù)列.(1)求證:線段AB的垂直平分線過定點Q.(2)若|MF|4,|OQ|6(O為坐標原點),求拋物線的方程.(1)證明設點A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則|AF|x1,|BF|x2,|MF|x0,x0為已知值.由題意得x0,線段AB的中點坐標可設為(x0,t),其中t0(否則|AF|MF|BF|p0).而kAB,故線段AB的垂直平分線的方程為yt(xx0),即t(xx0p)yp0,可知線段AB的垂直平分線過定點Q(x0p,0).(2)解由(1)知|MF|4,|OQ|6,得x04,x0p6,聯(lián)立解得p4,x02.拋物線方程為y28x.反思與感悟在拋物線的綜合性問題中,存在著許多定值問題,我們不需要記憶關于這些定值的結論,但必須牢牢掌握研究這些定值問題的基本方法,如設直線的點斜式方程、根與系數(shù)關系的利用、焦半徑的轉化等.跟蹤訓練4在平面直角坐標系xOy中,直線l與拋物線y24x相交于不同的A,B兩點,4,求證:直線l必過一定點.證明設l:xtyb,代入拋物線y24x,消去x得y24ty4b0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24t,y1y24b.又x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b,又4,b24b4,解得b2,故直線過定點(2,0).1.已知點A(2,3)在拋物線C:y22px的準線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為()A. B.1 C. D.答案C解析因為拋物線C:y22px的準線為x,且點A(2,3)在準線上,故2,解得p4,所以y28x,所以焦點F的坐標為(2,0),這時直線AF的斜率kAF.2.已知點P是拋物線y22x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A. B.3 C. D.答案A解析拋物線y22x的焦點為F(,0),準線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線準線的距離之和的最小值,可以轉化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,結合圖形(圖略)不難得出相應的最小值等于焦點F到點(0,2)的距離,因此所求距離之和的最小值為.3.過拋物線y24x的焦點作直線l交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標為3,則|AB|_.答案8解析易知拋物線的準線方程為x1,則線段AB的中點到準線的距離為3(1)4.由拋物線的定義易得|AB|8.4.已知過拋物線y22px(p0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的長為8,則p_.答案2解析設點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),易知過拋物線y22px(p0)的焦點F,且傾斜角為45的直線的方程為yx,把xy代入y22px,得y22pyp20,y1y22p,y1y2p2.|AB|8,|y1y2|4,(y1y2)24y1y2(4)2,即(2p)24(p2)32.又p0,p2.5.已知拋物線C:y28x的焦點為F,準線與x軸的交點為K,點A在拋物線C上,且|AK|AF|,則AFK的面積為_.答案8解析易知F(2,0),K(2,0),過點A作AM垂直準線于點M,則|AM|AF|,|AK|AM|,AMK為等腰直角三角形.設A(m2,2m)(m0),則AFK的面積S42m4m.又由|AK|AM|,得(m22)28m22(m22)2,解得m,AFK的面積S4m8. 1.拋物線的中點弦問題用點差法較簡便.2.軸對稱問題,一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上,二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關系.3.在直線和拋物線的綜合問題中,經(jīng)常遇到求定值、過定點問題.解決這類問題的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等.解決這些問題的關鍵是代換和轉化.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.已知拋物線y22px(p0)的準線與曲線x2y24x50相切,則p的值為()A.2 B.1 C. D.答案A解析曲線的標準方程為(x2)2y29,其表示圓心為(2,0),半徑為3的圓,又拋物線的準線方程為x,由拋物線的準線與圓相切得23,解得p2.2.拋物線C:y22px(p0)的焦點為F,M是拋物線C上的點,若OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,且該圓的面積為36,則p的值為()A.2 B.4 C.6 D.8答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準線相切,OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑.圓的面積為36,圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上,|OF|,6,p8.3.拋物線yx2上的點到直線4x3y80的距離的最小值是()A. B. C. D.3答案A解析設拋物線yx2上一點為(m,m2),該點到直線4x3y80的距離為,當m時,取得最小值為.4.已知拋物線y22px(p0)的焦點為F,其上的三個點A,B,C的橫坐標之比為345,則以|FA|,|FB|,|FC|為邊長的三角形()A.不存在 B.必是銳角三角形C.必是鈍角三角形 D.必是直角三角形答案B解析設A,B,C三點的橫坐標分別為x1,x2,x3,x13k,x24k,x35k(k0),由拋物線定義得|FA|3k,|FB|4k,|FC|5k,易知三者能構成三角形,|FC|所對角為最大角,由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù),故該三角形必是銳角三角形.5.等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0),O為拋物線的頂點,OAOB,則AOB的面積是()A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸,內(nèi)接AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對稱性知,直線AB與拋物線的對稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A,B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p,2p).所以|AB|4p,所以SAOB4p2p4p2.6.已知點(x,y)在拋物線y24x上,則zx2y23的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.0答案B解析因為點(x,y)在拋物線y24x上,所以x0,因為zx2y23x22x3(x1)22,所以當x0時,z最小,其值為3.二、填空題7.當x1時,直線yaxa恒在拋物線yx2的下方,則a的取值范圍是_.答案(,4)解析由題可知,聯(lián)立整理可得x2axa0,當a24a0時,解得a0或a4,此時直線與拋物線相切.因為直線恒過定點(1,0),所以結合圖形(圖略)可知a(,4).8.已知拋物線y28x,過動點M(a,0),且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點A,B,若|AB|8,則實數(shù)a的取值范圍是_.答案(2,1解析將l的方程yxa代入y28x,得x22(a4)xa20,則4(a4)24a20,a2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x22(a4),x1x2a2,|AB|8,即1.又|AB|0,20)的焦點且與拋物線相交,其中一交點為(2p,2p),則其焦點弦的長度為_.答案解析由題意知直線l過(,0)和(2p,2p),所以l:y(x).聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關系,得x1x2,所以焦點弦的長度為x1x2p.10.已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,直線yx與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為_.答案y24x解析設拋物線方程為y2kx,與yx聯(lián)立方程組,消去y,得x2kx0.設A(x1,y1),B(x2,y2), x1x2k.又P(2,2)為AB的中點,2.k4.y24x.三、解答題11.已知頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長為,求此拋物線的方程.解設拋物線方程為x2ay(a0),由方程組消去y,得2x2axa0.直線與拋物線有兩個交點,(a)242a0,即a8.設兩交點分別為A(x1,y1)
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