復(fù)雜約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的理論研究

蘭州交通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）復(fù)雜約束動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的理論研究摘 要在機(jī)械實(shí)際中，對(duì)于復(fù)雜約束系統(tǒng)和沖擊振動(dòng)系統(tǒng)，如何進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)、降低噪聲等問題的研究，既具有理論價(jià)值又有著重大的現(xiàn)實(shí)意義。在生產(chǎn)、制造和裝配的過程中，成套制造設(shè)備存在誤差，從而導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備具有間隙，并且在其調(diào)試運(yùn)行過程中，由于碰撞摩擦也會(huì)產(chǎn)生間隙。另外，一些機(jī)械設(shè)備在設(shè)計(jì)過程中會(huì)預(yù)留有間隙，而在嚙合齒輪、滾動(dòng)軸承等系統(tǒng)的有關(guān)零部件中也必然會(huì)存在間隙。因此，含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)廣泛存在于工程實(shí)踐中，對(duì)它的研究具有重要的工程指導(dǎo)意義。因此，近年來含間隙系統(tǒng)的研究已引起國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。本文針對(duì)此類碰撞系統(tǒng)的二自由度、三自由度間隙碰撞的情況做了具體的研究。運(yùn)用正則模態(tài)矩陣法將耦合的系統(tǒng)進(jìn)行解耦，通過分析系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的邊界條件，推導(dǎo)出系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的解析解；再利用受擾運(yùn)動(dòng)的邊界條件推導(dǎo)出了各個(gè)系統(tǒng)的Poincar映射，并通過編程進(jìn)行數(shù)值仿真，分析了系統(tǒng)發(fā)生分岔與混沌的非線性行為。對(duì)該系統(tǒng)分岔與混沌行為的研究，為工程實(shí)際中含間隙機(jī)械系統(tǒng)和沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：碰撞振動(dòng)；周期運(yùn)動(dòng)；分岔；混沌Theoretical Study of The Complexity of Constrained Dynamical SystemsAbstractIn the mechanical production, for the complicated system with restriction and vibro-impact system, many problems like making dynamic optimization design and reducing noise, both has theory value and great practical significance. Complete manufacturing equipments have some errors in production，manufacture and assembly process, leading to clearance in mechanical equipment. In addition, some mechanical equipments will obligate clearance in the design process, while there must be clearance in meshed gears, roller bearing and some other pieces of mechanical system. Therefore, the vibration system collision with clearance is widely used in engineering practice, the study of the system is of great significance in engineering. Therefore, research on system with clearance has caused widespread attention over scholars both at home and abroad in recent years. This article analyzes the condition of the system under two degrees of freedom and three degrees of freedom, and makes specific research.Using a method called canonical modal matrix to decouple the coupled system, via analyzing the boundary condition under periodic motion of the system, the analytical solution of the periodic motion system is deduced; Making use of the boundary conditions of disturbance movement to deduce the Poincar mapping of each system, through numerical simulation and programming, the bifurcation and chaos of nonlinear movement occurring in system is analyzed. The investigation of bifurcation and chaos behavior research provides theoretical basis for the optimization design of the mechanical system with clearance and impact of the vibration system in engineering practice.Key words: Vibro-impact; Periodic motion; Bifurcation; Chaos目 錄摘 要IAbstractII第一章 緒 論11.1 選題背景及發(fā)展概況11.2 混沌學(xué)的起源和發(fā)展11.3 復(fù)雜約束系統(tǒng)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究3第二章 算法介紹42.1 概述42.2 高維映射Hopf分岔分析的中心流形范式方法42.3高階常微分方程的初值問題52.4 龐克萊(Poincar)映射理論62.5本章小結(jié)7第三章 兩個(gè)單自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)83.1 物理模型83.2 數(shù)學(xué)模型83.3 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincar映射和n-1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性123.4 概周期碰撞運(yùn)動(dòng)和混沌形成過程153.5 本章小結(jié)20第四章 三自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)214.1三自由度相對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型及周期運(yùn)動(dòng)模型214.1.1推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程224.1.2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)234.1.3碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincar映射和周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性384.2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Hopf分岔、周期倍化分岔及混沌554.3 本章小結(jié)62結(jié) 論63致 謝64參考文獻(xiàn)6567第一章 緒 論1.1 選題背景及發(fā)展概況在工程應(yīng)用中，有些含間隙沖擊機(jī)械是利用碰撞振動(dòng)達(dá)到預(yù)期工作目的的，如振動(dòng)壓路機(jī)、振動(dòng)夯土機(jī)、沖擊震動(dòng)落砂機(jī)和澆灌混凝土?xí)r的振動(dòng)搗實(shí)等；有些裝置由于考慮到保證潤(rùn)滑油膜、裝配誤差或熱脹的需要，實(shí)際機(jī)構(gòu)往往需要有意預(yù)留微量的間隙；有些裝置由于使用過程中產(chǎn)生的磨損以及加工、制造和安裝時(shí)出現(xiàn)的誤差，不可避免地導(dǎo)致了間隙的出現(xiàn)；另外，像齒輪、連桿、凸輪、軸承等系統(tǒng)的有關(guān)零部件中，間隙也是不可避免的。由于間隙的存在，接觸狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致構(gòu)件之間出現(xiàn)接觸、脫離、再接觸、再脫離的重復(fù)沖擊，對(duì)動(dòng)載荷和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生不良影響，有時(shí)后果還非常嚴(yán)重。因此，對(duì)于含間隙機(jī)械系統(tǒng)和沖擊振動(dòng)系統(tǒng)1而言，如何趨利避害、進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高可靠性以及降低噪聲等問題的研究，既具有理論價(jià)值又有著重大的現(xiàn)實(shí)意義。碰撞振動(dòng)是我們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常見到的一種現(xiàn)象，其研究涉及工程機(jī)械、工程力學(xué)、應(yīng)用物理、應(yīng)用數(shù)學(xué)等多個(gè)專業(yè)領(lǐng)域。在工程實(shí)際中，一方面，為了某種生產(chǎn)的目的，可以利用碰撞振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原理設(shè)計(jì)制造多種沖擊機(jī)械，例如，振動(dòng)落砂機(jī)2、沖擊鉆進(jìn)機(jī)械3、振動(dòng)篩、振動(dòng)錘、打樁機(jī)、微振造型機(jī)及打印機(jī)機(jī)頭等。由于碰撞等不連續(xù)因素，碰撞振動(dòng)研究在理論上提出了一系列新問題形成了非線性動(dòng)力學(xué)的一個(gè)新的研究方向近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者開始用現(xiàn)代動(dòng)力系統(tǒng)觀點(diǎn)研究碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究重點(diǎn)也由局部分析轉(zhuǎn)向全局問題，研究?jī)?nèi)容廣泛地集中于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)和含間隙系統(tǒng)的全局分叉及奇異性問題，含間隙、摩擦、遲滯等分段光滑力學(xué)因素的機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題4-6與混沌控制問題7也受到普遍關(guān)注。隨著理論研究的日益深入， 含間隙機(jī)械系統(tǒng)及沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的應(yīng)用研究也正在迅速開展。但是，這些研究工作基本上是對(duì)單自由度或兩自由度系統(tǒng)所作的理論分析與數(shù)值仿真8-10，國內(nèi)外對(duì)多自由度高維復(fù)雜系統(tǒng)的研究還很少。由于自由度的增加，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜分岔與奇異性問題，這給理論分析與數(shù)值仿真帶來很大的困難。1.2 混沌學(xué)的起源和發(fā)展1972年12月29日，美國麻省理工學(xué)院教授、混沌學(xué)開創(chuàng)人之一E.N.洛倫茲在美國科學(xué)發(fā)展學(xué)會(huì)第139次會(huì)議上發(fā)表的論文11，提出一個(gè)貌似荒謬的論斷：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美國得克薩斯州產(chǎn)生一個(gè)龍卷風(fēng)，并由此提出了天氣的不可準(zhǔn)確預(yù)報(bào)性。時(shí)至今日，這一論斷仍為人津津樂道，更重要的是，它激發(fā)了人們對(duì)混沌學(xué)的濃厚興趣。今天，伴隨計(jì)算機(jī)等技術(shù)的飛速進(jìn)步混沌學(xué)已發(fā)展成為一門影響深遠(yuǎn)、發(fā)展迅速的前沿科學(xué)。一般地，如果一個(gè)接近實(shí)際而沒有內(nèi)在隨機(jī)性的模型仍然具有貌似隨機(jī)的行為，就可以稱這個(gè)真實(shí)物理系統(tǒng)是混沌的。一個(gè)隨時(shí)間確定性變化或具有微弱隨機(jī)性的變化系統(tǒng)，稱為動(dòng)力系統(tǒng)；它的狀態(tài)可由一個(gè)或幾個(gè)變量數(shù)值確定。而一些動(dòng)力系統(tǒng)中，兩個(gè)幾乎完全一致的狀態(tài)經(jīng)過充分長(zhǎng)時(shí)間后會(huì)變得毫無一致，恰如從長(zhǎng)序列中隨機(jī)選取的兩個(gè)狀態(tài)那樣，這種系統(tǒng)被稱為敏感地依賴于初始條件。而對(duì)初始條件的敏感的依賴性也可作為一個(gè)混沌的定義。與我們通常研究的線性科學(xué)不同，混沌學(xué)研究的是一種非線性科學(xué)，而非線性科學(xué)研究似乎總是把人們對(duì)“正?！笔挛铩罢！爆F(xiàn)象的認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)向?qū)Α胺闯！笔挛铩胺闯！爆F(xiàn)象的探索。例如，孤波不是周期性振蕩的規(guī)則傳播；“多媒體”技術(shù)對(duì)信息貯存、壓縮、傳播、轉(zhuǎn)換和控制過程中遇到大量的“非常規(guī)”現(xiàn)象產(chǎn)生所采用的“非常規(guī)”的新方法；混沌打破了確定性方程由初始條件嚴(yán)格確定系統(tǒng)未來運(yùn)動(dòng)的“常規(guī)”，出現(xiàn)所謂各種“奇異吸引子”現(xiàn)象等?；煦鐏碜杂诜蔷€性動(dòng)力系統(tǒng)12，而動(dòng)力系統(tǒng)又描述的是任意隨時(shí)間發(fā)展變化的過程，并且這樣的系統(tǒng)產(chǎn)生于生活的各個(gè)方面。最常見的氣象模型是巨型動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)例子：溫度、氣壓、風(fēng)向、速度以及降雨量都是這個(gè)系統(tǒng)中隨時(shí)間變化的變量。洛倫茲(E.N.Lorenz)教授于發(fā)表論文13，闡述了在氣候不能精確重演與長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)者無能為力之間必然存在著一種聯(lián)系，這就是非周期性與不可預(yù)見性之間的關(guān)系。洛倫茲在計(jì)算機(jī)上用他所建立的微分方程14模擬氣候變化的時(shí)候，偶然發(fā)現(xiàn)輸入的初始條件的極細(xì)微的差別，可以引起模擬結(jié)果的巨大變化。洛倫茲打了個(gè)比喻，即我們?cè)谖氖滋岬降年P(guān)于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇動(dòng)所引起的微小氣流，幾星期后可能變成席卷北半球美國得克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)，這就是天氣的“蝴蝶效應(yīng)”?；煦缦到y(tǒng)具有三個(gè)關(guān)鍵要素：一是對(duì)初始條件的敏感依賴性；二是臨界水平，這里是非線性事件的發(fā)生點(diǎn)；三是分形維，它表明有序和無序的統(tǒng)一?；煦缦到y(tǒng)經(jīng)常是自反饋系統(tǒng)，出來的東西會(huì)回去經(jīng)過變換再出來，循環(huán)往復(fù)，沒完沒了，任何初始值的微小差別都會(huì)按指數(shù)放大，因此導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)在地不可長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。這是由它的成立的目的解決復(fù)雜的，多因素替換成為引起變化的主導(dǎo)因素的系統(tǒng)而決定的。它的基本觀點(diǎn)是積累效應(yīng)和度，即事物總處在平衡狀態(tài)下的觀點(diǎn)。它是與哲學(xué)一樣，適用面最廣的科學(xué)?；煦绮皇桥既坏摹€(gè)別的事件，而是普遍存在于宇宙間各種各樣的宏觀及微觀系統(tǒng)的，萬事萬物，莫不混沌。混沌也不是獨(dú)立存在的科學(xué)，它與其它各門科學(xué)互相促進(jìn)、互相依靠，由此派生出許多交叉學(xué)科，如混沌氣象學(xué)、混沌經(jīng)濟(jì)學(xué)、混沌數(shù)學(xué)等?；煦鐚W(xué)不僅極具研究?jī)r(jià)值，而且有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值，能直接或間接創(chuàng)造財(cái)富。1.3 復(fù)雜約束系統(tǒng)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究含間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)一般均為多參數(shù)系統(tǒng)，參數(shù)的變化將會(huì)引起系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的本質(zhì)變化，其重要特征就是各種分岔以及混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)。由于碰撞的存在，系統(tǒng)具有明顯的不連續(xù)性和強(qiáng)非線性的特征，因而動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的變化也往往具有突變性。為達(dá)到預(yù)期的工作目的，并更好地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，迫切需要人們對(duì)實(shí)際工程領(lǐng)域中的帶有間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行更深入以及更全面的研究。碰撞過程是一個(gè)很復(fù)雜的過程，與物體接觸瞬時(shí)的相對(duì)速度、接觸面的形狀、接觸時(shí)間以及接觸部位的局部塑性變形等因素密切相關(guān)。人們一般采用以下三種模型來描述碰撞過程的作用機(jī)理。第一種是瞬時(shí)沖擊模型:假設(shè)碰撞或沖擊是一個(gè)瞬時(shí)過程，經(jīng)歷的時(shí)間為零，只考慮碰撞過程的能量損失，并通過使用恢復(fù)系數(shù)的概念，直接得到碰撞前后的速度之間的關(guān)系;第二種是分段線性模型:通過考慮碰撞過程接觸力的大小變化和接觸時(shí)間來描述碰撞的壓縮和恢復(fù)過程;第三種模型較好地考慮了碰撞過程的局部變形:用Hertz接觸理論來描述接觸力。第三種模型雖能較好地反映接觸力的變化情況，但由于其表達(dá)式為非線性的形式，因而給理論分析帶來了很大的困難?；谝陨显?，目前對(duì)碰撞振動(dòng)問題的研究大多數(shù)采用瞬時(shí)沖擊模型或分段線性模型15-17。人們對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的早期研究主要是以沖擊消振器為背景，所采用的模型是具有剛性約束的單自由度系統(tǒng)。文18-23對(duì)各種類型的單自由度雙面沖擊消振器的對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)、非對(duì)稱周期運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。以沖擊消振器為背景的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的確定和穩(wěn)定性方面的研究，代表了20世紀(jì)中期碰撞振動(dòng)領(lǐng)域的主要研究成果。已有的大部分研究工作考慮單自由度和兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)24-31，對(duì)多自由度的研究主要是定性分析和數(shù)值模擬。本文通過建立三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，根據(jù)周期運(yùn)動(dòng)的邊界條件，推導(dǎo)出n-1碰撞周期運(yùn)動(dòng)的Poincar映射，進(jìn)一步研究了n-1碰撞周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和分岔。最后通過數(shù)值模擬了三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔和周期倍化分岔，進(jìn)一步分析了周期運(yùn)動(dòng)向混沌的轉(zhuǎn)變過程。第二章 算法介紹2.1 概述對(duì)混沌的認(rèn)識(shí)使人們對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的長(zhǎng)期演化行為的研究，進(jìn)入到一個(gè)前所未知的世界，把經(jīng)典力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)推進(jìn)到一個(gè)新的階段，并大大地豐富了確定性、隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及其相互關(guān)系的研究?jī)?nèi)容。本世紀(jì)60年代以來，在計(jì)算機(jī)技術(shù)充分發(fā)展的推動(dòng)下，國外的混沌研究，以洛倫茲(Lorenz)吸引子、費(fèi)根鮑姆(Fei-genbaum)普適常數(shù)、KAM定理、阿諾德(Arnold)擴(kuò)散、斯梅爾(Smale)馬蹄理論為標(biāo)志，取得了重大的突破。任何一個(gè)事物的研究和發(fā)展都是建立在一定的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法之上的。對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在大多數(shù)情況下，不能求得給定微分方程組的精確解。因此，常借助近似方法來求解系統(tǒng)的性態(tài)。而后在穩(wěn)定性研究中利用已求得的解。由于根據(jù)的是近似方法，因此所得到的結(jié)論本身也是近似的，不見得真正反映系統(tǒng)的性態(tài)。近年來解析解法已成為研究混沌的重要手段。目前，單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔問題在理論上已經(jīng)取得較大進(jìn)展32，但多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔及概周期運(yùn)動(dòng)向混沌演化過程的機(jī)理研究開展尚少，研究方法及手段也主要是數(shù)值分析。Chatterjee數(shù)值模擬了沖擊消振器周期運(yùn)動(dòng)，揭示了沖擊消振器的及概周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)鎖頻和環(huán)面分岔向混沌演化過程。概周期運(yùn)動(dòng)可以通過半吸引環(huán)和“磕碰振動(dòng)”轉(zhuǎn)遷到混沌。映射的中心流形范式方法已成為研究高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)局部分岔問題的重要方法。對(duì)于一些機(jī)械工業(yè)部門常見的雙自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，如鑄造落砂機(jī)、沖擊消振器、雙質(zhì)體沖擊振動(dòng)成型床、振動(dòng)錘和共振篩等，能夠解析推倒出這些碰撞系統(tǒng)的單周期運(yùn)動(dòng)的Poincar映射，故可以利用高維映射的中心流形范式方法和平面含參數(shù)映射的Hopf分岔理論建立碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Hopf分岔研究的一般方法。2.2 高維映射Hopf分岔分析的中心流形范式方法范式理論是Poincar在其博士論文中提出來的。目的是用于分析常微分方程在平衡點(diǎn)或周期解附近的性態(tài)。其基本思想是通過取新的坐標(biāo)基，使方程得右端項(xiàng)在新的坐標(biāo)基下僅保留共振項(xiàng)，這些共振項(xiàng)確定了非線性系統(tǒng)的局部行為。現(xiàn)在范式理論已成為研究分岔問題的重要方法，因而在很長(zhǎng)一段時(shí)間里得到人們的重視。為此，發(fā)展了多種計(jì)算常微分方程范式的方法。將中心流形理論與范式方法結(jié)合，創(chuàng)立了中心流形范式方法，并用來研究常微分方程的定常解余維分岔和周期解的Hopf分岔。本文應(yīng)用中心流形理論與范式方法研究高維映映射方法在非共振和弱共振情況下的Hopf分岔問題，計(jì)算了高維映映射的中心流形，給出了映射的降維過程和二階簡(jiǎn)化方程。在此基礎(chǔ)上，可以應(yīng)用二維含參數(shù)映射的Hopf分岔理論分析高維映射的Hopf分岔問題。2.3高階常微分方程的初值問題解析法(analysis algorithm)33，是指用解析的方法找出表示問題的前提條件與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過表達(dá)式的計(jì)算來實(shí)現(xiàn)問題求解。高階常微分方程可以化為常微分方程組，假設(shè)初值問題(非邊值問題，是一階常微分方程組)的右函數(shù)為：即式中： 時(shí)間； 因變量的個(gè)數(shù)； 線性方程組中方程的的個(gè)數(shù)，不一定是偶數(shù)；但對(duì)力學(xué)系統(tǒng)，為偶數(shù)，自由度數(shù)=質(zhì)量塊數(shù)； 系統(tǒng)的狀態(tài)變量()； 狀態(tài)變量函數(shù)()。無阻尼體系自由振動(dòng)方程為；當(dāng)外荷載為簡(jiǎn)諧荷載時(shí)，無阻尼體系受迫振動(dòng)中，其穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的方程為。由此可以得出如下結(jié)論：在無阻尼自由振動(dòng)方程中， ， ，不僅位移，而且速度，加速度等物理量也是按正弦(或余弦)規(guī)律變化著。在無阻尼簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)過程中，穩(wěn)定振動(dòng)時(shí)的方程為：， ， ，不僅位移，而且速度，加速度等物理量也是按正弦(或余弦)規(guī)律變化著。在無阻尼體系自由振動(dòng)過程中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于時(shí)，其值分別為：， ， 在無阻尼體系簡(jiǎn)諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)過程中，其穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們?cè)谕粫r(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于時(shí)，其值分別為：， ， 既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)量都處于平衡狀態(tài)(即所謂的動(dòng)平衡狀態(tài))，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可在幅值處可建立運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，使計(jì)算得以簡(jiǎn)化。2.4 龐克萊(Poincar)映射理論對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)，可以用理論分析方法和數(shù)值方法來分析。由于理論分析方法Melnikov函數(shù)法難以刻畫出奇怪吸引子的各種層次的精細(xì)結(jié)構(gòu)，因此數(shù)值分析方法是目前分析非線性微分方程出現(xiàn)混沌的重要手段。用龐克萊映射，可以把運(yùn)動(dòng)由連續(xù)的軌線表示變成由系列的離散點(diǎn)表示，但在離散化過程中它并不改變系統(tǒng)原有的特性，同時(shí)經(jīng)過離散化后的系統(tǒng)比原系統(tǒng)低一維，所以它經(jīng)常應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)定性分析中，截面上的孤立點(diǎn)、閉曲線、分布在一定區(qū)域上的不可數(shù)點(diǎn)的集合分別表示系統(tǒng)有周期的、準(zhǔn)周期的和混沌的相軌跡。當(dāng)周期運(yùn)動(dòng)的周期很長(zhǎng)時(shí)，僅根據(jù)相平面圖難以區(qū)分周期振動(dòng)和混沌振動(dòng)。龐克萊映射能更好的刻畫混沌振動(dòng)的往復(fù)非周期特性。對(duì)于受外界激勵(lì)的非線性系統(tǒng)，將外界激勵(lì)周期記作。設(shè)為維實(shí)空間中非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的某個(gè)流上的一個(gè)閉軌，為一個(gè)維的超曲面，且對(duì)所有的皆成立，其中是在處的單位法向量(此時(shí)，稱與處處橫截)。設(shè)與有唯一的交點(diǎn)，為的某個(gè)鄰域，對(duì)上的某個(gè)點(diǎn)的Poincar映射定義為： (2.1)其中，是經(jīng)點(diǎn)的軌線首次回到所需的時(shí)間(一般而言，依賴于，但不一定等于閉軌的周期，但是當(dāng)時(shí)，將有)。稱為Poincar截面。2.5本章小結(jié)在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，解析法已成為研究混沌的重要手段，它尤其適用于對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解耦，然后解出微分方程組的精確解。利用解析法對(duì)一階常微分方程的系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到的結(jié)果是可靠的。利用Matlab軟件進(jìn)行模擬，形象而生動(dòng)的描述了非線性運(yùn)動(dòng)混沌演化的過程。正確利用算法和Matlab軟件編程，熟練掌握解題方法和技巧能夠?yàn)槲覀兘窈蟮墓ぷ骱蛯W(xué)習(xí)起到積極的作用。第三章 兩個(gè)單自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)3.1 物理模型圖3.1為兩個(gè)單自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型圖。質(zhì)量為和的兩個(gè)振子分別由剛度為和的線性彈簧及阻尼系數(shù)為和的線性阻尼器相聯(lián)接，振子在光滑的水平面上做水平方向的振動(dòng)，并分別受到簡(jiǎn)諧激振力，的作用。建立如圖所示的坐標(biāo)系，當(dāng)質(zhì)塊的位移與質(zhì)塊的位移之差等于間隙時(shí)，兩質(zhì)塊發(fā)生相互碰撞。碰撞后，兩質(zhì)塊分別又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再次碰撞，如此往復(fù)。圖3.1 兩個(gè)單自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型3.2 數(shù)學(xué)模型在振子沒有發(fā)生碰撞時(shí)()，對(duì)其進(jìn)行隔離法受力分析 (a) (b)圖3.2 受力分析圖由牛頓第二定律即，得 (3.1)無量綱變化后系統(tǒng)()的運(yùn)動(dòng)微分方程為： (3.2)在式(3.2)中，“”表示對(duì)無量綱時(shí)間求導(dǎo)數(shù)。無量綱量如下：，設(shè)碰撞后兩質(zhì)量塊的速度和，由動(dòng)量定理得 (3.3)由碰撞恢反射系數(shù)的定義(如)表示碰撞后有80%的能量保留，損耗20%的能量)，有 (3.4) 用表示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的正則模態(tài)矩陣。和表示在無碰撞情況下碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率。 將作為變換矩陣，進(jìn)行坐標(biāo)變換： (3.5) 方程可以解耦為： (3.6)這里，通過正則模態(tài)疊加法可以得到式(3.2)的通解。設(shè)式(3.2)的通解有如下形式： (3.7) (3.8)式中，；和為振幅常數(shù)。 (3.9) (3.10) 在適應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)條件下，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)能夠表現(xiàn)出周期性，即碰撞周期(無量綱化后的的時(shí)間間隔)為，()，則可知系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的邊界條件有：， (3.11)， (3.12) (3.13) (3.14)其中， 將式(3.11) (3.14)代入式(3.7)， (3.8)可以解出積分常數(shù)、以及相位角。為敘述方便可以令： ，首先給出 (3.15) (3.16) (3.17)如果時(shí)，則 (3.18) (3.19)則 (3.20)否則，當(dāng)時(shí)有得 (3.21)其中：， (3.22) (3.23) (3.24) (3.25)在式(3.21)中，周期函數(shù)滿足以下條件(根式要有意義，必須使；余弦的值域) (3.26)3.3 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincar映射和n-1周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為 (3.27) (3.28)設(shè)無量綱時(shí)間t為0，(質(zhì)塊與質(zhì)塊碰撞后瞬時(shí))，則下一次兩質(zhì)塊碰撞前瞬時(shí)，設(shè)無量綱時(shí)間t為，令，連續(xù)兩次碰撞邊界條表示為， (3.29) ， (3.30)， (3.31) ， (3.32) (3.33)將上式中的邊界條件代入到式(3.27)，(3.28)，可以解出： (3.34) (3.35) (3.36) (3.37)將邊界條件()代入式(3.27)，(3.28)得 (3.38) (3.39) (3.40) (3.41)，為的函數(shù) (3.42)定義函數(shù)： (3.43)由不動(dòng)點(diǎn)存在條件有 (3.44)假設(shè)： 根據(jù)隱函數(shù)定理，由(3.43)式得： (3.45)將(3.45)式代入式(4.44)可得Poincar映射： (3.46) Poincar映射在不動(dòng)點(diǎn)處19的線性化矩陣為： (3.47)用表示容易寫出矩陣中各元素(3.47)式的各項(xiàng)： (3.48)其中： 3.4 概周期碰撞運(yùn)動(dòng)和混沌形成過程在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中選取系統(tǒng)參數(shù)，和。將系統(tǒng)激勵(lì)頻率作為吸引周期運(yùn)動(dòng)的分岔參數(shù)，仿真在周期運(yùn)動(dòng)不動(dòng)點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)特征值發(fā)展趨勢(shì)。圖3.3是振動(dòng)系統(tǒng)的特征值圖。圖 3.3 特征值圖(a) (b) (c) (d) (e) (f) 圖3.4 Poincar映射投影圖(a) ，吸引不變環(huán)； (b) ，吸引不變環(huán)； (c) ，吸引子變行膨脹(環(huán))； (d) ，鎖相；(e) ，混沌； (f) ，混沌； 在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中選取系統(tǒng)參數(shù)，和。將系統(tǒng)激勵(lì)頻率作為吸引周期運(yùn)動(dòng)的分岔參數(shù)，仿真在周期運(yùn)動(dòng)不動(dòng)點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)特征值發(fā)展趨勢(shì)。圖3.5是振動(dòng)系統(tǒng)的特征值圖。 圖3.5 特征值圖 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 圖3.6 Poincar映射投影圖(a) ，吸引不變環(huán)； (b) ，吸引子變行膨脹； (c) ，吸引子變行膨脹； (d) ，吸引子變行膨脹；(e) ，鎖相； (f) ，混沌。在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中選取系統(tǒng)參數(shù)，和。圖3.7 特征值圖(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 圖3.8 Poincar映射投影圖 (a) ，吸引不變環(huán)； (b) ，吸引子變行膨脹； (c) ，吸引子變行膨脹； (d) ，鎖相；(e) ，混沌； (f) ，混沌；(g) ，混沌； (h) ，混沌。3.5 本章小結(jié) 本文用解析解求出一類雙自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)單碰撞周期運(yùn)動(dòng)及其Poincar映射，分析單碰撞周期運(yùn)動(dòng)在非共振和弱共振情況下的亞諧分岔、Hopf-flip分岔34-35和雙單碰撞周期2運(yùn)動(dòng)的分岔，討論概周期碰撞運(yùn)動(dòng)向混沌運(yùn)動(dòng)的演化過程。局部分岔分析表明，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的單碰撞周期運(yùn)動(dòng)的倍化分岔時(shí)存在的，但是時(shí)有一些非常規(guī)現(xiàn)象出現(xiàn)。在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中，不僅存在單碰撞周期運(yùn)動(dòng)的分岔，而且可能還存在多碰撞周期運(yùn)動(dòng)的分岔。第四章 三自由度振子碰撞振動(dòng)系統(tǒng)本章將研究三自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)36-39的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，根據(jù)碰撞條件和由碰撞規(guī)律所確定的銜接條件求得系統(tǒng)的對(duì)稱型周期碰撞運(yùn)動(dòng)，討論了該映射不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性與局部分叉。用一個(gè)三自由度含間隙振動(dòng)系統(tǒng)闡述了方法的有效性，分析了對(duì)稱型周期碰撞運(yùn)動(dòng)分岔、擦邊奇異性和混沌形成過程。4.1三自由度相對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型及周期運(yùn)動(dòng)模型圖4.1是一類具有三個(gè)振子、和的三自由度對(duì)碰系統(tǒng)的力學(xué)模型圖。質(zhì)量為、和的質(zhì)量塊分別由剛度為、和的線性彈簧和阻尼系數(shù)為、和的線性阻尼器連接與支承，三個(gè)質(zhì)量塊只作豎直方向的運(yùn)動(dòng)，并分別受到簡(jiǎn)諧激振力的作用。當(dāng)質(zhì)塊的位移等于間隙時(shí)，質(zhì)塊將于質(zhì)量塊的輕質(zhì)板發(fā)生碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運(yùn)動(dòng)，然后再與輕質(zhì)板碰撞，如此反復(fù)。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復(fù)系數(shù)確定，碰撞持續(xù)時(shí)間略去不計(jì)。圖 4.1三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型參數(shù)含義：實(shí)數(shù)集n維歐氏空間時(shí)間無量綱化的時(shí)間激振頻率碰撞振子與固定約束碰撞前的瞬時(shí)速度碰撞振子與固定約束碰撞后的瞬時(shí)速度n個(gè)力周期，p次碰撞，無滯留過程，有滯留過程的擾動(dòng)量分岔參數(shù)分岔值Poincar映射，Poincar映射在不動(dòng)點(diǎn)處的線性化矩陣的只有最大模的共軛特征值對(duì)角陣衰減系數(shù)(1/s)：固有頻率：相對(duì)阻尼系數(shù)：阻尼固有頻率4.1.1推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程由隔離法進(jìn)行受力分析： (a) (b) (c)圖 4.2三自由度碰撞振振動(dòng)系統(tǒng)的受力分析由牛頓第二定律可得：在任意連續(xù)兩次碰撞之間()，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： (4.1)方程(4.1)的無量綱形式為：錯(cuò)! (4.2) (4.3) 其中，在方程(4.2)中，“”表示對(duì)無量綱時(shí)間T求導(dǎo)數(shù)。方程中無量綱量為： ， ， (4.4) 4.1.2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)求以下各矩陣及參數(shù)：用表示方程(4.2)的正則模態(tài)矩陣，表示正則質(zhì)量矩陣，表示正則剛度矩陣，表示正則阻尼矩陣，表示正則化的激振力，表示在無碰撞情況下系統(tǒng)的固有頻率。令：， (4.5)系統(tǒng)的特征值問題為： (4.6)設(shè)其解為： (4.7)把式(4.7)帶入式(4.6)式得： (4.8) 則有： (4.9)將，帶入上式解得： (4.10)易知：故均為正實(shí)根因此，均為正實(shí)根。把式(4.10)代回到式(4.9)中得到系統(tǒng)的主陣型：，其中，(表示第一階固有頻率()作用下質(zhì)量塊2的振幅)故系統(tǒng)的模態(tài)矩陣(陣型矩陣)為：模態(tài)質(zhì)量矩陣：各階模態(tài)質(zhì)量的值為：，故正則模態(tài)矩陣為：正則剛度矩陣為：其中為譜矩陣，即正則化質(zhì)量矩陣為一個(gè)階單位矩陣。正則阻尼矩陣為：由于：，則有正則化阻尼矩陣為：正則化激振力為：令：則有：令：則有：解耦后的單自由度系統(tǒng)：對(duì)式(3.2)作如下坐標(biāo)變換：則系統(tǒng)的正則模態(tài)方程為：即： (4.11)將式(4.11)化為： (4.12)則問題簡(jiǎn)化成兩個(gè)單自由度的系統(tǒng)。設(shè)的通解為： (4.13) (4.14)令：， 則：運(yùn)動(dòng)微分方程的形式解(將用待定系數(shù)法求解)即： (4.15) (4.16) (4.17) (4.18)待定系數(shù)法求方程的穩(wěn)態(tài)解，對(duì)于式(4.11)，其振動(dòng)穩(wěn)態(tài)過程時(shí)其解為式(4.15)，式(4.16)后兩項(xiàng)即： (4.19) (4.20) (4.21)將式(4.19)、式(4.20)和式(4.21)代回到式(4.11)得：合并同類項(xiàng)得： (4.22)式(4.22)中，及不恒為零，上式成立，須有： (4.23) (4.24)由式(4.24)得： (4.25)將式(4.25)代入式(4.23)得：解得： (4.26)將式(4.26)代入式(4.25)得： (4.27)將，代入式(4.26)， 式(4.27)得： (4.28) (4.29)同理，對(duì)于質(zhì)量塊： (4.30) (4.31)當(dāng)時(shí)，和發(fā)生碰撞，質(zhì)塊和的沖擊方程及碰撞恢復(fù)系數(shù)R為： 、和、分別代表系統(tǒng)的沖擊速度。由上式可得： (4.32) 在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，圖4.1所示的碰撞能夠表現(xiàn)為周期碰撞過程56。周期運(yùn)動(dòng)表示振子碰撞后時(shí)間，下一次碰撞的時(shí)間恰好為，即連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隔皆為。系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的初始終止條件：， ， (4.33) 其中，將式(4.29)代入式(4.15)，式(4.16)可得： (4.34) (4.35) (4.36) (4.37) (4.38) (4.39) (4.40)把式(4.34)式(4.40)代入(4.33)中，的表達(dá)式中可得： (4.41) (4.42)令：，由式(3.34)式(3.40)以，為未知數(shù)可求出如下線性其次方程組： (4.43) (4.44) (4.45) (4.46) (4.47) (4.48) (4.49) (4.50)由式(4.43)，式(4.44)兩式(右端相同)得： (4.51)得：得：， (4.52)