回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

111 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第 1 課時）教案教材： 人民教育出版社 A 版選修 1-2 第 2 頁到第 4 頁授課教師： 廣東省惠州市第一中學 劉 健【教學目標】在數(shù)學（必修） 之后，學生已經(jīng)學習了兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系，包括畫散點圖，最小二乘法求回歸直線方程等內(nèi)容.在人教 A 版選修 1-2 第一章第一節(jié)“回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用”這一節(jié)中進一步介紹回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.這部分內(nèi)容教師用書共計 4 課時，第一課時：介紹線性回歸模型的數(shù)學表達式，解釋隨機誤差項產(chǎn)生的原因，使學生能正確理解回歸方程的預(yù)報結(jié)果；第二課時：從相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)和殘差分析角度探討回歸模型的擬合效果，以及建立回歸模型的基本步驟；第三課時：介紹兩個變量非線性相關(guān)關(guān)系；第四課時：回歸分析的應(yīng)用. 本節(jié)課是第一課時的內(nèi)容.1、知識目標認識隨機誤差；2、能力目標（1）會使用函數(shù)計算器求回歸方程；（2）能正確理解回歸方程的預(yù)報結(jié)果.3、情感目標通過本節(jié)課的學習，加強數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價兩個變量的相關(guān)性，理解處理問題的方法，形成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和鍥而不舍的求學精神.培養(yǎng)學生運用所學知識，解決實際問題的能力.教學中適當?shù)乩脤W生合作與交流，使學生在學習的同時，體會與他人合作的重要性.【教學重點】隨機誤差 的認識【教學難點】隨機誤差的來源和對預(yù)報變量的影響【教學方法】 啟發(fā)式教學法 【教學手段】多媒體輔助教學2【教學流程】教師操作復(fù)習引入 小結(jié)新課,學生分四組操作 師生共同分析結(jié)果學生閱讀課本作業(yè)3【教學過程設(shè)計】雙邊活動教學過程教師活動 學生活動設(shè)計說明備注創(chuàng)設(shè)情境：2007 年 5 月，中共中央國務(wù)院關(guān)于加強青少年體育、增強青少年體質(zhì)的意見指出城市超重和肥胖青少年的比例明顯增加.“身高標準體重”該指標對于學生形成正確的身體形態(tài)觀具有非常直觀的教育作用.提問：“身高標準體重”從何而來？我們?yōu)槭裁匆嘈乓粡埍砀?？提出將要研究的問題“本年級女生身高與體重之間的關(guān)系”.閱讀思考 引導(dǎo)學生思考.2分鐘復(fù)習：讓學生回憶統(tǒng)計學的步驟和隨機抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣.復(fù)習抽樣方法，畫散點圖，利用函數(shù)計算器求回歸方程給出最小二乘法的計算公式：xbyayxniiiii)(12求出回歸方程 a其中 ，nix1niy1稱為樣本點的中心.),(x師：在正式研究之前，我們先一起回憶一下必修所學過的內(nèi)容.師：我提供 5 組身高與體重的數(shù)據(jù)，請同學們畫散點圖，并用函數(shù)計算器求線性回歸方程.學生做完后教師用 Excel 展示散點圖和所求回歸方程.yi01020304050607015 160 165 170 175 180xiyi yi（函數(shù)計算器的使用方法見后附說明）編號 1 2 3 4 5身高/cm 165 165 157 170 175體重/kg 49 58 51 53 65回憶必修中相關(guān)知識，參照投影展示的計算器的使用方法，練習使用函數(shù)計算器求回歸方程.學生抄寫數(shù)據(jù)后，畫散點圖，并互相幫助，學習使用計算器的方法利用“先行組織者” ，給出學生一個知識的大背景，順便幫助學生復(fù)習必修所學內(nèi)容，包括抽樣方法，畫散點圖，讓學生熟悉利用函數(shù)計算器求回歸方程，為本節(jié)課作好知識上和技術(shù)上的準備.5分鐘學生分組操作： 分配任務(wù)：通過隨機抽樣已經(jīng)獲得高二年級女生身高體 先分別將四個組的數(shù)據(jù)要抄寫在練習本上， 不同的人作不同的事， 8分41、抽樣（隨機抽?。?、樣本數(shù)據(jù)（電腦展示）3、畫散點圖4、計算5、預(yù)測身高為 172cm 的女生的體重（目的：使學生了解回歸分析的一般步驟 ）重的數(shù)據(jù)共 45 組，用電腦顯示出來，學生分四組操作 操作 1 第一組使用前面 15 組數(shù)據(jù)求；第二組使用中間 15組數(shù)據(jù)；第三組使用最后 15組數(shù)據(jù)；操作 2 第四組用課本例題 1中女大學生的身高體重的 8組數(shù)據(jù)每個小組要求完成三幅散點圖 （四個小組同時操作）方便參考學生分工操作：有的畫散點圖；有的用函數(shù)計算器進行計算；有的做檢驗老師在這里把學生之間的差異作為一種資源，由能力較強的學生帶著能力較弱的學生，幫助及時到位體現(xiàn)建構(gòu)性教學中的“合作” 鐘結(jié)果的比較：、比較散點圖分布形態(tài)、比較樣本點中心及它和回歸方程的關(guān)系、比較回歸方程系數(shù)、比較散點圖與回歸直線的關(guān)系、比較四個 172cm 女生體重的預(yù)測值（目的：給學生一個關(guān)注方向）傾聽并引導(dǎo)學生發(fā)言 第四組派學生代表用投影儀展示本組散點圖和回歸方程，并作簡單講解其他三組派學生代表板書，寫出本組的線性回歸方程，并把所預(yù)測的體重值寫出來以方便比較利用課本例題女大學生的身高體重和高二女生形成明顯對比讓學生用自己了解到的知識進行描述和交流，提高學生參加數(shù)學活動的興趣和熱情5分鐘結(jié)果的分析：1、為什么回歸直線過樣本點中心？（目的：加強對公式的認識）2、都是高二女生為什么所求回歸方程不同？（目的：認識隨機數(shù)學的不確定性）3、樣本點為什么不都落在啟發(fā)與講解1、教師展示由小二乘法求回歸系數(shù)的公式講解：就是將 代xbya),(y入求出，進而得到回歸方程 2、 受樣本點的不同而影響，b如果是不同事件（如課本例1 女大學生和高二女生） ，則統(tǒng)計結(jié)果自然不同；但是，同一事件（如都是高二女生） ，采樣不同結(jié)果也不同 3、請一位同學拿自己小組的討論回答老師提問1、學生計算得到樣本點中心在回歸直線上2、體會隨機數(shù)學與確定性數(shù)學的區(qū)別與聯(lián)系知道最小二乘法估計回歸方程已經(jīng)是最好估計，但還是會受采樣的影響形成一些差異3、某同學拿自己小1、認識樣本點中心與回歸方程的關(guān)系2、這個問題的產(chǎn)生水到渠成，不是強加給學生的問題的解決合情合理，使學生感到數(shù)學是自然的3、逐步靠近15分鐘5我們求得回歸方程上？ （目的：引出線性回歸模型 y=bx+a+e ,討論隨機誤差 e 的來源）4、預(yù)測出的體重都不同，那么它還有參考價值嗎？（目的：讓學生感知預(yù)報變量的變化受解析變量和隨機誤差的共同影響）散點圖和回歸方程展示并講解小組討論結(jié)果.教師啟發(fā)：沒有人知道身高和體重之間的真正關(guān)系是什么，我們在尋找一種回歸方程來近似這種關(guān)系這里存在一種誤差是由選擇模型近似所應(yīng)起的講解：線性回歸模型y=bx+a+e 增加了隨機誤差項e. 我們把自變量 x 稱作解釋變量，因變量 y 稱作預(yù)報變量.、啟發(fā)：參考預(yù)測值時，我們希望高中組的三個值接近點好還是區(qū)別大點好？啟發(fā)：怎樣就能更接近？學生回答“樣本多一些”后教師電腦展示：用所有 45 組高二女生數(shù)據(jù)所求回歸方程，以方便學生比較哪一個小組的預(yù)測值更接近老師的較多數(shù)據(jù)的預(yù)測值，相對而言，這個組的模擬效果就越好 啟發(fā)：為什么隨著數(shù)據(jù)的增多，三組的預(yù)測值有可能會越接近？組的散點圖和回歸方程展示并講解小組討論結(jié)果（小組其他成員可以補充）：一個人的體重受身高影響外，還受生理因素、飲食鍛煉、測量工具、等其他因素影響受啟發(fā)后討論得到e 產(chǎn)生的主要原因：(1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當.如：使用一次函數(shù)模型還是使用二次函數(shù)模型；(2)忽略了某些因素的影響，如遺傳因素、生活習慣等；(3)觀測誤差，如使用的測量工具不同等、回答：接近點好回答：樣本多一些回答：（接受啟發(fā)）預(yù)測時解釋變量取定x=172cm，要想預(yù)報本課時的教學重點與難點.實現(xiàn)知識由生活化向數(shù)學化的轉(zhuǎn)變學生面對數(shù)學學習，與其說是“學習數(shù)學” ，不如說是“學習數(shù)學化” ，本問題的提出，實質(zhì)上是在催促學生進行“超越生活”的提煉.4、突破本節(jié)課的難點，充分認識隨機誤差 e 的來源和對預(yù)報變量的影響.對思維受阻的地方，教師通過層層鋪墊，給予必要的引導(dǎo)，做到“引而不灌” ，教師的引是為了學生更好地思考啟發(fā)學生時涉及的問題層層6（回應(yīng)本課開始的提問“身高標準體重”從何而來？）解釋變量x（身高）的變化 bx+a隨機誤差 e預(yù)報變量 y（體重）的變化 y=bx+a+e師問：隨機誤差 e 變小體現(xiàn)在哪里？師講解：所以，有參考價值，它們的值越接近，就說明隨機誤差越小，當然就擬合的越好. 當數(shù)據(jù)足夠多，使用科學的方法，是能夠制作出一份值得參考的“身高標準體重”的回到剛才的問題，如果條件有限，只能獲得 15 組數(shù)據(jù)，那么怎樣知道這三組同學所得的回歸方程哪個更好？ 請同學們帶著以下問題閱讀課本，時間 5 分鐘！變量的值接近，只有使隨機誤差 e 變小了.回答：體現(xiàn)在函數(shù)模擬有機會更貼切；更容易貼近普遍的生活方式、飲食與運動等共性.深入，環(huán)環(huán)相扣，非常巧妙學生閱讀1、若通過一條回歸方程預(yù)測，是不是身高 172cm 的所有女生體重都一樣呢？（目的：讓學生正確理解用線性回歸方程預(yù)測結(jié)果的含義）2、怎樣知道自己模擬的回歸方程中隨機誤差有多大？（目的：為后繼課程作鋪墊）巡視與解答個人問題 學生閱讀后回答：1、答案是否定的因為預(yù)測出的不是真實體重，而是體重的平均值2、 （部分閱讀較快的同學可以回答出）使用相關(guān)指數(shù) 來解釋讓學生知道，獲得回歸方程并不是最終目的，我們希望用它進行預(yù)測或決策再次感受隨機誤差 e 的存在，強化重點內(nèi)容回歸課本，實現(xiàn)了對知識技能目標的明晰，又有效地利用了課本資源分鐘小結(jié)與作業(yè)：1、函數(shù)模型與線性回歸模1、函數(shù)模型：y=bx+a線性回歸模型：y=bx+a+e當理想化，使所有人的遺傳傾聽并思考1、得到結(jié)論：一次函數(shù)模型是線性回歸1、由小結(jié)再次明確了隨機誤差的存5分鐘7型之間有何異同？2、在本節(jié)課中，我們運用了哪些數(shù)學思想和方法？3、多個模型，怎樣知道哪個效果更好？作業(yè)：1、閱讀相關(guān)材料，對以上問題有所認識.2、試做：課本 P11（習題1.1 ）第 1 題因素都一樣、所有人的生活方式都一樣、所有測量都沒有誤差等等，e=0 線性回歸模型就變成函數(shù)模型了.2、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想3、如果沒有額外的數(shù)據(jù)可以使用，能不能比較出剛才三個小組誰的回歸方程模擬效果更好？具體內(nèi)容，我們下節(jié)課講解模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.2、體會隨機數(shù)學的特點 3、預(yù)習課本后回答：可以使用相關(guān)指 R 2在和影響，突出重點、難點；2、注重數(shù)學教學中的思想性，它們是貫穿數(shù)學教學過程的“靈魂” 3、這個問題的提出，給學生留下思維發(fā)展的時空和探索余地，激發(fā)學生對知識的進一步渴望.【教學反思】通過本節(jié)課的教學實踐，我再次體會到什么是由“關(guān)注知識”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學生” ，在教學過程中，注意到了由“給出知識”轉(zhuǎn)向“引起活動” ，由“完成教學任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進學生發(fā)展” ，課堂上的真正主人應(yīng)該是學生一堂好課，師生一定會有共同的、積極的情感體驗本節(jié)課的教學中，知識點均是學生通過探索“發(fā)現(xiàn)”的，學生充分經(jīng)歷了探索與發(fā)現(xiàn)的過程教學中沒有以練習為主，而是定位在知識形成過程的探索，注重數(shù)學的思想性，如統(tǒng)計思想、隨機觀念、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法等，引導(dǎo)學生體驗數(shù)學中的理性精神，加強數(shù)學形式下的思考和推理幾點注明：1、復(fù)習引入時教師做示范提供 5 組身高與體重的數(shù)據(jù)，用 Excel 展示如何畫散點圖、用最小二乘法求線性回歸方程.隨機抽樣并列表如下：82、計算機做散點圖的步驟如下：（1）進入 Excel 軟件操作界面，在 A1,B1 分別輸入“身高”和“體重” ，在A,B 列輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù).（2）點擊“圖表向?qū)А眻D標，進入“圖表類型”對話框，選擇“標準類型”中的“XY 散點圖” ，單擊“下一步”.（3）在“圖表向?qū)А敝械摹皥D表數(shù)據(jù)源”對話框中，選擇“系列”選項，單擊“添加”按鈕添加系列 1，在“X 值”欄中輸入身高所在數(shù)據(jù)區(qū)域，在“Y 值”欄中輸入體重所在數(shù)據(jù)區(qū)域，單擊“下一步”.（4）進入“圖表向?qū)А敝械膱D表選項對話框，對圖表的一些屬性進行設(shè)置.（5）單擊“完成”按鈕.注：也可以直接使用我們提供的文件來給學生演示，相對節(jié)約課堂時間.yi010203040506070155 160 165 170 175 180xiyi yi3、學生使用函數(shù)計算器求回歸方程的過程如下：編號 1 2 3 4 5身高/cm 165 165 157 170 175體重/kg 49 58 51 53 659MODESHIFT CLR =113， DT165 49， DT175 65， DT165 58， DT157 51， DT170 53SHIFT CLRSHIFT CLR 2 =1(進入回歸計算模式)(清除統(tǒng)計存儲器)(輸入五組數(shù)據(jù))所以回歸方程為 0.673x-56.79y (計算參數(shù) a)(計算參數(shù) b)（學生還會使用更先進的計算器）4、課堂使用的數(shù)據(jù)如下高二女生前 15 組數(shù)據(jù)列表：編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高/cm 165153157170152153157168154162160159148156163體重/kg 49 43 51 53 45 44 46 52 44 49 48 46 42 45 5010高二女生中間 15 組數(shù)據(jù)列表：高 二女生后 15 組數(shù)據(jù)列表：課本 P2例題 1 女大學生 8 組數(shù)據(jù)列表：例 1. 編號 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg 48 57 50 54 64 6