2024年高考數(shù)學(xué)高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編專題09不等式推理與證明文含解析

PAGE1專題09不等式、推理與證明1．【2024年高考全國(guó)I卷文數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，聞名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是．若某人滿意上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長(zhǎng)度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長(zhǎng)為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至頸項(xiàng)下端長(zhǎng)度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體頸項(xiàng)下端至肚臍的長(zhǎng)為xcm，肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm，則，得．又其腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至頸項(xiàng)下端的長(zhǎng)度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行類比法，利用轉(zhuǎn)化思想解題．2．【2024年高考全國(guó)III卷文數(shù)】記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈．命題；命題．下面給出了四個(gè)命題① ② ③ ④這四個(gè)命題中，全部真命題的編號(hào)是A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】A【解析】依據(jù)題中的不等式組可作出可行域，如圖中陰影部分所示，記直線，由圖可知，，所以p為真命題，q為假命題，所以為假命題，為真命題，所以為真命題，為假命題，為真命題，為假命題，所以全部真命題的編號(hào)是①③.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題將線性規(guī)劃和不等式，命題推斷綜合到一起，解題關(guān)鍵在于充分利用取值驗(yàn)證的方法進(jìn)行推斷.3．【2024年高考北京卷文數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿意m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽(yáng)的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿意,令,.故選：A．【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理實(shí)力?閱讀理解實(shí)力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.4．【2024年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.由，得，所以.故選C.【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最終結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍．即：一畫，二移，三求．5．【2024年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】等價(jià)于，故推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.【名師點(diǎn)睛】充要條件的三種推斷方法：(1)定義法：依據(jù)p?q，q?p進(jìn)行推斷；(2)集合法：依據(jù)由p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行推斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：依據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要推斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行推斷．這個(gè)方法特殊適合以否定形式給出的問(wèn)題．6．【2024年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)滿意約束條件，則的最大值是A． B．1C．10 D．12【答案】C【解析】畫出滿意約束條件的可行域如圖中陰影部分所示.因?yàn)?，所?平移直線可知，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.聯(lián)立兩直線方程可得，解得.即點(diǎn)A坐標(biāo)為，所以.故選C.【名師點(diǎn)睛】解答此類問(wèn)題，要求作圖要精確，視察要細(xì)致.往往由于由于作圖欠精確而影響答案的精確程度，也有可能在解方程組的過(guò)程中出錯(cuò).7．【2024年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿意，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式駕馭不熟，導(dǎo)致推斷失誤；二是不能敏捷的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取的值，從假設(shè)狀況下推出合理結(jié)果或沖突結(jié)果.8．【2024年高考全國(guó)II卷文數(shù)】若變量x，y滿意約束條件則z=3x–y的最大值是______.【答案】9【解析】畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示，陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，依據(jù)直線中的表示縱截距的相反數(shù)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值為9．【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問(wèn)題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行圖解法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．搞不清晰線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義致誤，從線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線的截距視察可行域，平移直線進(jìn)行推斷取最大值還是最小值．9．【2024年高考全國(guó)II卷文數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．（本題第一空2分，其次空3分．）【答案】26，【解析】【答案】26，【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，其次層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長(zhǎng)為．【名師點(diǎn)睛】本題立意新奇，空間想象實(shí)力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)潔，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無(wú)論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象實(shí)力，快速還原圖形．10．【2024年高考北京卷文數(shù)】若x，y滿意則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________．【答案】；1【解析】依據(jù)題中所給約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示.設(shè)，則，求出滿意在可行域范圍內(nèi)z的最大值、最小值即可，即在可行域內(nèi)，當(dāng)直線的縱截距最大時(shí)，z有最大值，當(dāng)直線的縱截距最小時(shí)，z有最小值.由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí),z有最大值，聯(lián)立，可得，即，所以；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z有最小值，所以.【名師點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型，依據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大，留意了基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)、基本技能的考查.11．【2024年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】.因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)樗缘淖钚≈禐?【名師點(diǎn)睛】運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)肯定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立.12．【2024年高考北京卷文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付勝利后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，須要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)_________．【答案】①130；②15.【解析】（1）,顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,須要支付元.（2）設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解實(shí)力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).13．（四川省棠湖中學(xué)2025屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理)試題）已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，故，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)留意對(duì)數(shù)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.14．【廣東省韶關(guān)市2025屆高考模擬測(cè)試（4月)數(shù)學(xué)試題】若，滿意約束條件，則的最大值為A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】變量，滿意約束條件的可行域如圖中陰影部分所示：目標(biāo)函數(shù)是斜率等于1、縱截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)時(shí)，縱截距取得最小值，則此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得，目標(biāo)函數(shù)的最大值為：5故選：C．【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．【山東省試驗(yàn)中學(xué)等四校2025屆高三聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，當(dāng)位于時(shí)，此時(shí)的斜率最小，此時(shí)．故選B．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．16．【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第四次模擬（最終一卷)考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)?，在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿意不等式的概率為A． B． C． D．【答案】A【解析】畫出所表示的區(qū)域如圖中陰影部分所示，易知，所以的面積為，滿意不等式的點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡(jiǎn)潔題.17．【山西省2025屆高三高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練（三)數(shù)學(xué)試題】設(shè)，則A． B．C． D．【答案】A【解析】，,即，故.又，所以.故，所以選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用作差法、作商法比較大小，考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)與計(jì)算，考查分析計(jì)算，化簡(jiǎn)求值的實(shí)力，屬中檔題.18．【陜西省2024年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】若正數(shù)滿意，則的最小值為A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問(wèn)題，其中解答中合理構(gòu)造，利用基本不等式精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.19．【浙江省三校2024年5月份其次次聯(lián)考數(shù)學(xué)卷】已知log2a-2+logA．3 B．4 C．6 D．9【答案】D【解析】由log2a-2+log2b-1≥1所以2a+b=2a-2當(dāng)2a-2=b-1且a-2b-1所以2a+b取到最小值時(shí)ab=3×3=9.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時(shí)要留意不等式取等的條件要同時(shí)滿意.20．【北京市東城區(qū)2025屆高三其次學(xué)期綜合練習(xí)（一)數(shù)學(xué)試題】某校開(kāi)展“我身邊的榜樣”評(píng)比活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見(jiàn)選票.這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的,,，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為A． B．C．96% D．98%【答案】C【解析】設(shè)投1票的有x,2票的y,3票的z，則,則,即,由題投票有效率越高z越小，則x=0時(shí)，z=4,故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為96%.故選：C.【名師點(diǎn)睛】本題考查推理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化實(shí)力，明確有效率與無(wú)效票之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵,是中檔題.21．【西南名校聯(lián)盟重慶市第八中學(xué)2025屆高三5月高考適應(yīng)性月考卷數(shù)學(xué)試題】甲、乙、丙、丁四個(gè)人參與某項(xiàng)競(jìng)賽，四人在成果公布前做出如下預(yù)料：甲說(shuō)：獲獎(jiǎng)?wù)咴谝冶∪酥?；乙說(shuō)：我不會(huì)獲獎(jiǎng)，丙獲獎(jiǎng)；丙說(shuō)：甲和丁中的一人獲獎(jiǎng)；丁說(shuō)：乙揣測(cè)的是對(duì)的.成果公布后表明，四人中有兩人的預(yù)料與結(jié)果相符，另外兩人的預(yù)料與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)的是A．甲和丁 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的預(yù)料要么同時(shí)與結(jié)果相符，要么同時(shí)與結(jié)果不符，若乙、丁的預(yù)料成立，則甲、丙的預(yù)料不成立，可知沖突，故乙、丁的預(yù)料不成立，從而獲獎(jiǎng)的是乙和丁，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理實(shí)力，假設(shè)法是解決此類問(wèn)題常用的方法.22．【廣東省深圳市深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高三其次學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)試題】已知實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值是__________．【答案】【解析】由約束條件可知可行域?yàn)閳D中陰影部分所示：其中，，又，可知的幾何意義為可行域中的點(diǎn)到直線距離的倍可行域中點(diǎn)到直線距離最大的點(diǎn)為.，故填.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用線性規(guī)劃求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解．23．【天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年度其次學(xué)期高三年級(jí)第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題】已知，，且，則最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即的最小值為.【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽視了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．24．【天津市河北區(qū)2025屆高三二模數(shù)學(xué)試題】已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列an中，若m，，滿意aman【答案】1【解析】設(shè)等比數(shù)列an