天津市高考數(shù)學(xué)試題理科

...wd......wd......wd...2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕一.選擇題〔在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的〕1．〔5分〕〔2015?天津〕全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，則集合A∩?UB=〔〕A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}2．〔5分〕〔2015?天津〕設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為〔〕A．3 B．4 C．18 D．403．〔5分〕〔2015?天津〕閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為〔〕A．﹣10 B．6 C．14 D．184．〔5分〕〔2015?天津〕設(shè)x∈R，則“|x﹣2|＜1〞是“x2+x﹣2＞0〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．〔5分〕〔2015?天津〕如圖，在圓O中，M、N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N，假設(shè)CM=2，MD=4，CN=3，則線段NE的長(zhǎng)為〔〕A． B．3 C． D．6．〔5分〕〔2015?天津〕雙曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一條漸近線過(guò)點(diǎn)〔2，〕，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為〔〕A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．〔5分〕〔2015?天津〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕=2|x﹣m|﹣1〔m為實(shí)數(shù)〕為偶函數(shù)，記a=f〔log0.53〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，則a，b，c的大小關(guān)系為〔〕A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．〔5分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=，函數(shù)g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，其中b∈R，假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是〔〕A．〔，+∞〕 B．〔﹣∞，〕 C．〔0，〕 D．〔，2〕二.填空題〔每題5分，共30分〕9．〔5分〕〔2015?天津〕i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)〔1﹣2i〕〔a+i〕是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．10．〔5分〕〔2015?天津〕一個(gè)幾何體的三視圖如以以以下圖〔單位：m〕，則該幾何體的體積為m3．11．〔5分〕〔2015?天津〕曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為．12．〔5分〕〔2015?天津〕在〔x﹣〕6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為．13．〔5分〕〔2015?天津〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．△ABC的面積為3，b﹣c=2，cosA=﹣，則a的值為．14．〔5分〕〔2015?天津〕在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且=λ，=，則?的最小值為．三.解答題〔本大題共6小題，共80分〕15．〔13分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣〕，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在區(qū)間[﹣，]內(nèi)的最大值和最小值．16．〔13分〕〔2015?天津〕為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的開(kāi)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)組隊(duì)參加，現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)5名，其中種子選手3名，從這8名運(yùn)發(fā)動(dòng)中隨機(jī)選擇4人參加比賽．〔Ⅰ〕設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)〞，求事件A發(fā)生的概率；〔Ⅱ〕設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．〔13分〕〔2015?天津〕如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：MN∥平面ABCD〔Ⅱ〕求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；〔Ⅲ〕設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn)，假設(shè)直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長(zhǎng)．18．〔13分〕〔2015?天津〕數(shù)列{an}滿足an+2=qan〔q為實(shí)數(shù)，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列〔1〕求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)bn=，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．19．〔14分〕〔2015?天津〕橢圓+=1〔a＞b＞0〕的左焦點(diǎn)為F〔﹣c，0〕，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|=．〔Ⅰ〕求直線FM的斜率；〔Ⅱ〕求橢圓的方程；〔Ⅲ〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)直線FP的斜率大于，求直線OP〔O為原點(diǎn)〕的斜率的取值范圍．20．〔14分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N?，且n≥2．〔Ⅰ〕討論f〔x〕的單調(diào)性；〔Ⅱ〕設(shè)曲線y=f〔x〕與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g〔x〕，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f〔x〕≤g〔x〕；〔Ⅲ〕假設(shè)關(guān)于x的方程f〔x〕=a〔a為實(shí)數(shù)〕有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x2﹣x1|＜+2．2015年天津市高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕參考答案與試題解析一.選擇題〔在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的〕1．〔5分〕〔2015?天津〕全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，則集合A∩?UB=〔〕A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}【分析】由全集U及B，求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴?UB={2，5，8}，則A∩?UB={2，5}．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．2．〔5分〕〔2015?天津〕設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為〔〕A．3 B．4 C．18 D．40【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：〔陰影局部〕．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A〔0，3〕將A〔0，3〕的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值為18．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．3．〔5分〕〔2015?天津〕閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為〔〕A．﹣10 B．6 C．14 D．18【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當(dāng)i=8時(shí)滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為6．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=20，i=1i=2，S=18不滿足條件i＞5，i=4，S=14不滿足條件i＞5，i=8，S=6滿足條件i＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為6．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了循環(huán)構(gòu)造的程序框圖，正確寫出每次循環(huán)得到的i，S的值是解題的關(guān)鍵，屬于根基題．4．〔5分〕〔2015?天津〕設(shè)x∈R，則“|x﹣2|＜1〞是“x2+x﹣2＞0〞的〔〕A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)展判斷即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1〞得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1〞是“x2+x﹣2＞0〞的充分不必要條件，應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察充分條件和必要條件的判斷，對(duì)比根基．5．〔5分〕〔2015?天津〕如圖，在圓O中，M、N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，N，假設(shè)CM=2，MD=4，CN=3，則線段NE的長(zhǎng)為〔〕A． B．3 C． D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM?MD=AM?MB，∴2×4=AM?2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN?NE=AN?NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．應(yīng)選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考察相交弦定理，考察學(xué)生的計(jì)算能力，對(duì)比根基．6．〔5分〕〔2015?天津〕雙曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一條漸近線過(guò)點(diǎn)〔2，〕，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為〔〕A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點(diǎn)，再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得a、b的另一個(gè)方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：由題意，=，∵拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴雙曲線的方程為．應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考察學(xué)生的計(jì)算能力，屬于根基題．7．〔5分〕〔2015?天津〕定義在R上的函數(shù)f〔x〕=2|x﹣m|﹣1〔m為實(shí)數(shù)〕為偶函數(shù)，記a=f〔log0.53〕，b=f〔log25〕，c=f〔2m〕，則a，b，c的大小關(guān)系為〔〕A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根據(jù)f〔x〕為偶函數(shù)便可求出m=0，從而f〔x〕=2|x|﹣1，這樣便知道f〔x〕在[0，+∞〕上單調(diào)遞增，根據(jù)f〔x〕為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞〕上：a=f〔|log0.53|〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕，然后再對(duì)比自變量的值，根據(jù)f〔x〕在[0，+∞〕上的單調(diào)性即可對(duì)比出a，b，c的大?。窘獯稹拷猓骸遞〔x〕為偶函數(shù)；∴f〔﹣x〕=f〔x〕；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；〔﹣x﹣m〕2=〔x﹣m〕2；∴mx=0；∴m=0；∴f〔x〕=2|x|﹣1；∴f〔x〕在[0，+∞〕上單調(diào)遞增，并且a=f〔|log0.53|〕=f〔log23〕，b=f〔log25〕，c=f〔0〕；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．應(yīng)選：C．【點(diǎn)評(píng)】考察偶函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于偶函數(shù)對(duì)比函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞〕上，根據(jù)單調(diào)性去對(duì)比函數(shù)值大?。畬?duì)數(shù)的換底公式的應(yīng)用，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．8．〔5分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=，函數(shù)g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，其中b∈R，假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是〔〕A．〔，+∞〕 B．〔﹣∞，〕 C．〔0，〕 D．〔，2〕【分析】求出函數(shù)y=f〔x〕﹣g〔x〕的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，作出函數(shù)h〔x〕的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)展求解即可．【解答】解：∵g〔x〕=b﹣f〔2﹣x〕，∴y=f〔x〕﹣g〔x〕=f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕，由f〔x〕﹣b+f〔2﹣x〕=0，得f〔x〕+f〔2﹣x〕=b，設(shè)h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕，假設(shè)x≤0，則﹣x≥0，2﹣x≥2，則h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2+x+x2，假設(shè)0≤x≤2，則﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，則h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，假設(shè)x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，則h〔x〕=f〔x〕+f〔2﹣x〕=〔x﹣2〕2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h〔x〕=，作出函數(shù)h〔x〕的圖象如圖：當(dāng)x≤0時(shí)，h〔x〕=2+x+x2=〔x+〕2+≥，當(dāng)x＞2時(shí)，h〔x〕=x2﹣5x+8=〔x﹣〕2+≥，故當(dāng)b=時(shí)，h〔x〕=b，有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)b=2時(shí)，h〔x〕=b，有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，由圖象知要使函數(shù)y=f〔x〕﹣g〔x〕恰有4個(gè)零點(diǎn)，即h〔x〕=b恰有4個(gè)根，則滿足＜b＜2，應(yīng)選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．二.填空題〔每題5分，共30分〕9．〔5分〕〔2015?天津〕i是虛數(shù)單位，假設(shè)復(fù)數(shù)〔1﹣2i〕〔a+i〕是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為﹣2．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部等于0且虛部不等于0求得a的值．【解答】解：由〔1﹣2i〕〔a+i〕=〔a+2〕+〔1﹣2a〕i為純虛數(shù)，得，解得：a=﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考察了復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的條件，是根基題．10．〔5分〕〔2015?天津〕一個(gè)幾何體的三視圖如以以以下圖〔單位：m〕，則該幾何體的體積為m3．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱與兩個(gè)圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面一樣的圓柱與兩個(gè)圓錐的組合體，且圓柱底面圓的半徑為1，高為2，圓錐底面圓的半徑為1，高為1；∴該幾何體的體積為V幾何體=2×π?12×1+π?12?2=π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了利用空間幾何體的三視圖求體積的應(yīng)用問(wèn)題，是根基題目．11．〔5分〕〔2015?天津〕曲線y=x2與y=x所圍成的封閉圖形的面積為．【分析】先根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖形得到積分下限為0，積分上限為1，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可．【解答】解：先根據(jù)題意畫出圖形，得到積分上限為1，積分下限為0直線y=x與曲線y=x2所圍圖形的面積S=∫01〔x﹣x2〕dx而∫01〔x﹣x2〕dx=〔〕|01=﹣=∴曲邊梯形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察了學(xué)生會(huì)求出原函數(shù)的能力，以及考察了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)會(huì)利用定積分求圖形面積的能力，解題的關(guān)鍵就是求原函數(shù)．12．〔5分〕〔2015?天津〕在〔x﹣〕6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為．【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得x2的系數(shù)．【解答】解：〔x﹣〕6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?〔x〕6﹣r?〔﹣〕r=〔﹣〕r??x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展開(kāi)式中x2的系數(shù)為×=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．13．〔5分〕〔2015?天津〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．△ABC的面積為3，b﹣c=2，cosA=﹣，則a的值為8．【分析】由cosA=﹣，A∈〔0，π〕，可得sinA=．利用S△ABC==，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈〔0，π〕，∴sinA==．∵S△ABC==bc=，化為bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考察了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．〔5分〕〔2015?天津〕在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且=λ，=，則?的最小值為．【分析】利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積公式將所求表示為關(guān)于λ的代數(shù)式，根據(jù)具體的形式求最值．【解答】解：由題意，得到AD=BC=CD=1，所以?=〔〕?〔〕=〔〕?〔〕==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立〕；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考察了等腰梯形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用、基本不等式求最值；關(guān)鍵是正確表示所求，利用基本不等式求最小值．三.解答題〔本大題共6小題，共80分〕15．〔13分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣〕，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期；〔Ⅱ〕求f〔x〕在區(qū)間[﹣，]內(nèi)的最大值和最小值．【分析】〔Ⅰ〕由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f〔x〕=﹣sin〔2x﹣〕，由周期公式可得；〔Ⅱ〕由x∈[﹣，]結(jié)合不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的知識(shí)易得函數(shù)的最值．【解答】解：〔Ⅰ〕化簡(jiǎn)可得f〔x〕=sin2x﹣sin2〔x﹣〕=〔1﹣cos2x〕﹣[1﹣cos〔2x﹣〕]=〔1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x〕=〔﹣cos2x+sin2x〕=sin〔2x﹣〕∴f〔x〕的最小正周期T==π；〔Ⅱ〕∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin〔2x﹣〕∈[﹣1，]，∴sin〔2x﹣〕∈[﹣，]，∴f〔x〕在區(qū)間[﹣，]內(nèi)的最大值和最小值分別為，﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考察兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及三角函數(shù)的周期性和最值，屬根基題．16．〔13分〕〔2015?天津〕為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的開(kāi)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)組隊(duì)參加，現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)3名，其中種子選手2名，乙協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)5名，其中種子選手3名，從這8名運(yùn)發(fā)動(dòng)中隨機(jī)選擇4人參加比賽．〔Ⅰ〕設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)〞，求事件A發(fā)生的概率；〔Ⅱ〕設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【分析】〔Ⅰ〕利用組合知識(shí)求出基本領(lǐng)件總數(shù)及事件A發(fā)生的個(gè)數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式得答案；〔Ⅱ〕隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，由古典概型概率計(jì)算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：〔Ⅰ〕由，有P〔A〕=，∴事件A發(fā)生的概率為；〔Ⅱ〕隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4．P〔X=k〕=〔k=1，2，3，4〕．∴隨機(jī)變量X的分布列為：X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E〔X〕=．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察古典概型及其概率計(jì)算公式，互斥事件、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等根基知識(shí)，考察運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，是中檔題．17．〔13分〕〔2015?天津〕如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：MN∥平面ABCD〔Ⅱ〕求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；〔Ⅲ〕設(shè)E為棱A1B1上的點(diǎn)，假設(shè)直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長(zhǎng)．【分析】〔Ⅰ〕以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系，通過(guò)平面ABCD的一個(gè)法向量與的數(shù)量積為0，即得結(jié)論；〔Ⅱ〕通過(guò)計(jì)算平面ACD1的法向量與平面ACB1的法向量的夾角的余弦值及平方關(guān)系即得結(jié)論；〔Ⅲ〕通過(guò)設(shè)=λ，利用平面ABCD的一個(gè)法向量與的夾角的余弦值為，計(jì)算即可．【解答】〔Ⅰ〕證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、AB、AA1所在直線分別為x、y、z軸建系，則A〔0，0，0〕，B〔0，1，0〕，C〔2，0，0〕，D〔1，﹣2，0〕，A1〔0，0，2〕，B1〔0，1，2〕，C1〔2，0，2〕，D1〔1，﹣2，2〕，又∵M(jìn)、N分別為B1C、D1D的中點(diǎn)，∴M〔1，，1〕，N〔1，﹣2，1〕．由題可知：=〔0，0，1〕是平面ABCD的一個(gè)法向量，=〔0，﹣，0〕，∵?=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；〔Ⅱ〕解：由〔I〕可知：=〔1，﹣2，2〕，=〔2，0，0〕，=〔0，1，2〕，設(shè)=〔x，y，z〕是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=〔0，1，1〕，設(shè)=〔x，y，z〕是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=〔0，﹣2，1〕，∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為；〔Ⅲ〕解：由題意可設(shè)=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=〔0，λ，2〕，=〔﹣1，λ+2，1〕，又∵=〔0，0，1〕是平面ABCD的一個(gè)法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣〔舍〕，∴線段A1E的長(zhǎng)為﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考察直線與平面平行和垂直、二面角、直線與平面所成的角等根基知識(shí)，考察用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法，考察空間想象能力、運(yùn)算能力和推理能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．18．〔13分〕〔2015?天津〕數(shù)列{an}滿足an+2=qan〔q為實(shí)數(shù)，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列〔1〕求q的值和{an}的通項(xiàng)公式；〔2〕設(shè)bn=，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【分析】〔1〕通過(guò)an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列，計(jì)算即可；〔2〕通過(guò)〔1〕知bn=，n∈N*，寫出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn、2Tn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可．【解答】解：〔1〕∵an+2=qan〔q為實(shí)數(shù)，且q≠1〕，n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1〔舍〕，∴an=；〔2〕由〔1〕知bn===，n∈N*，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn=1+2?+3?+4?+…+〔n﹣1〕?+n?，∴2Tn=2+2+3?+4?+5?+…+〔n﹣1〕?+n?，兩式相減，得Tn=3++++…+﹣n?=3+﹣n?=3+1﹣﹣n?=4﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考察求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，考察分類討論的思想，利用錯(cuò)位相減法是解決此題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19．〔14分〕〔2015?天津〕橢圓+=1〔a＞b＞0〕的左焦點(diǎn)為F〔﹣c，0〕，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|=．〔Ⅰ〕求直線FM的斜率；〔Ⅱ〕求橢圓的方程；〔Ⅲ〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，假設(shè)直線FP的斜率大于，求直線OP〔O為原點(diǎn)〕的斜率的取值范圍．【分析】〔Ⅰ〕通過(guò)離心率為，計(jì)算可得a2=3c2、b2=2c2，設(shè)直線FM的方程為y=k〔x+c〕，利用勾股定理及弦心距公式，計(jì)算可得結(jié)論；〔Ⅱ〕通過(guò)聯(lián)立橢圓與直線FM的方程，可得M〔c，c〕，利用|FM|=計(jì)算即可；〔Ⅲ〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，分別聯(lián)立直線FP、直線OP與橢圓方程，分x∈〔﹣，﹣1〕與x∈〔﹣1，0〕兩種情況討論即可結(jié)論．【解答】解：〔Ⅰ〕∵離心率為，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，設(shè)直線FM的斜率為k〔k＞0〕，則直線FM的方程為y=k〔x+c〕，∵直線FM被圓x2+y2=截得的線段的長(zhǎng)為c，∴圓心〔0，0〕到直線FM的距離d=，∴d2+=，即〔〕2+=，解得k=，即直線FM的斜率為；〔Ⅱ〕由〔I〕得橢圓方程為：+=1，直線FM的方程為y=〔x+c〕，聯(lián)立兩個(gè)方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵點(diǎn)M在第一象限，∴M〔c，c〕，∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即橢圓的方程為+=1；〔Ⅲ〕設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，直線FP的斜率為t，∵F〔﹣1，0〕，∴t=，即y=t〔x+1〕〔x≠﹣1〕，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得2x2+3t2〔x+1〕2=6，又∵直線FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6〔x+1〕2，整理得：x〔2x+3〕＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，設(shè)直線OP的斜率為m，得m=，即y=mx〔x≠0〕，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得m2=﹣．①當(dāng)x∈〔﹣，﹣1〕時(shí)，有y=t〔x+1〕＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈〔，〕；②當(dāng)x∈〔﹣1，0〕時(shí)，有y=t〔x+1〕＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈〔﹣∞，﹣〕；綜上所述，直線OP的斜率的取值范圍是：〔﹣∞，﹣〕∪〔，〕．【點(diǎn)評(píng)】此題考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程和圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次不等式等根基知識(shí)，考察用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考察運(yùn)算求解能力、以及用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．20．〔14分〕〔2015?天津〕函數(shù)f〔x〕=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N?，且n≥2．〔Ⅰ〕討論f〔x〕的單調(diào)性；〔Ⅱ〕設(shè)曲線y=f〔x〕與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g〔x〕，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f〔x〕≤g〔x〕；〔Ⅲ〕假設(shè)關(guān)于x的方程f〔x〕=a〔a為實(shí)數(shù)〕有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x2﹣x1|＜+2．【分析】〔Ⅰ〕由f〔x〕=nx﹣xn，可得f′〔x〕，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況利用導(dǎo)數(shù)即可得函數(shù)的單調(diào)性．〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x0，0〕，則可求x0=n，f′〔x0〕=n﹣n2，可求g〔x〕=f′〔x0〕〔x﹣x0〕，F(xiàn)′〔x〕=f′〔x〕﹣f′〔x0〕．由f′〔x〕=﹣nxn﹣1+n在〔0，+∞〕上單調(diào)遞減，可求F〔x〕在∈〔0，x0〕內(nèi)單調(diào)遞增，在〔x0，+∞〕上單調(diào)遞減，即可得證．〔Ⅲ〕設(shè)x1≤x2，設(shè)方程g〔x〕=a的根為，由〔Ⅱ〕可得x2≤．設(shè)曲線y=f〔x〕在原點(diǎn)處的切線方程為y=h〔x〕，可得h〔x〕=nx，設(shè)方程h〔x〕=a的根為，可得＜x1，從而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n