壓軸題：幾何背景下的線段最值問題（3題型+解題模板+技巧講義）含解析

壓軸題解題模板03

幾何背景下的線段最值問題

題型解讀

題型解讀：下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題

線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題型的考查熱度.

的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多

考試熱度

綜合考查垂線段最短、”將軍飲馬”及旋轉(zhuǎn)最值問

題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似

三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識，以及

數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.

此類題型常涉及以下問題：①線段和差最值問

題；②尺規(guī)作圖問題；③旋轉(zhuǎn)“費馬點”問題；④

點到直線的距離最值問題等.

題型一垂線段最短問題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為垂線段最短模型

判斷模型

利用模型技巧構(gòu)造垂線段，確定動點位置

作垂線段

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計算

列式計算

技巧精講：垂線段最短模型

模型問題情境圖示技巧

已知直線1外一定點A和直線1上A

過點4作48JJ于點BfAB即為所求距離

垂線段最短一動點&求4,8之間距離的最小

入的最小值

值B'BB"

A

已知44。8的內(nèi)部有一定點P,在*作點P關(guān)于直線OB的對稱點P',過點P'

作對稱+垂線段最短OA上找一點M,在OB上找一點N,作P，MJ.O4于點M,與。8相交于點N,

0^-B

使得PN+MN的值最小P'M即為所求的最小值

【例1】如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90°且A3=3,AC=4,點。是斜邊3c上的

一個動點，過點。分別作DM，A3于點“，DNLAC于點N,連接MN,則線段MN的

最小值為（）

A.工B.9C.3D.4

52

【變式1-1】如圖，在Rtz\ABC中，ZC=90°,AD是NA4c的平分線，點E是A3上

任意一點.若CD=5,則DE的最小值等于（）

A.2.5B.4C.5D.10

【變式1-2］如圖，在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點，點P是AC

邊上一個動點，連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最

小值是（）

C.V2D.|

題型二將軍飲馬問題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為“將軍飲馬"模型

判斷模型

利用模型技巧作對稱點并連線，確定動點位置

作對稱點

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計算

列式計算

技巧精講:

1、“將軍飲馬”模型

模型問題情境圖示技巧

已知直線1異側(cè)的兩定點4&在直A

線1上找一點尸,使得PA+PB的值連接AB與直線l交于點PfAB即為所求的最小值

最小、B

“兩定一動”

已知直線1同側(cè)的兩定點4,8,在直A

\/嚴(yán)作點B關(guān)于直線1的對稱點"，連接4"與直線1

線1上找一點P,使得+P8的值

1交于點匕4*即為所求的最小值

最小夕

P：

已知440B內(nèi)部有一定點P,在04分別作點P關(guān)于直線。4。8的對稱點P',尸'，連接

“一定兩動”上找一點M,在0B上找一點N,使P'P',交0A,0B于點片即為APM/V周長

得的周長最小()A的最小值

APM/V

P"

模型問題情境圖示技巧

已知4408內(nèi)部有兩個定點P,Q,分別作P,Q關(guān)于直線0A,0B的對稱點P',Q',連

“兩定兩動”在04上找一點M,在0B上找一點Ji接P'Q',分別交0A,0B于點M,N,PQ+PQ的值

M使得四邊形PQNM的周長最小0N'AB即為四邊形PQNM周長的最小值

Q,

A

已知之間的距離為d,將點4向下平移d個單位長度到點4',連接4'B交

在上分別找兩點，使得4人1_I直線4于點M過點N作NM_U|于點M,4'B+

N、’2

MNJ.I,,S.AM+MN+NB的值最小MN即為所求的最小值

B

“架橋”問題已知直線/同側(cè)的兩定點A,B,在直將點A向右平移d個單位長度到點4',作點A'關(guān)

線,上找兩點（M在N左側(cè)），B于直線1的對稱點4",連接*B交直線/于點N,將

I

使得MN=d,且AM+MN+NB的值點N向左平移d個單位長度到點M,A"B+MN即

最小A"為所求的最小值

2、線段差最大值問題模型:

模型問題情境圖示技巧

已知直線，同側(cè)的兩定點48,在直A

連接4B并延長，與直線/交于點P,48即為所求的

同側(cè)線1上找一點P,使得1P4-PB1的7

最大值

值最大X

已知直線/異側(cè)的兩定點4,B,在直A

作點B關(guān)于直線/的對稱點8',連接并延長與

異側(cè)線/上找一點P,使得IP4-PBI的7F'I

r直線1交于點P,AB，即為所求的最大值

值最大B

【例2】（德州中考）如圖，正方形A3CD的邊長為6,點E在3c上，CE=2.點M是

對角線3。上的一個動點，則￡M+C般的最小值是（）

B.3遙C.2V13D.4后

【變式2-1］（苗澤中考）如圖，在菱形A3CD中，AB=2,ZABC=60°,般是對角線

則的最小值為（)

C.V3D.2

【變式2-2］如圖，等腰三角形A3C的底邊長為6,腰AC的垂直平分線ER分別交

邊AC,A3于點E,F,。為3c邊的中點，M為線段ER上一動點，若△CDM的周長的

最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為（）

【變式2-3】已知點尸在ZMON內(nèi).

(1)如圖①，點P關(guān)于射線OM、ON的對稱點分別是G、H,連接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。，則OGH是什么特殊三角形？為什么？

②若/MQV=90。，試判斷G//與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，若/MON=30。，A、3分別是射線OM、ON上的點，ABLON于點3,點P、

。分別為。A鈿上的兩個定點，且QB=L5,。尸=42=2,在08上有一動點E,試求PE+QE

的最小值.

【變式2-4](2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABC。中，A3=6,AD=8,點P

在對角線8。上，過點尸作肱交邊AD,3c于點M,N,過點“作MELAD交8。

于點E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形網(wǎng)?的面積不變；③當(dāng)

96

AM:MD=1:2時，SE=石；④囪"肱V+ND的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號

是.

題型三旋轉(zhuǎn)最值問題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為旋轉(zhuǎn)最值模型

判斷模型

利用已知條件尋找共端點的相等線段

根據(jù)模型技巧進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖

旋轉(zhuǎn)作圖

借助幾何關(guān)系或勾股定理列式計算

列式計算

技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型

類別問題情境圖示技巧.

A

已知a/iBc內(nèi)部有一點p,連接將△4PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。,得到△EOC,連接

“費馬點”問題PA,PB,PC,求PA+PB+PC日PO,BE,當(dāng)8,P,0,E四點共線時,P4+PB+PC取

最小值k得最小值，最小值為BE

Bc

已知在四邊形ABPC中，PB=將AABP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a得到連接

三角形三邊

PC,AB=a,AC=b,LBPC=a,A4',當(dāng)4,C"'三點共線時,AT的值最大，此時4P

關(guān)系問題

求4尸的最大值產(chǎn)的值最大

p

【例3】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點后

為高上的動點.連接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CP.連接AF,EF,DF,

則一CD尸周長的最小值是

【變式3-1】如圖，在,ABC中，/C4B=90。，AB=AC=1,P是,ABC內(nèi)一點，求以+尸3+尸。

的最小值為

p.

【變式3-2］如圖，已知矩形A3CD,AB=4,3c=6,點/為矩形內(nèi)一點，點E為3c

邊上任意一點，則M4+MD+ME的最小值為

【變式3-3］如圖，正方形"CD的邊長為4,點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+有PC

的最小值.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，YABCD的面積為12,AC=BD=6,AC與8D交于點。.分別過點C,。作3D,

AC的平行線相交于點F點G是O的中點，點P是四邊形OCO邊上的動點，則尸G的

D.3

2.已知在HACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.點E為邊AC上的動點，點/為邊鉆

上的動點，則線段FE+E5的最小值是（）

A.孚B.1C.75D.73

二、填空題

3.如圖，P是菱形A3CD對角線3。上一點，于點E,PE=4cm,則點P到3C

的距離是cm.

4.如圖，在二ABC中，NC=90o,AC=3C=6.p為邊48上一動點，作尸口，5c于點D,PELAC

于點E,則DE的最小值為.

5.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°AC=4,按下列步驟作圖：①在AC

和48上分別截取AD、AE,使=②分別以點。和點E為圓心，以大于;DE的長

為半徑作弧，兩弧在-R4c內(nèi)交于點③作射線AM交BC于點H若點P是線段所上

的一個動點，連接CP,則CP+：A尸的最小值是.

A

'E

CF'B

6.菱形A3CD的邊長為2,/ABC-45。，點P、Q分別是BC、BO上的動點，CQ+PQ的最

7.如圖，在RtA4BC中，ZACB=90,AC=3C,點C在直線肱V上，NBCN=6。，點P為

AW上一動點，連接AP,BP.

(I)使AP+的取最小值的動點尸的位置在點C的側(cè).(填“左”或“右”).

(II)當(dāng)AP+族的值最小時，請直接寫出NCBP的度數(shù)..

三、解答題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長均為1,點A的坐標(biāo)為(-2,3).點3

(1)作出ASC關(guān)于y軸對稱的A'B'C',其中4,B',。分別是A,B,C的對應(yīng)點;

(2)寫出。的坐標(biāo)；

⑶在x軸上找一點P,使得依+尸4的值最小.(保留作圖痕跡)

9.如圖1：正方形"CD的邊長為3,E是直線AD上一動點，連接CE,在CE的右側(cè)以C

為直角頂點作等腰直角三角形ECP,連接BE,DF.

圖1圖2

⑴當(dāng)點E在線段AD上運動時，試判斷3E與D尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

⑵當(dāng)A￡：=2ED時，求。尸的長.

(3)如圖2,連接3凡則BE+3R的最小值為.

10.ABC中，48=60。.

圖1圖2

⑴如圖1,若AC>3C,CD平分/ACB交AB于點O,且">=也加>.證明：ZA=30°；

(2)如圖2,若AC<BC,取AC中點E,將CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。至CP,連接3尸并延長

至G,使BF=FG,猜想線段A3、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,若AC=3C,尸為平面內(nèi)一點，將S3尸沿直線翻折至—AB。，當(dāng)

BP

3AQ+2BQ+V13C2取得最小值時，直接寫出亍的值.

11.如圖，△ABC中，NR4C=45°,A3=6,AC=4,P為平面內(nèi)一點，求20BP+非AP+3PC

最小值

12.在正方形ABCD中，點E為對角線AC(不含點A)上任意一點，AB=20；

(1)如圖1,將^ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCF,連接EF；

①把圖形補充完整(無需寫畫法)；②求所2的取值范圍;

(2)如圖2,求BE+AE+DE的最小值.

圖1圖2

壓軸題解題模板03（解析版）

幾何背景下的線段最值問題

題型一垂線段最短問題

【例1】如圖，在Rt^ABC中，NA4c=90°且AB=3,AC=4,點。是斜邊3C上的

一個動點，過點。分別作DM,A3于點DNLAC于點N,連接MN,則線段MN的

最小值為（）

52

【分析】由勾股定理求出的長，再證明四邊形DM4N是矩形，可得MN=AD,根據(jù)

垂線段最短和三角形面積即可解決問題.

【解答】解：'：ZBAC=90°,且R4=3,AC=4,

*'-BC=VBA2+AC2=5,

:DMLAB,DN±AC,

：.ZDMA^ZDNA=ZBAC=90°,

四邊形。跖4N是矩形，

：.MN=AD,

...當(dāng)AOLBC時，AO的值最小，

此時，/XABC的面積=1A3XAC=23CXA。，

22

，但ABXAC上,

BC5

...MN的最小值為理；

5

故選：A.

【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

【變式1-1】如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AD是N3AC的平分線，點E是A3上

任意一點.若CD=5,則DE的最小值等于（）

D

AEB

A.2.5B.4C.5D.10

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到即可，

【解答】解：當(dāng)時，DE的值最小，

:A。是NB4c的平分線，ZC=90°,CD=5,

...DE的最小值=CD=5,

故選：C.

【點評】本題考查的是角平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是知道垂線段最短，本題比較典型，難度適

中.

【變式1-2］如圖，在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點，點P是AC

邊上一個動點，連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最

小值是（）

B.1C.V2D1

如圖，CD的上方，作等邊ACDM,連接PM,過點M作MHLCB于H.

ADPQ,4DCM都是等邊三角形

.,.ZCDM=ZPDQ=60°

.*.DP=DQ,DM=DC,

，ADPM^ADQC（SAS）,

.*.PM=CQ.

...PM的值最小時，CQ的值最小，

當(dāng)PM±MH時，PM的最小值=?1=表1）=1

ACQ的最小值為1故選:B.

題型二將軍飲馬問題

【例2】（德州中考）如圖，正方形A3CD的邊長為6,點E在3c上，CE=2.點、M是

對角線3。上的一個動點，則EM+CM的最小值是（）

A.6^2B.3遙C.2^/13D.4713

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化ME,

的值，從而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接AE交3。于M點，

VA.C關(guān)于3。對稱，

：.AE就是ME+MC的最小值，

?.?正方形ABCD中，點E是上的一定點，且CE=6-2=4,

?*-AE=4鏟+42—2>/13，

：.ME+MC的最小值是2g.

【點評】本題主要考查的是軸對稱--路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，

明確當(dāng)點A、M、E在一條直線上時，ME+M4有最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（荷澤中考）如圖，在菱形A3CD中，AB=2,ZABC=60°,M是對角線

3。上的一個動點，CF=BF,則MA+MR的最小值為（)

C.V3D.2

【分析】當(dāng)昭4+MF的值最小時，A、M、R三點共線,即求AR的長度，根據(jù)題意判斷

△ABC為等邊三角形，且尸點為3c的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AF的長度

即可.

【解答】解：當(dāng)A、M,尸三點共線時，即當(dāng)M點位于時，的值最小,

由菱形的性質(zhì)可知,

AB=BC,

又?.?NABC=60°,

△ABC為等邊三角形,

?萬點為5C的中點,AB=2,

：.AF±BC,CF=FB=1,

在RtAABF中，AF=^AB2_Bp2=如.

故選：C.

【點評】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，確定的4+敏的最

小值為AF的長度是關(guān)鍵.

【變式2-2］如圖，等腰三角形A3C的底邊長為6,腰AC的垂直平分線ER分別交

邊AC,A3于點E,F,。為3c邊的中點，M為線段ER上一動點，若的周長的

最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為（)

B.39C.42D.30

【答案】D

【詳解】如圖，連接A。，交EF于點M.

:AABC是等腰三角形，。是邊的中點，/.AD±BC,CD=^BC=3.7所是線段

AC的垂直平分線，

?:點C關(guān)于直線EF的對稱點為人AM=CM,.：此時△CDM的周長最小，

.：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,.：AD=13-CD=13-3=10,.".SAABC=^

BCAD=-x6xl0=30.

2

【變式2-3】已知點P在ZMON內(nèi).

（1）如圖①，點P關(guān)于射線OM、ON的對稱點分別是G、H,連接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。，則OGH是什么特殊三角形？為什么？

②若/MQV=90。，試判斷G//與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖②，若/MON=30。，A、3分別是射線0河、ON上的點，ABLON于點3,點P、

。分別為。AAB卜.的兩個定點，且0B=L5,OP=AQ=2,^OB上.有一動點E,試求a+QE

的最小值.

【答案】⑴①OGH是等邊三角形，理由見解析；②GH=2OP，理由見解析

⑵PE+QE的最小值為5.

【分析】（1）①由軸對稱的性質(zhì)可得。尸=OG=OH,ZPOM=ZGOM,ZPON=ZHON.根

據(jù)“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形，，即可得出QG"是等邊三角形；②當(dāng)

/MON=90。時，ZGOH=180°,G、。、“在同一直線上，由此可得G”與OP的數(shù)量關(guān)系；

（2）過。作ON的對稱點Q',連接PQ',交ON于點E,連接，則PE+QE的最小值為尸。，

由已知條件可得NOAB=60。，易得AP=5,AQ=5,由此可得是等邊三角形，即可

得PQ'的長，即尸E+QE的最小值.

【詳解】（1）解：①OG。是等邊三角形，

點P關(guān)于OM對稱的點為G,

：.OP=OG,ZPOM=Z.GOM,

同理O尸,ZPON=ZHON,

：.OG=OH,

'：/MON=30。，

/.NGO〃=60。，

OGH是等邊三角形.

@GH=2OP,

當(dāng)/MON=90。時，ZGOH=180°,

：.G.。、H在同一直線上，OP=OG=OH.

'：GH=OG+OH=2OC,

：.GH=2OP-

(2)解：過。作ON的對稱點。，連接PQ',交ON于點E,連接。E,

：.PE+QE最小值為尸Q'.

VZMON=30°,ZABO=90°,

：.ZOAB=60°.

?：AQ=OP=2,QB=1.5,

：.AB=3.5,

：.OA=2AB=7,

，AP=5.

:點。與。'關(guān)于ON對稱，

QB=Q'B=1.5,

/.AQ'=5,

△AP。是等邊三角形，

:.PQ'=5,

即PE+QE的最小值為5.

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性

質(zhì).熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-4]（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點P

在對角線8。上，過點尸作肱交邊AD,3C于點N,過點“作交8。

于點E,連接EN,BM,DN.下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形胸D的面積不變；③當(dāng)

96

3:MD=1:2時，SAMPE=—.,④3M+肱V+ND的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號

是.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理

可以得出血）=10,MN*,,利用S四邊形MBND=；MNxJB。判斷②；根據(jù)相似可以得到

"[MT，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④。

>DABVBDJ

【詳解】解：?；EM=EN,MN1BD,

：.MP=PN,

在點尸移動過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

延長ME交BC于點”,

則為矩形，

?*-BD=y/AB2+AD2=762+82=10

*：ME±AD,MN工BD,

：./MED+ZMDE=ZMEP+/EMN=90。,

：.ZMDE=ZEMN,

：.MHNsDAB,

.MHHNMN

**AD-AB-?

口口6HNMN

即一二^=——，

8610

g15

解得：HN=W，MN=—,

???S四邊形MBND=SBMN+$.=gMNxBP+gMNxDP=^MNxBD=xlO=得

乙乙乙乙乙乙

故②正確；

ME//AB,

/./\DME^ADAB,

.MEMD2

**AB-AD-3?

/.ME=4,

VZMDE=ZEMN,ZMPE=AA=90°,

：._MPEs&DAB,

.S小便E)2二4

??s?！盵BD)259

44196

??SMPE.DAB"六X5X6X8=——,

故③正確，

BM+MN+ND=BM+ND+—,

2

即當(dāng)M8+A?最小時，BM+ACV+A?的最小值，作3、。關(guān)于短)、3c的對稱點4、R,

9

把圖1中的CR向上平移到圖2位置，使得CD=5,連接與2,即4A為MB+A?的最小值,

7

則AC=8A=],即=12,

這時B}DX={BD：+BB：=J]]+12?=y,

即BM+MV+A?的最小值是20,

故④正確；

故答案為：②③④

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型三旋轉(zhuǎn)最值問題

【例3】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點E

為高瓦）上的動點.連接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CP.連接"，EF,DF,

則..CD9周長的最小值是.

BC

【答案】3+3^/373+3

【分析】根據(jù)題意，證明C3E四。進(jìn)而得出F點在射線"上運動，作點C關(guān)于"的

對稱點C"連接DC,設(shè)CC交AF于點0,則/AOC=90。，則當(dāng)D￡C‘三點共線時，F(xiàn)C+FD

取得最小值，即尸C+QnkC+PDnCZy,進(jìn)而求得C3,即可求解.

【詳解】解：?二￡為高3。上的動點.

/.ZCBE^-ZABC^30°

2

：將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.ABC是邊長為6的等邊三角形,

CE=CF,ZECF=ZBCA=60°,BC=AC

CBE—CAF

：.ZCAF=ZCBE=30°,

尸點在射線"上運動,

如圖所示，

作點C關(guān)于"的對稱點C,連接DC,設(shè)CC交"于點。，則-4OC=90。

在RtAOC中，ZCAO=30°,貝l]CO=；AC=3,

則當(dāng)三點共線時，尸C+FD取得最小值，即/C+FD=9C+bD=CD

<?CC'=AC=6,ZACO=NC'CD,CO=CD

：.ACO^.C'CD

：.ZC'DC=ZAOC=90°

在.C'DC中，C'D=7CC,2-CD2=V62-32=373,

/..CDF周長的最小值為CD+FC+CD=CD+DC=3+343,

故答案為：3+35

【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角

形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【變式3-1】如圖，在.ABC中，ZCAB=90°,A5=AC=1,P是.ABC內(nèi)一點，求Bl+PB+PC

的最小值為

【分析】將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得4DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC

轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF,此時當(dāng)3、P、F、。四點共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值

為3。的長；根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：將△APC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得△DRC,連接PR、AD,DB,過點。作

DELBA,交BA的延長線于點E；

：.AP=DF,ZPCF=ZACD=60°,PC=FC,AC=CD,

:.APCF、△AC。是等邊三角形，

：.PC=PF,AD=AC=\,ZDAC=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

.?.當(dāng)3、P、F、。四點共線時，PA+P3+PC的值最小，最小值為3。的長；

VZCAB=90°,ZCAD=6O°,

：.ZEAD=3Q°,

：.DE=-AD=-,

22

：.AE=>JAD2-ED2=—,

2

，BE=\+—,

2

，BD=^BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值為近上交.

2

故答案為：近±2.

2

&

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將AAPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△￡>",

將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上.

【變式3-2］如圖，已知矩形A3CD,AB=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為3c

邊上任意一點，則M4+MD+ME的最小值為.

A,D

BIEFIC

【答案】4+3g

（分析】將^AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AM'D',則MD=MD,△AMM'

均為等邊三角形，推出可得共線時最短；

由于點E也為動點，可得當(dāng)。時最短，此時易求得DE=DG+GE的值；

（詳解］解：將^AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AM'D',

由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD=M'D',和△AW均為等邊三角形，

：.MA+MD+ME^D'M+MM'+ME,

：.D'M.MM\ME共線時最短，

由于點E也為動點，

，當(dāng)D'ELBC時最短，此時易求得D'E=D'G+GE=4+373

：.MA+MD+ME的最小值為4+3若，

故答案為：4+3石

【點睛】本題考查軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬

于中考填空題中的壓軸題.

【變式3-3］如圖，正方形ABC。的邊長為4,點尸是正方形內(nèi)部一點，求PA+2P3+五PC

的最小值.

【答案】4癡

【分析】延長DC到H,使得C"=2BC=8,則BH=46，在NCB”的內(nèi)部作射線即，使

得NPBJ=NCBH，使得BJ=4BP,連接PJ,JH,AH.先證明△/BPs/^c,可得PJ=2PB,

再證明APBCSAJBH,可得：HJ=&c,從而得至1」出+228+石/^=/>4+尸/+924”,

計算出的長度即可.

【詳解】解：延長。C至U5,使得CH=25C=8,則BH=4石，在NCBH的內(nèi)部作射線刃,

使得NPBJ=NCBH,使得BJ=麻P,連接夕，JH,AH.

?PB_BJ

一BC~BH

：.JBPsHBC,

ZBPJ=ZBCH=90°,

PJ=NBJ?-PB?=yj(y[5PB)2-PB2=2PB,

PBBC

ZPBC=ZJBH,——=——

BJBH

PBCs^JBH,

下

?.?PC—PB—,

JHBJ5

:.HJ=yf5PC

PA+2PB+75PC=PA+PJ+HJ,

PA+PJ+JH>AH,

PA+2PB+75PC>V42+122=4710,

.?.尸4+2尸3+舟。的值最小，最小值為4M.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的

性質(zhì)，，正確理解費馬點問題，禾煙相似構(gòu)造2所與?PC,根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小

構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，YABCD的面積為12,AC=BD=6,AC與交于點O.分別過點C,。作8。，

AC的平行線相交于點孔點G是。的中點，點尸是四邊形OCM>邊上的動點，則PG的

A.1B.也C.-D.3

22

【答案】A

【分析】先證明OC=OD,四邊形OCFD是菱形，如圖，連接OF,GP,而點6是8的

中點，可得G為菱形對角線的交點，OFLCD,當(dāng)GPLCF時，GP最小，再利用等面積

法求解最小值即可.

【詳解】解：,?,YABCD,AC=BD=6,

.,.YABCD是矩形，

OC=OD,

'：OC//DF,DO//CF,

...四邊形0cM>是菱形，

如圖，連接OF,GP,而點6是。。的中點，

...G為菱形對角線的交點，OF1CD,

.,.當(dāng)GPLCF時，G尸最小，

：YABCD即矩形ABCD的面積為12,AC=BD=6,

OC=OD=3,S.D=；X12=3,

??S菱形0cm=2sOCD=6,

?V_1-3

.?3CGF_WX6_5，

由菱形的性質(zhì)可得：CF=3,

13

/.-x3xGP=-,

22

：.GP=1,即GP的最小值為1.

故選A

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂

線段最短的含義，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

2.已知在放/CB中，ZC=90°,ZABC=75%AB=5.點E為邊AC上的動點，點歹為邊AB

上的動點，則線段FE+E5的最小值是（）

A.亭B.|C.75D.石

【答案】B

【分析】作點R關(guān)于直線A3的對稱點F,如下圖所示，止匕時跳再由點

到直線的距離垂線段長度最短求解即可.

【詳解】解：作點/關(guān)于直線A3的對稱點E，，連接NF,如下圖所示：

由對稱性可知，EF=EF),

止匕時EF+EB=EF'+EB,

由“點到直線的距離垂線段長度最小”可知，

當(dāng)「時，EF+EB有最小值BFo,此時E位于上圖中的Eo位置，

由對稱性知，ZCAFo=ZBAC=900-75°=15°,

：.ZBAFo=3Q°,

由直角三角形中，30。所對直角邊等于斜邊的一半可知，

BFo=1AB=^x5=|,

/22

故選：B.

【點睛】本題考查了30。角所對直角邊等于斜邊的一半，垂線段最短求線段最值等，本題

的核心思路是作點/關(guān)于AC的對稱點，將ER線段轉(zhuǎn)移，再由點到直線的距離最短求解.

二、填空題

3.如圖，P是菱形A3CD對角線3。上一點，PELAB于點E,PE=4cm,則點P到3C

的距離是cm.

【答案】4

【分析】利用菱形對角線平分一組對角，得到3。平分NA3C,再利用角平分線的性質(zhì)

可得P到BC的距離為4cm.

【詳解】根據(jù)菱形對角線平分一組對角，

.?.5。平分NABC,

:?P到BC的距離=P到AB的距離，

到A3的距離為PE的長，即為4cm,

到3c的距離為4cm,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在aASC中，NC=90o,AC=8C=6.p為邊A3上一動點，作3c于點￡>,PEVAC

于點E,則DE的最小值為.

【答案】3亞

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出43,判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的

對角線相等可得DE=CP,再根據(jù)垂線段最短可得CP,9時，線段DE的值最小，然后根

據(jù)直角三角形的面積公式列出方程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

?*-AB=7AC2+BC2=A/62+62=6拒，

?；PD_LBC于點D,PELAC于點E,ZACB=90°,

???四邊形CDPE是矩形，

/.DE=CP,

由垂線段最短可得“，他時，線段CP的值最小，此時線段DE的值最小,

止匕時，S^ABC=^AC-BC=^AB-CP,

代入數(shù)據(jù)：，|x6x6=|x6-\/2xCP

CP=3亞,

...DE的最小值為34,

故答案為：34.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CPLAB

時，線段DE的值最小是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,按下列步驟作圖：①在AC

和A8上分別截取AD、AE,使=②分別以點。和點E為圓心，以大于的長

為半徑作弧，兩弧在/BAC內(nèi)交于點③作射線4W交BC于點色若點P是線段AF上

的一個動點，連接CP,貝IJCP+^AP的最小值是.

【答案】26

【分析】過點P作于點Q,過點。作于點H,先利用角平分線和三角形

的內(nèi)角和定理求出/BAF=30。，然后利用含30。的直角三角的性質(zhì)得出尸。=；AP,則

CP+^AP=CP+PQ>CH,當(dāng)C、P、Q三點共線，且與48垂直時，最小，CP+^AP

最小值為CH,利用含30。的直角三角的性質(zhì)和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面積

法求解即可.

【詳解】解：過點尸作于點Q,過點C作C"J_A3于點H,

由題意知："平分/BAC,

VZACB=90°,ZABC=30°,

?IZBAC=6D°,

/.ZBAF=-ABAC=30°,

2

/.PQ=^AP,

：.CP+^AP=CP+PQ>CH,

...當(dāng)C、P、。三點共線，且與A3垂直時，最小，CP+；AP最小值為S,

VZACB=90°,ZABC=3Q°,AC=4,

/.AS=2AC=8,

BC=y/AB2-AC2=473，

S=-ACBC=-ABCH,

,AABHCC22

?ACBC4x46

??CH----------=---------=2^/^,

AB8

即CP+；AP最小值為26.

故答案為：2省.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知

識，注意掌握利用等積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

6.菱形A3CD的邊長為2,/ABC-45。，點P、Q分別是BC、8。上的動點，CQ+PQ的最

小值為.

【答案】亞

【分析】過點C作CELA3于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線

段最短可知CE為RG+CG的最小值，當(dāng)尸與點R重合，。與G重合時，PQ+QC最小，

在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CELAB于E,交3。于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問

題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點f重合,Q與G重合時,PQ+QC

最小，

菱形ABCD的邊長為2,XABC=45°,

.'.RtBEC中，EC=—BC=42

2

???PQ+QC的最小值為近

故答案為：72

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段

和的最小值是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在RtA4BC中，ZACB=9Q,AC=BC,點C在直線初V上，/BCN=6Q,點P為

MN上一動點，連接針，BP.

（I）使AP+3尸取最小值的動點P的位置在點C的側(cè).（填“左”或“右”）.

（II）當(dāng)AP+3P的值最小時，請直接寫出NCB尸的度數(shù)..

【答案】左15。/15度

【分析】本題考查了求將軍飲馬問題，軸對稱的性質(zhì)，等