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文檔簡介
浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義
第一單元數(shù)與式
《第2講整式與因式分解》
【知識(shí)梳理】
1.整式的有關(guān)概念
⑴單項(xiàng)式:由教與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也
叫單項(xiàng)式.
(2)多項(xiàng)式:由幾個(gè)單項(xiàng)式」組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式.
(3)整式:單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
(4)單項(xiàng)式的次數(shù):一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).
(5)單項(xiàng)式的系數(shù):單項(xiàng)式中的數(shù)字因教叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).
(6)多項(xiàng)式的次數(shù):一個(gè)多項(xiàng)式中,次數(shù)^<^的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).
2.同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng)
(1)同類項(xiàng):多項(xiàng)式中,所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng),所有的常數(shù)項(xiàng)
也看做同類項(xiàng).
(2)合并同類項(xiàng):把同類項(xiàng)的條數(shù)相力口,所得結(jié)果作為系數(shù),字母和字母的指數(shù)不變.
3.整式的運(yùn)算
(1)整式的加減:整式的加減可以歸結(jié)為去括號(hào)和合并同類項(xiàng).
(2)正整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算:
①同底數(shù)幕相乘:j?an=a",+"(>77,n都是正整數(shù)).
②幕的乘方""(小,n都是正整數(shù)).
③積的乘方:(")"=a"b"。是正整數(shù)).
④同底數(shù)累相除:0m一"(存0,m,n都是正整數(shù),且m>n).
(3)整式的乘法:
①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:
m(a+6+c)=.
②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:
(m+")(a+6)=.
(4)整式的除法:
①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除,作為商的因式,對(duì)于只在被除式里含有的字母,則連
同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.
②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式:先把這個(gè)多項(xiàng)式的除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
4.常用公式
(1)平方差公式:兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩數(shù)的平方差,即(。+6)(。一式=層一刀.
⑵完全平方公式:兩數(shù)和(或差)的平方,等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍,即(a±6)2=
(3)常用恒等變形:
@a~+b2=(a+6)2—2ab=(a—Z?)2+2ab.
②(a—b)2=(a+—4ab.
5.因式分解的概念及方法
(1)因式分解:一般地,把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整灰的積的形式,叫做因式分解.因式分解和整式的乘法
有互逆關(guān)系,因此,可以用整式的乘法運(yùn)算來檢驗(yàn)因式分解的正確性.
(2)公因式:一般地,一個(gè)多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的相同的因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.
(3)提取公因式法:如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么可把該公因式提取出來進(jìn)行因式分解.這種分解
因式的方法,叫做提取公因式法.用字母表示為:
ma+mb-\-mc=〃t(a+Z>+c).
(4)公式法:
①平方差公式療一〃=(a+B)(a一方).
②完全平方公式:4+lab+b2—(a+b)2,cr—lab+b2—(a—b¥.
(5)二次多項(xiàng)式V+g+qM+pq可以因式分解為(x+p)(x+0).
(6)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),(a—6)"=—a)";當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),(a—b)"=(b—a)".
【考題探究】
類型一代數(shù)式
[例1]某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每月用水量不超過17立方米,每立方米a元;超過部分每立方米(a+
1.2)元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米,則應(yīng)繳水費(fèi)為(D)
A.20a元B.(20a+24)元
C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元
【解析】由題意得,應(yīng)繳水輪為17a+(20—17)(a+L2)=(20a+3.6)元.
變式1—1[2024?廣安]下列對(duì)代數(shù)式一3x的意義表述正確的是(C)
A.13與x的和B.13與x的差
C.-3與x的積D.-3與x的商
變式1—2[2024?雅安]如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖(單位:cm),在探究紙杯疊放在
一起后的總高度y與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中,我們可以獲得以下數(shù)據(jù)(字母),請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副?/p>
zjsy=h+an.
變式1—2圖
①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)-
②杯口直徑力;
③杯底直徑dr,
④杯沿高a.
類型二整式的有關(guān)概念
【例2][2024?長春]單項(xiàng)式一2°2/,的次數(shù)是3.
變式2若單項(xiàng)式3^+2〉與一2x6y是同類項(xiàng),則m=4.
類型三零的運(yùn)算
【例3】[2024?浙江]下列式子運(yùn)算正確的是(D)
B.X3?^—x6
C.(x3)2=x9D"/=無4
變式3[2023?寧波]下列計(jì)算正確的是(D)
A.X2+X=X3B.X6-rX3=X2
C.(x3)4=:x7D.X3?尤4=尤7
類型四整式的化簡與求值
[例4][2023?金華]已知x=|,求(2x+l)?(2x-l)+x(3—4x)的值.
解:原灰=47—l+3x—4%2=3%—1.
1i
當(dāng)x=W時(shí),原式=3Xq—1=0.
變式4一1[2024,長沙]先化簡,再求值:2機(jī)一機(jī)(加一2)+(濟(jì)+3)(加—3),其中
解:原t^=2m—nr+2m+m2—9=4m—9.
當(dāng),w=|時(shí),^=4x|—9=10—9=1.
變式4—2[2024-赤峰]已知q—3=o,求代數(shù)式5―zp+g—1)(°+3)的值.
解:原式=/—4a+4+,+3a—a-3
=2?2—2?+l.
Va2一a一3=0,
.".a2—?=3.
當(dāng)a2—a—3時(shí),原式=2(/-a)+l=2X3+l=6+l=7.
類型五整式的規(guī)律型問題
【例5】[2023?嘉興、舟山]觀察下面的等式:
32-42=8x1,
52—32=8X2,
72—52=8X3,
92—72=8X4,
(1)寫出192—172的結(jié)果.
(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含n的等式表示,n為正整數(shù)).
(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí),推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的.
解:(1)..T7=2X9-L
.,.192—172=8X9=72.
(2)(2〃+1)2-(2M-1)2=8n.
(3)'.'(2n+l)2一(2n—I)2
=(2/i+l+2n-l)(2/i+l-2n+l)=4nX2=8n,
:.結(jié)論正確.
變式5—1[2024?云南]在按一定規(guī)律排列的代數(shù)式:2x,3/,4/,5尤t6/…中,第〃個(gè)代數(shù)式是(D)
A.2廣B.(n-l)^
C.wd'+XD.(n+l)y!
變式5—2[2024?河北]“鋪地錦”是我國古代一種乘法運(yùn)算方法,可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法
和簡單的加法運(yùn)算.淇淇受其啟發(fā),設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”,圖1表示132X23,運(yùn)算結(jié)果為3036.
圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘,表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋,根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷,正確
的是(D)
132
2
3□□□
▼▼下
O29
——<-136
>i
3o
36
圖1
變式5—2圖
A.“20”左邊的數(shù)是16
B.“20”右邊的“口”表示5
C.運(yùn)算結(jié)果小于6000
D.運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100〃+1025
【解析】設(shè)這個(gè)三伍教與這個(gè)兩傳數(shù)分別為100x+10j+z和10/W+H,如答圖1,
變式5—2答圖1
則由題意,得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,
?GN/?
..—=4,即m=4n,
:?當(dāng)n=2,y=l時(shí),z=2.5不是正整教,不合題意,舍去.
當(dāng)〃=l,y=2時(shí),根=4,z=5,x=〃,如圖2,
變式5-2答圖2
???“20”左邊的數(shù)是2X4=8,故A不符合題意,
“20”右邊的表示4,故B不符合題意,
:.a上面的數(shù)應(yīng)為4a,如答圖3,
4Q+1。25
變式5-2答圖3
???運(yùn)算結(jié)果可以表示為1000(4?+1)+100?+25=4100。+1025,
**?D符合題意.
當(dāng)a=2時(shí),計(jì)算的結(jié)果大于6000,
故C不符合題意.
類型六因式分解
[例6][2024?浙江]因式分解:次—7〃=。3—7).
變式6—1因式分解:
(1)[2023?杭州]4/-1=(A)
A.(2〃-1)(2〃+1)B.(〃-2)(〃+2)
C.(Q—4)(。+1)D.(4〃-1)(〃+1)
(2)f—2x+1=(x—I)2.
(3)[2024,北京]x3—25x=x(x+5)(x—5).
(4)[2024?達(dá)州]3f—18x+27=3行一3)2.
變式6—2[2024?廣西]如果〃+Z?=3,次?=1,那么〃36+2〃2/+加的值為(p)
A.OB.1
C.4D.9
【解析】Va+b=3,ab=l,
a3b+2a2b2+ab3.
=ab(a+b)2
=1X32=9.
類型七整式的應(yīng)用
【例7][2023?金華]如圖是一塊矩形菜地ABC£),AB=a(m),AD=6(m),面積為sg?).現(xiàn)將邊AB增加1m.
⑴如圖1,若。=5,邊減少1m,得到的矩形面積不變,則b的值是6.
(2)如圖2,若邊AD增加2m,有且只有一個(gè)。的值,使得到的矩形面積為2s(n?),則s的值是6+4人.
典例7圖
【解析】(1)由題意,得s=(a+l)S—1)=6(3—1)=5瓦解得b=6.
(2)由題意,得(a+l)(Z>+2)=2s,即ab+2a+fe+2=2s.
…而,得吟,
代人上式并整理,得2a2+(2~s)a+s—0.
當(dāng)4=0對(duì),a有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解,
得(2-S)2-4X2XS=0,
瞥得si=6+4V2,S2=6—4&(不合題意,舍去).
變式7[2023,麗水]如圖,分別以a,b,m,n為邊長作正方形,已知m>n且滿足am—bn—2,an+bm—4.
(1)若a=3,b=4,則圖1陰影部分的面積為25.
(2)若圖1陰影部分的面積為3,圖2四邊形A8C。的面積為5,則圖2陰影部分的面積為一|_.
【解析】(2)由題意,得。2+"=3,圖2中四邊形ABCD的面積=g(?i+")(Mi+")=g(ffi+")2=5,陰影部分的面積
(am—bn=2,
斛關(guān)于m,n的二元~次方程組,
van+bm=4,
4a~2b
n=―--,
得
4b+2a
m=―--
,.2b+6a8a2-\~12ab~8b2
則m-vn=—--,mn=-------------------,
川平二,
:.2b2+12ab+lSa2=45,
:.16a2+12ab=39,
:.8a2+12ab=39-Sa2,
.39-8。2-助25
??mn=-----------------=
【課后作業(yè)】
1.[2023?河北]代數(shù)式一7x的意義可以是(C)
A.-7與x的和B.—7與x的差
C.—7與x的積D.一7與x的商
2.[2024?河南]計(jì)算(g?a??????的結(jié)果是(D)
a個(gè)
A.a5B.a6
C.aa+3D.2
3.[2024?安徽]下列計(jì)算正確的是(C)
A.C?+〃="6B.6Z64-6Z3=(22
C.(一〃)2=〃2D.Va^=a
4.[2024?云南]分解因式9〃=(A)
K.a(a—3)(〃+3)B.Q(〃+9)
C.(a—3)(Q+3)D.〃2(a—9)
5.[2024?河北]若a"是正整數(shù),且滿足2a+2。1----卜2a=2bx2bX…X2b,則a與。的關(guān)
8個(gè)2a相加8個(gè)2b相乘
系正確的是(A)
A.a+3=8。B.3tz=8b
C.a+3=b8D.3a=8+人
6.[2023?隨州]如圖1,有邊長分別為。和伙的A類和3類正方形紙片、長為人寬為b
的C類矩形紙片若干張,要拼一個(gè)邊長為a+b的正方形(如圖2所示),則需要1張A類紙片、
1張B類紙片和2張C類紙片.若要拼一個(gè)長為3a+b,寬為2a+2b的矩形,則需要C類紙片
的張數(shù)為(C)
cB
AC
Aab
圖1圖2
第6題圖
A.6B.7
C.8D.9
【解析】,:(3a+b)(2a+2b)—6a2+6ab+lab+lb1—6a2+8ab+2b2,
???若要拼一個(gè)長為3。+從寬為2a+2b的矩形,則需要。類紙片的張數(shù)為8.
7.已知(。+份2=49,/+/=25,貝1]46=(C)
A.24B.48
C.12D.2V6
【解析】(a+b)2=a2+lab+b2=49,a2+b2=25,
lab=(a+b¥—(a2+Z>2)=24,/.ab=12.
8.[2024?德陽]若一個(gè)多項(xiàng)式加上f+3盯一4,結(jié)果是3xy+2y2—5,則這個(gè)多項(xiàng)式為儼―
1.
9.[2024?蘇州]若。=)+2,則(。一a)2=4.
【解析】'."a=b+2,a=-2,
:.(b-a)2=(-2)2=4.
10.因式分解:⑴[2024?吉林改編]。2—4a=a(a—4).
(2)[2024?宜賓]2a2—2=2(a+l)(a—l).
(3)[2024,揚(yáng)州改編]fy—2xy+y=y(x—1戶.
(4)[2024?威海](x+2)(x+4)+l=(x+3)2.
11.[2024?湖州模擬]古希臘一位莊園主把一邊長為。米(a>4)的正方形土地租給老農(nóng),第二年
他對(duì)老農(nóng)說:“我把這塊地的一邊增加4米,相鄰的一邊減少4米,變成長方形土地繼續(xù)租給你,
租金不變后來老農(nóng)發(fā)現(xiàn)收益減少,感覺吃虧了.聰明的你幫老農(nóng)算出土地面積其實(shí)減少了
16平方米.
【解析】,**a2—(a+4)(a—4)
=a2—(a2—16)
=16(平方米),
,土地面積其實(shí)減少了16平方米.
12.[2024?廣安]若/一2x—3=0,則2-1=7.
13.若3x2myn與x4~nyn~l是同類項(xiàng),則m+n=3.
【解析】?/3a”產(chǎn)與x4-ny,-1是同類項(xiàng),
.(2m—4—n,(m=l,
,,)解得J
{m=n—l,5=2,
.*.m+n=1+2=3.
14.[2023?涼山州]已知V—my+1是完全平方式,則m的值是土2.
【解析】''y2—my+\是完全平方式,1/—2y+l=(y—l)2,y2—(―2)y+l=(y+l)2,
—m=-2或j—m=2,.*./?=+2.
15.化簡:
(1)[2024?重慶A卷]x(x—2y)+(x+y)2.
解:原式=——2xy+x2+2xy+y2
=2x1+y1.
(2)[2023?山西]x(x+2)+(x+l)2—4x.
解:原式=X2+2X+*2+2X+1—4x
=2x2+l.
16.先化簡,再求值:
(1)[2024?南充](x+2)2—+其中x=-2.
解:原式=(*2+4X+4)—(N+3)
=x2+4x+4—x2—3
=4x+l.
當(dāng)x=-2時(shí),原式=4X(—2)+1=-7.
(2)[2024?包頭](尤+1)2—2。+1),其中x=2V2.
解:原式I=/+2X+1—2x—2="2—1.
當(dāng)x=2^/^時(shí),原式=8—1=7.
17.[2024?
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