2025年高考數(shù)學模擬試卷3（全國卷理科）詳細解析

2025年高考數(shù)學模擬試卷03（全國卷理科）

數(shù)學（理科）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.若集合A={xeN|y=百=I},8={0』},則集合AcB的真子集的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

abz—i

2.定義運算，=?！?歷，則滿足b=0（i為虛數(shù)單位）的復數(shù)z在復平面內對應的點在（）

ca1-1-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量力=（3,3）石=（蒼-3）,則+是“x=-3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的V的值為4,則輸入的x的可能值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.甲、乙、丙、丁、戊5位同學報名參加學校舉辦的三項不同活動，每人只能報其中一項活動，每項活動

至少有一個人參加，則甲、乙、丙三位同學所報活動各不相同的概率為（）

A.AB.Ac.2D.?

1825259

6.若x=a+ln6,y=a+glnb,z=a+21n60wl）成等比數(shù)歹!],則公比為（）

A.—2B.—3C.—D.2

15

7.已知圓。的方程為：Y+>2=1,點4（2,0）,8（0,2）,尸是線段AB上的動點，過P作圓。的切線，切

點分別為C,D,現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形尸COD的面積的最小值為1；②四邊形尸COD的面積的最

3

大值為6；③卮.麗的最小值為-1;④定.廂的最大值為成.其中所有正確說法的序號為（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

8.已知函數(shù)〃元）=sin◎r+2cos2號（。>0）在[0,可上有且僅有4個零點.則圖象的一條對稱軸可能的

直線方程為（）

9.已知函數(shù)〃x）=（依+1產，給出下列4個圖象:

其中，可以作為函數(shù)“X）的大致圖象的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10.中國古代數(shù)學家很早就對空間幾何體進行了系統(tǒng)的研究,中國傳世數(shù)學著作《九章算術》卷五“商功”

主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計算公式,例如在推導正四棱臺（古人稱方臺）體積公

式時，將正四棱臺切割成九部分進行求解.右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.E對應的是

正四棱臺中間位置的長方體，B、。、H、產對應四個三棱柱，A、C、/、G對應四個四棱錐.若

這四個三棱柱的體積之和等于長方體E的體積，則四棱錐/與三棱柱H的體積之比為（）

A.3:1B.1:3C.2:3D.1:6

22

11.已知雙曲線C：a-方=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為耳、F2,雙曲線C的離心率為e,在第一

象限存在雙曲線上的點P,滿足e-sin/P「K=l,且以4雕=4a②，則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0

C.3x±y=0D.x±3y=0

12.己知方程e2x-axeA+9eV=0有4個不同的實數(shù)根，分別記為國,々，鼻,匕，則

A.（0,16e4）B.（0,12e4）C.（0,4e4）D.（0,8e4）

第二部分（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某校高三年級在一次模擬訓練考試后，數(shù)學教研組為了解學生數(shù)學學習現(xiàn)狀和后期更有效的教學，從

參加考試的學生中抽取了100名學生的數(shù)學成績，進行統(tǒng)計分析，制作了頻率分布直方圖（如圖）.其

中，成績分組區(qū)間為[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,

[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140,150].用樣本估計總體，這次考試數(shù)學成績的中位數(shù)的估計

值為______

14.已知函數(shù)”X）是奇函數(shù)，當尤>0時，〃x）=x"+l,則的圖象在點（-lj（-l））處的切線斜率

為.

x-y+l>0

15.已知實數(shù)尤,V滿足,3x-y-3W。，則2元+y的最小值為.

x+y-l>0

16.已知圓臺。02的軸截面是梯形A3CO,AB//CD,BC=5拒,CD=2AB,圓臺的底面圓周都在

球。的表面上，點0在線段。。2上，且。。1=2。。2,則球。的體積為.

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17?21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分.

17.(12分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足6cosc+csin3=0.

(I)求角C的大??；

(II)若4=正，b=M，線段8C的中垂線交AB于點。，求線段8。的長.

18.(12分)如圖，在三棱柱ABC-480］中，平面ACG4,平面

⑴若分別為4￡,3片的中點，證明：肱V〃平面ABC；

(2)當直線\B與平面ACQA所成角的正弦值為g時，求平面ABC與平面夾角的余弦值.

19.(12分)甲、乙、丙、丁四人練習傳球，每次由一人隨機傳給另外三人中的一人稱為一次傳球，已知甲

首先發(fā)球，連續(xù)傳球〃(〃eN*,”N3)次后，記事件“乙、丙、丁三人均被傳到球”的概率為2.

(1)當”=4時，求球又回到甲手中的概率；

(2)當〃=4時，記乙、丙、丁三人中被傳到球的人數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學期望；

(3)記Q,=E,-$r-l,求證：數(shù)列｛0｝從第3項起構成等比數(shù)列，并求尸”.

20.在直角坐標系中，設下為拋物線C：V=2px(p>0)的焦點，M為C上位于第一象限內一點.當

礪./=0時，△<?根的面積為1.

⑴求C的方程；

（2）當赤.兩=_3時，如果直線/與拋物線C交于A,B兩點，直線M4,MB的斜率滿足=-2.

證明直線/是恒過定點，并求出定點坐標.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=e'+（a-l）x—l,其中qeR.

⑴討論函數(shù)的單調性；

（2）當a＞1時，證明：/（x）＞xlnx-ocosx.

（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.

22.（10分）在直角坐標系中，曲線G的參數(shù)方程為1=4/’?為參數(shù)），以坐標原點為極點，左軸的

正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為mGcosP-2sinP）=2.

（1）寫出曲線G的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程；

（2）若射線OA/nalvavgp.q與曲線C?相交于點A,將。4逆時針旋轉90。后，與曲線G相交于

點、B,且[08|=2百|OA|,求a的值.

23.（10分）已知函數(shù)〃x）=|x+2|+|2x—3].

（1）求不等式〃無）＞6的解集；

/+-1八4幣

（2）若函數(shù)“X）的最小值為例正實數(shù)a,b滿足"十不一’”，證明：。石-7.

數(shù)學（理科）?詳細解析

第一部分（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求

的。

123456789101112

DDBCCBBDDBAA

1.【答案】D

【詳解】因為A={xwN|3rNO}={O,l,2,3},B={O,1},所以4口3={0,1},

所以集合AcB的真子集的個數(shù)為22-1=3.

故選:D.

2.【答案】D

z-i__/、

【詳解】由題意，]_j_公=?？苫癁?2邊+i?！猧）=。，

所以z二l±i=（"”T）=L」i,

2i-2i222

所以z在復平面內對應的點的坐標為

所以復數(shù)Z在復平面內對應的點在第四象限.

故選：D.

3.【答案】B

【詳解】由題意1（3,3）,]=（x,—3）,貝心+,=（3+x,0）,而（：+.）+4力=x（x+3）=0o尤=0或

x=-3f

所以“（I+力）J”是“x=—3”的必要不充分條件.

故選：B.

4.【答案】C

工4,%,0

0<x<2x..2

【詳解】由題意得y=e4~2\0<x<2若輸出的y的值為4,則

fIn2x=4

In2x,x..2

解得尤=-0或x=2-ln2或x=/,所以輸入的關的可能值有3個.故選：C

5.【答案】C

【詳解】先將5名志愿者分成3組，第一類分法是3,1,1,第二類分法是2,2,1,再分配到三項活動中,

總方法數(shù)為A；=150,

因甲、乙、丙三位同學所報活動各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三項活動上安排好，再讓丁，戊兩人

分別在三項活動中選擇,

549

其方法數(shù)為A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同學所報活動各不相同的概率為2=恚=弓.

故選:C.

6.【答案】B

【詳解】"，Lz成等比數(shù)列.，應=/,

2

即(a+lnb)(a+21nb)=a+~InZ?

/,a2+3alnb+2(ln/?)2=a2+alnb+—()nb)2,1.

4

817.八—InZ?

:.--a=lnb,..公比為2公，

7----------=-3

a+\nb

故選：B.

7.【答案】B

【詳解】如圖，當點尸是AB的中點時，此時OP1AB,|。目最短，最小值為夜,

當點尸與點A或點B重合時，此時|。目最長，最大值為2,

因為PC,尸￡＞是圓。的切線，所以PCLOC,PDLOD,

則四邊形PCOD的面積為|PC||OC|=\PC\=yl\POf~1,

所以四邊形尸COD的面積的最小值為"工=1,最大值為"斤=若，故①②正確;

2

PC-PD=|PC||PD|COSZCPD=|PC|x(2cos2ZOPC-1),

__,22(PO2-1V

PC

同X2——y

國

+百一"阿e[2,4],

設>=/+：一3/e[2,4],函數(shù)單調遞增，最小值為0,最大值為:，故③錯誤，④正確.

故選：B

8.【答案】D

【詳解】“X)=sin?x+2cos2m=sinox+l+cosox=0sin［<wx+2j+l,

令/(x)=0,得sin10x+：)=,

「17T7T7T

因為0,兀，所以。X+-.COTI+-,

L」4|_44_

若“X)在［0,兀］上有且僅有4個零點，則手45+：〈子，解得：W0<5,

人兀7兀72/日4A71+717?7

令cox+—=kn+—,keZ,得力=-----,kGZ因為4V<y<5,

422

LLi、r4E+714fal+7l,4E+兀,r7171

所以「k<一1—4一，1eZ.當k=0,——<X<——,

204G142014

當』，卜，喘，當仁"守X"?只有D符合?

故選：D.

9.【答案】D

【詳解】由題意知，“X)定義域為R,

當。=0時，/(x)=e*,由指數(shù)函數(shù)的單調性可知函數(shù)/'(x)單調遞增，可對應①;

當a>0時，/'(x)=(ox+a+l)e",令/'(x)=0可得：x=-^-<0,所以當時，/,(x)<0,

當時，/'(x)>0,所以，函數(shù)“X)先減后增，且當時，/(x)<0,此時可對應②;

當“<0時，/'(x)=(ox+a+l)eX,當/'(x)=0時x=_^l,當時，/(同>0,當

寸，/，(%)<0,所以，函數(shù)/(x)先增后減，

當a<-L時，尤=-史工<0,且此時0<二<1,所以可對應③，

aa

當一1<°<0時，尤=一但>0,止匕時一所以可對應④.

a

故選：D.

10.【答案】B

如圖，令四棱錐的底面邊長為“，高為"三棱柱的高為6,

所以三棱柱的體積為[a泌，

長方體的體積為因為四個三棱柱的體積之和等于長方體E的體積,

所以42a/76=b%,所以8=2a,

2

因為四棱錐的體積為:

-a2h]

所以四棱錐/與三棱柱H的體積之比為-=--

故選：B.

11.【答案】A

【詳解】

設「周=乙則|P詞=f—2a,而e.sin/PT花=1,所以sin/P7笆=：=’,

所以點尸到月居的距離為|P周sinNP丹外=《，

又|耳周=2c,所以S*%=：2c-q=4a2,

解得/=4a,即|P4|=4a,從而|尸閔=2a,

又因為sin/尸耳月=1=3,

ec

所以cos/P￡g=,1-

在△尸片居中，由余弦定理有COSNP7隹=2=14+(2。)2-(24,

c2.4Q.2C

一h2Ah

所以4〃。=4々2+，一〃2=。2+4Q2,即---+4=0,

aa

b

解得2=2,雙曲線C的漸近線方程為2x土y=0.

a

故選：A.

12.【答案】A

【詳解】易知％=0不是方程e2x-axtx+9e2^2=0的根，

故當工。0時，e2'—oxe"+9e2%2=?？苫癁?土］-tz—+9e2=0,

I%Jx

令才=J,得/-成+9e?=0.

x

設/(x)=E,則/(x)=￡^l,

XX

令/'(x)<。，可得x<0或0cx<1,令用x)>。，可得X>1,

故〃x)在(-8,0)和(0,1)上單調遞減，在(L+s)上單調遞增，〃l)=e,

作出的大致圖象，如圖,

數(shù)形結合可得方程產-S+9e2=0有兩個不相等的實數(shù)根，設為％,4，

則4+，2=丫2=9e?，且%>e,L>e,

A=a2-36e2>0

貝U,解得6e<a<10e,

—2

e2-ae+9e2>0

則

=(桃-M-%+e2)=(10e2-Qe),

由6evavl0e,可得0<(10匕2-oej<16e4.

故選：A.

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.【答案】114

【詳解】觀察頻率分布直方圖，得數(shù)學成績在區(qū)間［60,110)的頻率為(0.01+0.005+0.01+0.015)x10=0.4,

數(shù)學成績在區(qū)間［60,120)的頻率為0.4+0.025x10=0.65,

因此數(shù)學成績的中位數(shù)機e(110,120),且("-110)x0.025=0.1,解得“2=114,

所以這次考試數(shù)學成績的中位數(shù)的估計值為114.

故答案為：114

14.【答案】2e

【詳解】當X<0時，-x>0,貝I］/(-x)=t"，+1,止匕時/0)=-/(-力=那-'-1,所以r(x)=(l-x)ef,

所以r(-l)=2e.

故答案為：2e

15.【答案】1

x-y+\>Q

【詳解】畫出不等式組<3尤-y-3W0所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x+y-120

設z=2x+y,可得y=-2;r+z,

結合圖象可得，當直線>=-2元+z經過點A時，直線在>軸上的截距最小，

即z取得最小值，即目標函數(shù)z=2x+y取得最小值，

又由［|x+—yy+-l1=O。,解得所4=L

故答案為：1.

【詳解】由題意可設圓臺。。2的高為心上、下底面半徑分別為八2小

球。的半徑為H,因為。。1=2。。2，

所以oq=q2/,zOQ=h,

所以產=（2r）2=R2,

得h=3r,R=y/5r,

貝UBC=^/?2+（2r-r）2=VlOr=572,

所以r=A/5，R=5,

三、解答題：共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.第17?21題為必考題，每個試題

考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分.

17.（12分）

【詳解】(I)在△ABC中，???"cosC+csin8=0,

由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0

V0<B<ir,

/.sinB>0,于是cosC+sinC=0,即tanC=-1

V0<C<n

：.C=—

4

(II)由(I)和余弦定理知，c2=a2+b2-labcosC=(A/5)2+(^)2-2xx5/5x二25,

??c=5,

.ca2+c2-b25+25-102石

..COSD=---------=-----==---=----

2ac2xj5x55

設BC的中垂線交5C于點E,

BE

???在中，cosB=——,

BD

好

???如匹=與“

cosB2J54'

可

18.(12分)

【詳解】（1）如圖，取AC的中點尸，連接交AC于點Q,連接QB,

因為M是AG的中點，N是8片的中點,

所以BN//PM,BN=QM,所以四邊形MNBQ是平行四邊形，所以QBUMN,

又QBu平面ABC,MNU平面ABC,所以MN〃平面A^C.

（2）因為ABSAC,平面ACC]A_L平面ABC,平面ACGA0平面ABC=AC^u平面ABC,

所以ASI平面ACGA,

2

所以直線\B與平面ACC.A所成的角為^A\B,則sin/AAB=

在Rt^BAA中，不妨設AB=AC=2,則AB=3,A4,=行，連接CM,

因為A4]=AC=CC],所以CM_L4G.

又平面ABC//平面AB￡，所以平面ACC0J_平面A笈G，

且平面ACGAn平面A4G=AG，CMu平面ACGA,故CM_L平面.

設3c的中點為E,連接ME,

以M為坐標原點，ME,所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則4(。,T,。),c(o,0,2),4(2,—1,0),G(0,1,0),

則屆=(0,1,2),前=而=(-2,2,0),

/、fAC-w=0fy+2z=0

設平面ABC的法向量為為=(x,y,z),貝°，，即‘

BCh=0[-2x+2y=U

不妨取x=2,則有拓=（2,2,-1）,

易知平面A片G的一個法向量為慶=（0,0,1）.

設平面AtBC與平面AB。的夾角為凡

|m-n\1

則cos3=|cos〈玩,n)|=

向I利722+22+(-1)23,

所以平面A.BC與平面A4G夾角的余弦值為1.

19.（12分）

【詳解】（1）傳球的過程中，不考慮第四次傳給誰，有3x3x3x3=81種;

傳球的過程中不傳給甲，第四次傳給甲，有3x2x2x1=12種,

傳球的過程中傳給甲，有3xlx3xl=9種;

12+97

故傳球4次，球又回到甲手中的概率為

8127

（2）根據(jù)題意可得X=2,3,4,

3xlx3xl3xlx3x2+3x2xlx3+3x2x2xl4816

尸(X=2)=尸(X=3)=

81818127

3x2x2x2248

p(X=4)=

8181-27,

故X的分布列如下所示:

X234

J_168

P(x)

92727

則E(X)=2xg+3X"+4X§坐

272727

（3）"次傳球后,乙、丙、丁三人中被傳到球，有兩種情況:

第一種，“24時,1次傳球后，此3人均接過他人傳球，則其概率為匕一；

第二種，時,”-1次傳球后，此3人中只有2人接過他人傳球，則第〃次傳球時將球傳給剩余的1人,

1

其概率為：l-Ei-3xx—?

3'

1_1201

所以當“24時，匕=只-+|1-

故月_&_1=:3x2x18

，因為巴=a=H---I

3x3x393339

所以數(shù)列｛2?｝從第3項起構成等比數(shù)列,

匕一工一1二一久仔］二則上W+L

"3"-19⑴3"-1

20.（12分）

【詳解】（1）由標?赤=0，所以設y0>0,

???SVOFM=；x5xp=l,解得°=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x.

(2)如圖，設n>0,.?.礪=11一],一"],詼=(1,0),

“2

1---=—3,解得〃=4,

4

所以點M的坐標為(4,4).

由題意直線/的斜率不為0,^l：x=my+t,A&,y),3(孫％),

[x=my+t.

聯(lián)立《2：，消去x整理得必一4wy-書=0,

[y~=4x

則%+%=4，〃，%%=-由，A=16(〃，+。＞o,

因為右屋右B=-2,所以"x&^=-2,

A1一今X2一今

2%-4―2

即犬」代J，整理得乂%+4(%+%)=-24,

-------

44

將％+%=4%，乂％二-由代入上式，

：.t=4m+6,滿足A〉0,

所以直線/為x="(y+4)+6,恒過定點(6,-4).

21.(12分)

【詳解】(1)因為/(x)=e*+(a—1卜一1,所以7?'(*=1+々一1,

當。時，/,(x)=ev+a-l>0,函數(shù)/■(*)在R上單調遞增;

當a<1時，由/''(X)=e*+a—1>。，得x>ln(l—a),

函數(shù)/(X)在區(qū)間(ln(l-a),+8)上單調遞增，

由尸(*=/+(。-1)<0,得x<ln(l—a),函數(shù)〃尤)在區(qū)間(f,ln(l-a))上單調遞減.

(2)要證/(%)>%lnx-acosux,即證e*+(<2-l)x-l>xlnx-6Zco&r,XG(0,+a?),

即證e，+Q(X+COSX)—九一l—%lnx>0,A：￡(0,十8),

設左(九)=x+cosx,Z:f(x)=l-sinx>0,

故左⑺在(o,+。)上單調遞增，又左(0)=1>0,所以左(力>1,

又因為”>1,所以Q(%+COSX)>X+COSX,

所以e"+tz(x+cosx)—x—1-xlnx>ex+cosx-l-xlnx,

①當0<%<1時，因為e"+cosx—l>0,xlnxW0,所以eX+cos%—l—%lnx>0;

②當%>1時，令且(％)=。"+<：05%—%111^—1,貝Ugr(x)=ex-lnx-sinx-1,

設/i(x)=g'(x)，則“(x)=ex----cosx,設m(x)=ex---cosx,

XX

則加(%)=1+4+5欣，因為％〉1,所以病(％)>0,

所以機(x)即h\x)在(1,+oo)上單調遞增，

所以“(%)>"⑴=e-1一cosl>0,所以/z(%)在(1,+oo)上單調遞增，

所以。(x)>/z(l)=e-sinl-l>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(L+oo)上單調遞增,g(x)>g(l)=e+cosl-l>0,

即ex+cosx-l-xlnx>0.

綜上可知，當時，ex+d5(x+cosx)—x—l-xlnx>e^+cosx—1—xlnx>0,

即/(九)>%lnx-QcoSuX.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.

22.(10分)

j%=4/

【詳解】(1)由曲線G的參數(shù)方程為［1書，('為參數(shù))，