奧數(shù)期中考講解

25.(滿分14分)如圖，在OOABC中，點A在x軸上，ZA0C=60°,0C=4cm.0A=8cm.動點

P從點0出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OA-AB運動；動點Q回町從點0出發(fā)，以

acm/s的速度沿線段OC-CB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動.

設(shè)運動時間為t秒.

(1)填空：點C的坐標是(,),對角線0B的長度是cm；

(2)當a=l時，設(shè)aORQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出當t為何值

時，S的值最大?

(3)當點P在0A邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線0B交于點M.若以0、M、P

為頂點的三角形與AOAB相似，求a與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍.

25.(滿分14分)

解：(1)C(2,2百解08=477cm.................4分

(2)①當0〈t<4時，

V3

過點Q作QDJ_x軸于點D(如圖1),則QD=￡t.

2

/.S=-OP-QD=—t2...................5分

24

②當4WtW8時，

作QE±x軸于點E(如圖2),則QE=20.

AS--DP?QE=V3t.................6分

2

數(shù)學(xué)參考答案第4頁(共6頁)

③當8Wt<12時,

解法一：延長QP交x軸于點F,過點P作PHLAF于點H(如圖3).

易證△PBQ與4PAF均為等邊三角形,

圖3

AOF=OA+AP=t,AP=t-8.

/.PH=—(t-8).7分

2

S=SAOQI'-SAOPF

*58)

=-t?2V3-—t?

22

t2+3V3t.......................................................8分

4

當t=8時，S最大.....................................................9分

解法二：過點P作PH，x軸于點H（如圖3）.

易證△PBQ為等邊三角形.

VAP=t-8.

.\PH=—(t-8)............................................................7分

2

；.S=S梯形OABQ—S/SPBQ—SAOAP

-V3(20-1)----(12-t)~~2V3(t-8).

=----12+3V3t..........................................................8分

4

當t=8時:S最大.......................................................9分

(其它解法酌情給分，如S=Sa)ABc-S4AP-SAOCQ-SAPBQ)

⑶①當aOPM?△OAB時(如圖4)，則PQ//AB.

ACQ=OP.

4

/.at-4=t,a=1+一?........................10分

t

t的取值范圍是0<tW8......................11分

數(shù)學(xué)參考答案第5頁（共6頁）

②當AOPM?ZXOBA時（如圖5），

,tOM

1477—8

2V7

12分

7

XVQB/70P,

,".△BQM-AOPM,

.QBBM

‘‘萬一次’

4此2行

12-at_______7_

2V7

2

整理得t-at=2,Aa=l--..............................................13分

t

t的取值范圍是6<t<8.

49

綜上所述：a=l+—(0<tW8)或a=l-一(6Lt這8)...........................14分

tt

10.如圖，已知直線》=-x+2分別與x軸，y軸交于A,B兩點，與雙曲線產(chǎn)公交于E,F

x

兩點，若AB=2EF,則％的值是

A.-1B.1C.-

2

(第10題)

【答案】D

10.如圖，過點c(1,2)分別作工軸、y軸的平行線,交直線產(chǎn)一N+6于A、B兩點，若反比例函

數(shù)y=-(x>0)的圖像與AABC有公共點，則k的取值范圍是

x

A.2《歸(9B.24648

C2<=5D.54無48

【答案】A

21.(12分)如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=45°,P是BC邊上一點，4PAD

的面積為:，設(shè)AB=x,AD=y

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若NAPD=45°,當y=l時，求PB?PC的值；

(3)若NAPD=90°,求y的最小值。

21.(12分)

解：(I)如圖I.過點4作/IEJ.RC于點E

在RtZSABE中,Z.B=45°,48=x

:.AE-AB-sinB=5*

,-,S&MO='/,￡=J

(2)VLAPC=LAPD+乙CPD=Z_B+乙BAP

乂Z.APD==45°

LBAP=LCPD

,.?四邊形.A8C。是等腰梯形

乙B=LC.AB=DC

：.8PsLPCD

ABPB

--PC=-DC

PB?PC=AB-DC

PB-PC=4K1

當y=1時,x=&'

即AB=72

PB-PC=(⑸2=2

(3)如圖2,取AD的中點尸，連接PF

過點P作PHJ.AO于點H

:.PFAPH

當PF=PH時,PF有最小值

又???LA.PD-90。

PF==yy

P"=當

；Sa”。二??仙?PH=y

???=/

'/y>0

y=G

即7的最小值為&

數(shù)學(xué)試卷答案第3頁（共4頁）

21.（滿分13分）如圖1,點。在線段AB上，A0=2,0B=\,0C為射線，且/BOC=60。,

動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間

為f秒.

（1）當上上秒時，則OP=______,SAAB產(chǎn)_____________________

2

（2）當aABP是直角三角形時，求f的值;

（3）如圖2,當AP=A8時，過點A作AQ〃BP,并使得NQOP=NB,求證：AQ?BP=3.

（第21題）

【答案】解：(1)1,

4

(2)@VZA<ZB(?C=60°,

???/A不可能是直角.

②當乙4BP=90°時，

ZBOC=60°,

：.ZOPB=30°.

：.OP=2OB,即2r=2.

.g.

③當/AP8=90。時，作「ZJJLAB,垂足為。，則/AOP=/POB=90。.

'：OP=2t,

：.OD=t,PD=J3t,AD=2+t,(ZiBOP是銳角三角形).

解法一：(IT)2+3*,4產(chǎn)=(2+。2+3*.

'."BF^+A^AB2,

.,.(l-r)2+3/2+(2+r)2+3r=9,

即4f2+r-2=0.

解得/產(chǎn)士盧士生（舍去）.

O8

解法二：VZAPD+ZBPD=90°f/B+/BPD=90。,

JZAPD=ZB.

???△APDsXPBD.

,ADPD

??-----=------.

PDBD

：.PD2=AD?BD.

于是(Gt)2=(2+f)(lT),即4，+/-2=0.

/曰-1+,33士叵（舍去）.

解得r尸一--，t=

o2

綜上，當448戶為直角三角形時，曰或二—

8

(3)解法一：VAP=AB,

/.NAPB=NB.

作OE〃AP