第七章-重積分1-2課件

§1.二重積分的概念與性質§2.二重積分的計算§3.三重積分的概念與計算第七章重積分§4.重積分的應用舉例§1二重積分的概念與性質1.二重積分的概念二重積分的概念

在一元函數(shù)積分學中，我們已經(jīng)知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限，由于科學技術和生產(chǎn)實踐的發(fā)展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質量、重心、轉動慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問題，另一方面，從數(shù)學邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學問題。

當人們把定積分解決問題的基本思想——“分割、近似代替、求和、取極限”用于解決這類問題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的。把解決的基本方法抽象概括出來，就得到多元函數(shù)積分學。

具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數(shù)積分學的內(nèi)容。問題的提出１．曲頂柱體的體積平頂柱體體積=底面積×高特點：平頂.曲頂柱體體積=？特點：曲頂.

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質量之和近似等于薄片總質量(1)區(qū)域D的分割

Di(2)二重積分的定義積分區(qū)域被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素積分和xozyD二重積分定義：D(3)二重積分的幾何意義(4)可積二元函數(shù)

在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線族把D分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積其中L為D的圍長則面積元素為D故二重積分可寫為在直角坐標系下面積元素為§1二重積分的概念與性質2.二重積分的性質解解解解P4習題4.證明:反證法1.直角坐標系下的計算公式§2二重積分的計算(1).x－型區(qū)域與y－型區(qū)域x－型區(qū)域：穿過D內(nèi)部且垂直于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個。D表示為：axb1(x)y2(x)xoyDy=2(x)y=1(x)axb1.直角坐標系下的計算公式D：cyd1(y)x2(y)y－型區(qū)域xoycdDx=2(y)x=1(y)yyxzo(2).計算公式的推導(1)設f(x,y)0,D為x–型區(qū)域從幾何意義考慮，求曲頂柱體體積用平面x=x0截曲頂柱體，得一截面x0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)此截面面積為A(xo)，則將之投影到Oyz平面上，曲邊梯形由y=1

(xo),y=2(xo),z=0,z=f(xo,y)圍成，故yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)故體積為記為yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋yxzox0aby=2(x)y=1(x)1(x0)2(x0)A(x0)二重積分化為累次積分的幾何解釋所以，二重積分的計算公式為(f(x,y)任意符號)(1)(2)同理，對y–型區(qū)域D：cyd,1(y)x

2(y)(2)(3)當D既是x－型區(qū)域：axb,1(x)y2(x)(3)又是y－型區(qū)域：cyd,1(y)x2(y)有xoyy=2(x)y=1(x)axbydcx=2(y)x=1(y)(4)當D是任意區(qū)域時，用直線將D先分割為x－型區(qū)域和y－型區(qū)域，D1,D2,…Dn，再利用積分在區(qū)域上的可加性xoyD1D2D3xoyD1D2D3D4關于積分區(qū)域D定理1：設函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D是由兩直線x=a,x=b(a<b)及兩連續(xù)曲線圍成，則有公式例1.

計算，其中D是由直線y=1,x=2及y=x所圍成的區(qū)域.解法1:由圖,D可表示為x型區(qū)域：于是得x0y1D21y=xx0y1D21y=x解法2:

由圖，區(qū)域D可表示為y型區(qū)域：于是得x0y1D21y=x結論：則例2.

計算解:例2計算D解一D：X—型D11解二DY—型D例2計算D11解例題4.

求D由y=0,x=1,y=x圍成.解:思考：前一個不定積分如何求出來的？xoy1y=x例5.

計算,其中D是由拋物線y2=x與直線y=x–2所圍成的區(qū)域。解:

聯(lián)立方程組解此方程組得D的兩條邊界線的交點為A(1,–1),B(4,2).0xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x–2由圖5－6可知，應將D視為y型區(qū)域，選擇先對x后對y的積分順序.得0xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x–2此題若選擇先對y后對x的積分順序，則必須對D進行劃分.則用x=1將D分成兩個區(qū)域D1和D2：0xyA(1,1)B(4,2)y2=xy=x–2解DY—型I=

若先

y

后x

由于D的下邊界曲線在x

的不同范圍內(nèi)有不同的表達式，須分片積分，計算較麻煩。例6計算2121例7計算解D是X—型區(qū)域要分部積分，不易計算若先x

后

y

則須分片易見盡管須分片積分,但由于被積函數(shù)的特點,積分相對而言也較方便。D21021解解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖例1.求由曲線所圍成的平面圖形的面積A.解:

由故所求面積為圖中的陰影部分D.x0y2y=2x345聯(lián)立方程組，求交點：x0y2y=2x交點為(2,4),(3,2),(5,10).345故所求面積x0y2y=2x345解原式解解曲面圍成的立體如圖.例4.

交換下列積分的積分順序：解:

由積分可知，積分區(qū)域D為它是由直線y=0,y=1及曲線x0yy=11D2D3D1解方程組得交點：聯(lián)立方程組x0yy=11D2D3D1利用直線將區(qū)域D分成D1，D2和D3三個部分：x0yy=11D2D3D1于是x0yy=11D2D3D1(5)對稱區(qū)域的二重積分(5)對稱區(qū)域的二重積分(5)對稱區(qū)域的二重積分例12計算解根據(jù)積分區(qū)域的特點14-12應先對x

后對

y

積分但由于對x

的積分求不出，無法計算，須改變積分次序。先

x后y有關于y是奇函數(shù)，積分區(qū)域關于x軸對稱14-12兩個直交圓柱體所圍立體計算圓柱面被圓柱面解由對稱性可知V=8V1

曲面A1

的方程例5所截的部分的體積。xy0三個直交圓柱體所圍立體解P48xy0解P48xy0設D為有界閉區(qū)域，z=f(x,y)在D連續(xù)。2.極坐標下的計算公式(1)極坐標下分割區(qū)域D(2)D的面積(3)極坐標下的二重積分設直角坐標系下二重積分的積分區(qū)域Dxy經(jīng)變換變成極坐標系下的區(qū)域3.利用極坐標計算二重積分因為故得利用極坐標計算二重積分的公式其中r,的累次積分上下限的確定不外乎下列諸情形之一.(4)積分區(qū)域的幾種特殊情況(i)D為環(huán)形域R1R2roA(ii)D為關于極點的星形域θOrr=r(θ)or(iii)極點在D的邊界曲線r=r(θ)上r=r(θ)βαoA例1.

計算解:令解例3.

計算解:

該曲線即令是圓心為xy0由對稱性，有xy0例4.

求位于圓r=a以外及圓r=2acos以內(nèi)的平面部分的面積A.解:

聯(lián)立方程組得兩圓的交點xoMDN設所求平面部分為D：故所求面積xoMDN例5.計算解:

令故即

P23習題26證明證:令則化重積分為累次積分得注意到夾在以原點為中心,半徑分別為a和的兩個圓域之間，xy0其中故xy0運用極坐標計算上述不等式左、右兩端的二重積分：從而有即解例7計算解例.求雙紐線解:oTAoTA解解思考題小結二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）1.曲線之間的變換與區(qū)域之間的變換3.二重積分的一般變量替換公式將xy面上的區(qū)域變換成uv面上的區(qū)域.將xy面上線變換成uv面上的線xoyuovMDxyM'Duv在一定條件下通過變換將xy面上點變換成uv面上的點例如，u=xy,v=y/x點(1,1)(1,1)

xoy(1,1)xy=1xy=2D(1/2,2)(1,4)線xy=1

u=1

區(qū)域DD'uov(1,1)(2,1)(2,4)(1,4)D'xy=2

u=2y=x

v=1y=4xv=4做變換：u=xy,v=y/x2.定理2(換元法)注1：注2：一定要將有界區(qū)域變?yōu)橛薪鐓^(qū)域.如