北京第六十二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

北京第六十二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意a∈R，a*0=a；（2）對(duì)任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．則函數(shù)f（x）=（ex）*的最小值為（）A．2 B．3 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理．【分析】根據(jù)性質(zhì)，f（x）=（ex）*=1+ex+，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)性質(zhì)，f（x）=（ex）*=1+ex+≥1+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)ex=時(shí)，f（x）=（ex）*的最小值為3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查基本不等式的運(yùn)用，正確理解新定義是關(guān)鍵．2.如圖，在正方體中，是底面的中心，為的中點(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值等于

（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略3.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得和的最大公約數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D4.已知兩條直線，兩個(gè)平面．給出下面四個(gè)命題：①；

②；③；

④．其中正確的命題序號(hào)為（

）A．①②

B．②③

C．①④

D．②④參考答案：D略5.以(－4，0)，(4，0)為焦點(diǎn)，y＝±x為漸近線的雙曲線的方程為

參考答案：A略6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為（

）(A)鈍角三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)不確定參考答案：C7.直線與圓相切，則圓的半徑最大時(shí)，的值是（A）

（B）

（C）

（D）可為任意非零實(shí)數(shù)參考答案：C8.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知在中有，那么中最小的是（

）。（A） （B）

（C）

（D）參考答案：C9.已知是定義在R上恒不為零的單調(diào)遞減函數(shù).對(duì)任意，都有，集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.[－3,3]

B.[－∞,－3]∪[3,+∞)

C.[－2,2]

D.參考答案：A10.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是A.1

B.2

C.3 D.4 參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)=________． 參考答案：12.已知一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、、，這個(gè)

長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是___________；若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為，則它的體積___________.參考答案：

解析：設(shè)則

設(shè)則13.函數(shù)的極值點(diǎn)為

．參考答案：3令，得則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取得極小值，是其極小值點(diǎn).

14.如圖所示，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF=，則下列結(jié)論中正確的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱錐A﹣BEF的體積為定值：（4）異面直線AE，BF所成的角為定值．參考答案：（2）（3）【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】由線面垂直證得兩線垂直判斷（1）；由線面平行的定義證得線面平行判斷（2）；由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷（3）；由兩個(gè)極端位置說(shuō)明兩異面直線所成的角不是定值判斷（4）．【解答】解：對(duì)于（1），由題意及圖形知，AC⊥AE，故（1）不正確；對(duì)于（2），由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的兩個(gè)底面平行，EF在其一面上，故EF與平面ABCD無(wú)公共點(diǎn)，故有EF∥平面ABCD，故正確；對(duì)于（3），由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD1B1B，故可得三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故正確；對(duì)于（4），由圖知，當(dāng)F與B1重合時(shí)，與當(dāng)E與D1重合時(shí)，異面直線AE、BF所成的角不相等，故不為定值，故錯(cuò)誤．∴正確命題的序號(hào)是（2）（3）．故答案為（2）（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，解答本題關(guān)鍵是正確理解正方體的幾何性質(zhì)，且能根據(jù)這些幾何特征，對(duì)其中的點(diǎn)線面和位置關(guān)系作出正確判斷．熟練掌握線面平行的判斷方法，異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．15.如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,如果輸入某個(gè)正整數(shù)后,輸出的,那么的值為

.參考答案：略16.在等差數(shù)列中，若，

成立,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列中，若，則有

.參考答案：略17.引入隨機(jī)變量后，下列說(shuō)法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).參考答案：③【分析】要判斷各項(xiàng)中對(duì)隨機(jī)變量描述的正誤，需要牢記隨機(jī)變量的定義.【詳解】引入隨機(jī)變量,使我們可以研究一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的所有可能結(jié)果，所以隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，故③正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的相關(guān)定義，難度不大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.、(12分)如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，(I)判斷異面直線和所成的角的大小是否變化，并證明你的結(jié)論；(II)當(dāng)直線和平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．參考答案：(I)不變；(II)為的中點(diǎn)．19.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線交橢圓于、，求的面積.參考答案：解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意， ∴橢圓的方程為

（2），設(shè)，則直線的方程為．

由，消得

∴∴

∴

=

略20.(本小題滿分10分)已知：實(shí)數(shù)滿足，其中；：實(shí)數(shù)滿足，且是的必要不充分條件，求的取值范圍。參考答案：由且得，

由得

由得或

略21.已知公差d≠0的等差數(shù)列{an}滿足a1=2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求使得Sn＞60n+800成立的最小正整數(shù)n的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的系統(tǒng)公司即可得出．（II）Sn=2n2，Sn＞60n+800，化為n2﹣30n﹣400＞0，解得n即可得出．【解答】解：（I）若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a1a5=（a2）2，即a1（a1+4d）=（a1+d）2，d≠0．則2a1=d，a1=2，解得d=4．∴an=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（II）Sn==2n2，Sn＞60n+800即2n2﹣60n﹣800＞0，化為n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40．∴使得Sn＞60n+800成立的最小正整數(shù)n的值為41．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．22.設(shè)a≥b＞0，分別用綜合法和分析法證明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2．參考答案：【考點(diǎn)】R6：不等式的證明．【分析】綜合法：利用作差法分析符號(hào)，推出結(jié)果即可．分析法：利用分析法的證明步驟，找出不等式成立的充要條件即可．【解答】證明：綜合法：3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因?yàn)閍≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2＞0，從而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，