信號(hào)與系統(tǒng)課件 §2.2 微分方程式的建立與求解

§2.2

微分方程的式的建立與求解一、物理系統(tǒng)的模型返回二、微分方程的列寫三、n階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述四、求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法一．物理系統(tǒng)的模型許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。返回二．微分方程的列寫根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。

返回網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。例2-2-1例2-2-2三．n

階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述

一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)e(t)與響應(yīng)信號(hào)r(t)之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述

若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則Ci、Ej均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。返回四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。

求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。

列寫方程：根據(jù)元件約束，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束求解方程變換域法雙零法經(jīng)典法零輸入：可利用經(jīng)典法求解零狀態(tài)：利用卷積積分法求解

我們一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0，響應(yīng)為t30+時(shí)的方程的解，初始條件齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式

初始條件的確定是此課程要解決的問(wèn)題。經(jīng)典法全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解Ak.例2-2-3例2-2-4幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解.齊次解的求法特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程，比較系數(shù)定出特解rp(t)。例2-2-5返回

把r(k)(0+)代入r(t)=rh(t)+rp(t)得：求此方程組即可得A1、A2、…...An。對(duì)有重根的情況可仿照以上方法求得。齊次解的求法當(dāng)e(t)及其各階導(dǎo)數(shù)=0時(shí)，方程的解即為齊次解。齊次解應(yīng)滿足：1.在特征根各不相同（無(wú)重根）時(shí)，齊次解為：其特征方程：C0an+C1an-1+…+Cn-1a1+Cn=0特征方程的根為：a1、a2、…、an

2.在特征根有重根時(shí)，假定a1是k重根，則a1重根部分對(duì)應(yīng)的齊次解為：其中待定系數(shù)由初始條件決定。返回幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解激勵(lì)函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解幾種典型激勵(lì)函數(shù)相應(yīng)的特解（續(xù)）返回1）表中B、D是待定系數(shù)。2）若e(t)由幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)組合，則特解也為其相應(yīng)的組合。3）若表中所列特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)。若這種重復(fù)形式有k次（特征根為k重根），則依此增加倍乘t,t2,……,tk諸項(xiàng)。例如e(t)=eat，而齊次解也是eat

（特征根=a），則特解為B0teat+B1eat。若a是k重根，則特解為B0tkeat+B1t

k-1

eat+…...+Bkeat。例2-2-1電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡(jiǎn)有

這是一個(gè)代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。

求并聯(lián)電路的端電壓與激勵(lì)間的關(guān)系。

()tisRRiLLiCciab+-(t)v返回這是一個(gè)代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。

兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示。

例2-2-2機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為，外加牽引力為，其外加牽引力與剛體運(yùn)動(dòng)速度間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為msF返回例2-2-3

系統(tǒng)的特征方程為特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次解為返回例2-2-4

如果已知：分別求兩種情況下此方程的特解。

給定微分方程式(1)將e(t)=t2代入方程右端得到t2+2t,為使等式兩端平衡，試選特解函數(shù)式

將此式代入方程得到

等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有聯(lián)解得到所以，特解為(2)當(dāng)e(t)=et時(shí),很明顯可選r(t)=Bet。這里，B是待定系數(shù)。代入方程后有：上面求出的齊次解rh(t)和特解rp(t)相加即得方程的完全解返回例2-2-5

給定如圖所示電路，t<0開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流i(t)的微分方程并求解i(t)在t≥0+時(shí)的變化。列結(jié)點(diǎn)電流方程(1)（1）列寫電路的微分方程根據(jù)電路形式，列回路方程vC(t)先消去變量vC(t)，再消去變量iL(t)，把電路參數(shù)帶入整理得(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程特征根齊次解方程右端自由項(xiàng)為代入式(1)要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為特解(1)(3)換路前確定換路后的i(0+)和電流達(dá)到穩(wěn)定后其微分必為0vC(t)C相當(dāng)于斷路，L相當(dāng)于短路由于電容兩端電壓和電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變,即：換路后的