第三章特殊類型的線性規(guī)劃

第三章特殊類型的線性規(guī)劃一般意義的線性規(guī)劃問題==第一節(jié)運輸問題先看一個具體的例子——例3-1

某廠下屬三個加工廠同生產一種產品，每天的生產量分別是A1=8噸，A2=7噸，A3=10噸；該工廠把這些產品分別運往四個地區(qū)的門市部銷售，各門市部的銷售量分別為B1=3噸，B2=4噸，B3=9噸，B4=9噸。已知從各加工廠到各門市部的每噸運費如下表所示。問該工廠如何制定調運產品的方案，在滿足各門市部銷售量的情況下，使總的費用為最少？

B1B2B3B4A122316A211623A347108先建立數(shù)學模型假設從工廠到門市部的運輸量為則有Cij為工廠到門市部單位物資的運價ai為第i個工廠的產量bj為第j個門市部的銷售量該問題數(shù)學模型的特點工廠有3(m)個，門市部有4(n)個有3×4(

m×n)個變量有3+4(m+n)個約束方程用單純形法求解需添加7個人工變量變量數(shù)增加為19個，求解計算量大本例中所建立的數(shù)學模型一般意義上的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣的每一列元素中均只有兩個元素為1，其余元素均為零本例中，工廠的產量與門市部的銷量相等，稱為產銷平衡的運輸問題。某廠下屬三個加工廠同生產一種產品，每天的生產量分別是A1=8噸，A2=7噸，A3=10噸；該工廠把這些產品分別運往四個地區(qū)的門市部銷售，各門市部的銷售量分別為B1=3噸，B2=4噸，B3=9噸，B4=9噸。產銷平衡的運輸問題一定有最優(yōu)解例3-2為了簡化計算過程，利用運輸問題系數(shù)矩陣的特點，在單純形法的基礎上，創(chuàng)造了一種專門求解運輸問題的方法，稱為表上作業(yè)法。表上作業(yè)法的求解過程也包含如下三個關鍵步驟：（1）初始基可行解（也稱初始運輸方案）的確定；（2）基可行解檢驗數(shù)的計算與最優(yōu)判別；（3）非最優(yōu)基可行解的改進（迭代）。

例3-3假設某地區(qū)有三個交通發(fā)生點和四個交通吸引點，交通發(fā)生點的出行產生量ai、交通吸引點的出行吸引量bj以及各交通發(fā)生點與吸引點之間的運輸費用如下表所示。問如何組織交通，才能使總的運輸費用最少？

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO144325O2103475O399845bj162615求解該問題分三個步驟確定初始方案檢驗該方案是否為最優(yōu)方案調整方案計算停止是否確定初始方案的方法之一

西北角法西北角法的基本思想是優(yōu)先產銷平衡表的左上角（西北角）的供應關系。步驟一確定初始方案在逐步確定初始運輸方案時，一般每步要經過兩個過程，先是根據(jù)運輸費用確定供應關系，然后根據(jù)供需要求進行運量分配。為了方便，將產銷平衡與運輸費用表拆成運輸費用與運量分配表。

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO144325O2103475O399845bj162615產銷平衡與出行費用表步驟一確定初始方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984運輸費用表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO15O25O35bj162615運量分配表從運量分配表的最左上角（西北角）的格子開始。讓發(fā)生點O1的物資盡可能多地運往吸引點D1。由于吸引點D1需要的物資總量只有1，而發(fā)生地O1要求運出的物資總量為5，所以O1要運出的物資總量中1個單位運至D1，即x11=1，將此運量１填入運量分配表的（O1,D1）格子。這時吸引點D1物資需求量已經滿足，不再需要其他任何發(fā)生地運來物資，由平衡條件得x21=0，x31=0。１步驟一確定初始方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行費用表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１5O25O35bj162615運量分配表從運量分配表當前的最左上角（西北角）的格子（O1,D２

）開始。讓發(fā)生點O1的物資盡可能多地運往吸引點D２。由于吸引點D２需要的物資總量為６，而發(fā)生地O1當前能運出的物資總量為４，所以O1能運出的物資總量中４個單位運至D２，即x1２=4，將此運量４填入運量分配表的（O1,D２）格子。這時發(fā)生地O1物資運出量已經滿足，不能再向其他任何吸引點運送物資，由平衡條件得x1３=0，x1４=0。４步驟一確定初始方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行套費用榨表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O25O35bj162615運量守分配努表從運量跪分配表當菌前的王最左割上角逗（西史北角謠）的字格子搞（O２,D２）開始盞。讓發(fā)生溫點O２的物斃資盡斤可能度多地趁運往吸引且點D２。由于所當前吸引云點D２需要猴的物罪資總遠量只敬有２韻，而發(fā)生脂地O２要求郊運出誰的物尼資總叢量為5，所旺以O２要運卷出的阿物資穿總量墳中２益?zhèn)€單座位運籌至D２，即x２２=２，將此辭運量仗２填壯入運氣量分街配表劉的（O２,D２）格子繁。這逐時吸引滾點D２物資童需求周量已疫經滿侄足，招不再尖需要縣其他某任何發(fā)生證地運來蜜物資顏，由拿平衡無條件帆得x３２=0。２步驟一確定劉初始綿方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行盒費用聾表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２5O35bj162615運量穴分配梯表從運量現(xiàn)分配表當撫前的疏最左呈上角瓜（西誤北角干）的擇格子冤（O２,D３）開始糟。讓發(fā)生視點O２的物將資盡卡可能恩多地派運往吸引即點D３。由于吸引占點D３需要剝的物型資總細量只床有２止，而發(fā)生罵地O２當前勿能運允出的稅物資社總量盞為３蜜，所爪以O２運出冤的物場資總盛量中朽２個替單位繼運至D３，即x２３=２，將此創(chuàng)運量敘２填瞧入運材量分吹配表饅的（O２,D３）格子屠。這包時吸引斃點D３物資稻需求挪量已謹經滿競足，羨不再揚需要適其他脾任何發(fā)生仁地運來框物資訪，由乳平衡糊條件準得x３３=0。２步驟一確定壯初始扔方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行克費用咐表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２5O35bj162615運量仙分配擁表從運量損分配表當恒前的千最左算上角怖（西唱北角岸）的先格子是（O２,D４）開始渣。讓發(fā)生孕點O２的物繭資盡春可能芹多地塊運往吸引慎點D４。由于吸引棕點D４需要冷的物提資總父量為貸６，跨而發(fā)生牌地O２當前直能運他出的馬物資貴總量碌為１賴，所纏以O２運出成的物筍資總婆量中絕１個敞單位磚運至D４，即x２４=１，將此萌運量愉１填確入運遇量分搶配表軟的（O２,D４）格子姨。這猶時發(fā)生捐地D２物資員需求絲式量已腎經滿遭足，零不能精再向抖其他擾任何吸引蜂點運來費物資倉。１步驟一確定詠初始叨方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行換費用裙表交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２１5O35bj162615運量堆分配撇表從運拿量分碗配表逝當前赴的最嫩左上調角（嘴西北規(guī)角）箏的格京子（O３,D４）開始卵。讓發(fā)生甘點O３的物棗資盡尸可能詢多地敵運往吸引什點D４。由于刊當前吸引鑰點D４需要襯的物救資總瞞量為代５，營而發(fā)生豈地O３當前堂能運賞出的淺物資勉總量孤為５鉛，所敞以O３運出關的物原資總搖量中棵５個疾單位穗運至D４，即x３４=５，將此言運量重５填膽入運吹量分蟲配表搖的（O３,D４）格子意。５步驟一確定防初始勤方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行芽費用凍表

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２１5O3５5bj162615運量鴨分配仇表已經督找到須了一泛個初詞始方收案＝６圣１步驟一確定智初始訴方案最小甩元素需法的拳基本催思想恭是就扶近供帖應，斗即依逢據(jù)單越位運秤價表襲中最永小的攜運價贊來確潔定供汗需關快系。確定允初始浮方案規(guī)的方乒法之絡二最小遺元素日法步驟一確定研初始幣方案

交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984運輸酬費用枯表交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO15O25O35bj162615運量淘分配雞表551121從出尤行費帽用表敗中選鴉擇最櫻小費鬼用項矮，確石定相嘴應的徐運量桂，并遺使其停滿足出行壞總量健平衡吐條件。初始刪方案晉的費駱用為63步驟一確定訂初始焦方案最優(yōu)您方案矩的判擔別運輸燥方案臟的最線優(yōu)性鉗判別亦，實巡壽質上憂與單瞎純形擺法是才一樣巧的。斷首先動，計金算運迷量分教配表堆中每核個空怨格（偷即非坐基變疼量）講的檢嫂驗數(shù)咳，然梁后判俯別每奇?zhèn)€檢炎驗數(shù)枕的正上負。票因為看運輸亂問題麥是求麗目標嬸函數(shù)洲極小里化的特問題駛，所派以，厘當所絡有≥0時，醬此時鑄的運粗輸方昏案即剃為最壓優(yōu)運鋪輸方色案，稍否則抵，再版改進饑當前繞的運棕輸方蜂案。扔求檢斜驗數(shù)市的方闖法很嶼多。抽常用段方法漸有兩廊種：閉回淚路法和位勢包法。步驟頭二燭最具優(yōu)方劫案的璃判別在原周方案勉的分齊配表們中，疤從一霸個空隆格開火始作企一條砍閉回簡路，各這個紋閉回今路的時邊只卻能是法水平辱或垂施直的質；而掃它的蹤蝶轉角標，除流了開紀始這浮個空箏格之忘外，留其余乳的都滾是填系有數(shù)揀字的密格（限有交滾通量鍬的格繞）。判別謎最優(yōu)繪方案揚的方熄法之爆一閉回葬路法步驟脊二強最責優(yōu)方哨案的奮判別交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２１5O3５5bj162615運量副分配壟表可以拆證明攔，運壞量分賀配表詠中的垂任意票一個脊空格其與所給有的弱數(shù)字揀格組公成的扮格子痕中，廣一定軍有且貫僅有哨一個向閉回襯路步驟解二綢最膨優(yōu)方蓋案的炕判別根據(jù)減閉回緞路求躬檢驗妄數(shù)每一膜個空渣格對醬應一遲個檢搭驗數(shù)每一龜個空桂格的和檢驗勵數(shù)根塌據(jù)該柿空格由的閉削回路雙確定檢驗盲數(shù)的膝計算起點授空格肆的運墻費為工正第一咱個轉民角的岸運費袖為負第二冶個轉娛角的率運費鞋為正第三葉個轉鋼角的繡運費沖為負…曬…霸…消…拋…彈…如此肢正負追交替棵直至顯回到含起點嗎空格將這被些數(shù)忌字相懲加，習得到駕該空躁格的耀檢驗歐數(shù)步驟致二括最蘆優(yōu)方忠案的功判別偶數(shù)糖轉角歲運費猾為正奇數(shù)曾轉交姨運費趁為負交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２１5O3５5bj162615運量墻分配胳表交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O14432O210347O39984出行膠費用遣表檢驗聞數(shù)λ31=9補-4感+7父-3枝+4壤-4仙=9檢驗跪數(shù)的孝含義若存文在某鄭檢驗姐數(shù)小什于0，則剛對應螺于該百檢驗襯數(shù)的烘出行貸量增歷大，幕總出垃行費慢用將恭減少崗。若所返有的賞檢驗存數(shù)都辭為非衰負，慘則總膊的出丸行費扇用將指不可范能減邀少。步驟觸二嗓最蛙優(yōu)方節(jié)案的攝判別得到蝕如下昂的檢蜘驗數(shù)南表：

D1D2D3D4O1-2-6O27O3997交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4aiO1１４5O2２２１5O3５5bj162615運量價分配側表步驟冒二歲最龍優(yōu)方風案的豆判別判別垂最優(yōu)孝方案霧的方裙法之時二勢位輪法步驟耳二案最校優(yōu)方逝案的蔬判別方案遞的調繳整若存屬在檢植驗數(shù)小于0，則鑒對應糕于該賭檢驗粥數(shù)的勉出行歷量增狼大，才總出讓行費泡用將錯減少芝，說白明可呀能存泉在總皺費用捎更小爬的運梨輸方碼案。步驟撤三桌方脅案的滔調整步驟受三異方烤案的柜調整選擇化一個葉負檢棟驗數(shù)找出貝該負菌檢驗域數(shù)對個應的鬧閉回榆路從空議格出鹽發(fā)，猜沿閉撇合回吉路前戚進，六在各寄奇數(shù)請次轉御角點麥數(shù)字治（即未出行傅交通當量）氏中，必選擇醬最小講值K在閉奪合回沈路中楊，在秧各奇碼數(shù)次史轉角屈點的賽數(shù)字蓋都減K，在各攻偶數(shù)誕次轉蟲角點丙的數(shù)武字都葛加K步驟腸三麗方揀案的勻調整檢驗數(shù)D1D2D3D4O1-2-6O27O3997選擇曉一個私負檢糧驗數(shù)交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O1１４O2２２１O(jiān)3找出液該負慈檢驗胖數(shù)對皺應的昂閉回沒路從空姐格出客發(fā)，園沿閉染合回笑路前掏進，饒在各蹈奇數(shù)剩次轉點角點給數(shù)字鍬（即黨出行察交通驗量）廊中，轎選擇膨最小穗值Kmi俱n（菠4，控1）胸=1在閉垃合回削路中倆，在辰各奇腫數(shù)次誘轉角宴點的獨數(shù)字沖都減K，在各條偶數(shù)忽次轉方角點蒙的數(shù)炕字都楊加K交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O1１31O23２0O3對新察得到訂的分隨配方鍵案，鄙繼續(xù)送進行寨檢驗巡壽。檢驗數(shù)D1D2D3D4O1-2O276O33310交通吸引點交通發(fā)生點點D1D2D3D4O1１31O23２O3５存在膽負檢支驗數(shù)渴，目慌前的事方案課沒有胃達到笛最優(yōu)步驟帖三襲方援案的蓋調整檢驗數(shù)D1D2D3D4O1-2O276O3331選擇職一個真負檢酬驗數(shù)交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O1１31O23２O3５找出超該負原檢驗膨數(shù)對糊應的常閉回贊路從空戲格出部發(fā)，犬沿閉采合回測路前事進，投在各迎奇數(shù)距次轉撤角點遲數(shù)字宣（即茄出行述交通握量）化中，顫選擇糞最小連值Kmi嘩n（探3，稻2）議=2在閉猾合回們路中瀉，在宵各奇恩數(shù)次此轉角勢點的區(qū)數(shù)字放都減K，在各裂偶數(shù)吸次轉女角點蛋的數(shù)即字都路加K交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O1１121O2500O3５對新鑄得到托的分土配方志案，趨繼續(xù)晴進行他檢驗網。交通吸引點交通發(fā)生點D1D2D3D4O1１121O25O3５檢驗數(shù)D1D2D3D4O1O2726O3333所有艦的檢斤驗數(shù)爛都為葵非負品，則舌總的平出行測費用草將不石可能妹減少衰，目蒜前得聰?shù)降狞h方案臣為最繩優(yōu)的液運輸令方案桶。運輸港問題達的作丟業(yè)教材75頁災習題3-梨2工程賠中有鞏些線美性規(guī)施劃問偶題要縣求解敘為整痰數(shù)如：以人員肯、車昌輛等猜規(guī)劃自對象原有賀的計仙算方辭法得狡到的愛解存矮在非耀整數(shù)營的可偉能第二渴節(jié)整得數(shù)是規(guī)減劃求解絨整數(shù)馳規(guī)劃演的方軟法—分枝件定界撲法先看坦一個揉實例先不屋考慮劑整數(shù)楚約束蓮，解虛相應不的線址性規(guī)咸劃問驢題為了效討論屆方便肥，將冤原線傭性規(guī)程劃問卡題稱剛為L1。L1的最餡優(yōu)解熄為x1=2美.2由5，x2=3尋.7館5，Z=凈41扶.2劫5例3翼-4L1的最低優(yōu)解白為x1=2而.2厭5，x2=3與.7需5不滿祥足整漠數(shù)條暑件劃分瓣可行盲域取x2≤3氧，x2≥4L2L3任取一個眠沒有躬滿足餓整數(shù)舍條件登的變質量L2的最炊優(yōu)解汁為x1=1陳.8，x2=4，Z=下41L3的最峰優(yōu)解許為x1=3，x2=3，Z=春39L2L3已經楊得到濤整數(shù)臭解L2的最鑼優(yōu)解陸為x1=1促.8，x2=4不滿屠足整準數(shù)條圖件劃分扣可行竹域取x1≤1始，x1≥2L4L5L4的最壺優(yōu)解愛為x1=1，x2=4狠.4歪4，Z=雞40選.4辰44L5無最慚優(yōu)解L4的最壟優(yōu)解沒為x1=1，x2=4僚.4程4不滿考足整勉數(shù)條啞件劃分滿可行雙域取x2≤4早，x2≥5L6L7L6的最貿優(yōu)解挪為x1=1，x2=4，Z=叫37L7的最驢優(yōu)解答為x1=0，x2=5，Z=覽40原問題LP1新問題LP2新問題LP3新問題LP5新問題LP4新問題LP7新問題LP6直到任找到佛最優(yōu)抗整數(shù)公解或渠無最立優(yōu)解匯總整數(shù)負解非整刑數(shù)解非整紹數(shù)解無最巷優(yōu)解整數(shù)效解整數(shù)怠解非整憤數(shù)解總結異：分枝泛定界顧法思逃路：首先愈不考贈慮解溜為整鋒數(shù)的鄉(xiāng)豐要求荷，用雜單純嶺形法漫求最可優(yōu)解適，以乏此作園為目慰標函幼數(shù)值搭的上比限或瓶下限泡；其次圣，選豆擇其例中一盆個非顯整數(shù)州的變歷量，壘根據(jù)期與兩舊側相傲近的扯整數(shù)瘋劃分夜可行澆域，驅在縮忘小的蘭可行視域內血尋求麥最優(yōu)蜻整數(shù)晴解，舌以此雜作為硬目標綁函數(shù)榆值的恰上限誦或下村限；不斷厭重復錢以上炮過程綱，直脖到每消一個既可能典進一養(yǎng)步分茶解的漢非整序數(shù)都筆找到皂整數(shù)被解時澡為止鋒，整數(shù)李規(guī)劃閥作業(yè)教材76頁番習題3-臥60-猶1整數(shù)公規(guī)劃0-話1規(guī)劃智是指走變量濁只能籮取0或1的線熱性規(guī)紀劃，株是一叛種特撕殊的姿整數(shù)軋規(guī)劃幣。在底進行筑實際祖問題團最優(yōu)杠決策體和處灑理問嘉題時框常常顆會碰偏到這心樣的0-獎1規(guī)劃象。例3禾-5某道食橋公達司在壺同一炒時間屢內可那參加A1、A2、A3、A4四項眾工程撿的投胞標。橋這些榆項目副要求塘的工繡期相捧同。掉公司謠根據(jù)托招標炊文件酒和本濤公司繭的技強術水闊平對的每項病工程博進行苦了仔師細的絨研究查和計齊算，型將各罩項工電程的悅預期啊利潤猾，主渾要工捏序的形工程控量及呆本企欺業(yè)的耳施工請能力礎見下杯表。乓問該斯公司子對哪笛幾種厲項目瞧投標著可能產獲得番的總傾利潤隆最大拒？試凱建立愉這個貫問題增的數(shù)樸學模掠型。工程項目預期利潤（萬元）土石方量（m3）混凝土量（m3）其他材料（m3）A1542002802500A282300880480A37.548003001500A4923009005200施工能力1200016009000建立駐模型設則建破立的葡數(shù)學仍模型0-桿1規(guī)劃削的一堪般形市式0-兄1規(guī)劃霧的求慣解方弦法——窮舉邊法每個誘變量板都只巖取0，1兩個岸值，隱變量游取值惡的0-楊1組合糕是有攪限的喊。先列澤出各隊變量搭分別衫取0或1值的麥每一轎種組著合，典然后農在滿邪足約彩束條者件的鹿變量匪的0-貸1組合崖中找洋出使桂目標票函數(shù)拳達到罪最優(yōu)腫值的涌組合雖即是球該0-高1規(guī)劃頃的最贈優(yōu)解甘。用這塵種方袖法求辟解變攀量個帆數(shù)為n的0-憶1規(guī)劃鵝，通肅常需蹲檢查2n個組裙合計算愚量大膏，隨煙變量翅數(shù)量悼的增宴加呈妙集合需級數(shù)梳增長設計尸一種漆方法舒，只循要檢針查變昨量取惰值的努一部膽分就梢能得茫到原蜂問題調的最紅優(yōu)解舞。這種封方法康稱為隱枚秀舉法。例3丸-6解：首先托，通醬過試躲探的捆方法醒找到花一個由可行而解。容易盲看出,(傭x1,x2,x3)=剩(1稼,0六,0來)是滿澇足約歷束條瞧件的灶可行薯解。相應間的目飼標函珠數(shù)值疲為S=遞3。對于喉最大講化問哲題，波希望S≥3，因此扛，增律加一旗個約叼束條車件過濾取條件新的0-將1規(guī)劃疊問題啄為（0）全部軍枚舉舉的方燦法，3個變佛量有8種組動合原先4個約足束方硬程，刪需要32次計晶算增加蜻過濾喜條件欄后，規(guī)可減冠少計薄算次物數(shù)解約束條件是否滿足條件？S值（0）（1）（2）（3）（4）（0，0，0）0（0，0，1）5-11015（0，1，0）-2（0，1，1）315（1，0，0）311103（1，0，1）802118（1，1，0）1（1，1，1）626（0）0-螞1規(guī)劃枯作業(yè)教材75頁擴習題3-偏4第三馬節(jié)潤資牢源分尼配問朵題有n項任文務，鄭分配哈給n個人徹去完每成，紗要求系每個竹人完編成其高中一然項任凍務，暫每項殖任務匯只交擴給其蹈中一培個人民完成暗，已速知每井個人五完成贊各項張任務僅的成奏本（獄或效市率）抽，求徒使總爬成本笑最少候的分蜓配方止案。目的地車輛編號D1D2D3D4D5D6146665559202822481256225913282239502786446314547545856544644331606322434243364設某頂運輸轉隊有6輛卡新車，義需分行派駛遷往6個不哥同的束目的膛地，笑由于愉各輛躺卡車件的性嘩能、連消耗甩和效薪率不體同，粱因而顧駛往澆各目曬的地求的運擠輸成塞本也喘不同蘇，如則下表勝所示發(fā)。試火求能路使總憑成本趨最低你的車府輛分誼派方拳案。例3常-7效率餡矩陣建立罷數(shù)學槽模型資源拳分配羊問題籠的一跟般模融型minZ=s.t.運輸問題整數(shù)規(guī)劃資源以分配斥問題資源枕分配保問題倉的求憑解方海法—匈牙顯利法定舉理效率蓬矩陣宮的任稼意一仿行（退列）碰各元物素中唉分別君減去石同一奏常數(shù)腔，得償一變浴換了捐的矩軌陣，享則以膚之為磚效率盡矩陣軌的分緒派問顛題最眨優(yōu)解附與原泡問題騾的最適優(yōu)解榨相同別。匈牙加利法故的指使導思鍵想設法堤對效付率矩礙陣進鬧行變妹換，概使變甲換后尊的效宣率矩治陣中才有n個位練于不移同行殘不同是列的喘零元挑素（掠以下逗稱為究獨立勾零元粘素）憲，沒毯有負載元素溉。令n個獨搏立零荒元素兆對應宋的n個xij＝１蠶，其余凝的xij＝0匈牙鎮(zhèn)利法辨的解溫題步迷驟——例3-極8有5輛公違交車征可以兼在5條公瘡交線渣路上恒行駛景。不勞同車貿輛在倍不同圣的路違線上玩發(fā)生傍的年杰平均霜交通自事故爭數(shù)如承下表凝所示斯。這5輛公掀交車狠如何叔分配赤，才靈能使斷全年恭的總燥事故的數(shù)最吃少？匈牙鵲利法倦的解綁題步宅驟線路編號車輛R1R2R3R4R5D173328D2108697D392706D460835D553427使費爭用矩檔陣每遷行中夸出現(xiàn)鐘零元因素在各篩行中巡壽減去央各行顛的最尋小元訴素使費勒用矩攝陣出擺現(xiàn)0元素332886972706083553427110620312706083531205初始互的費擁用矩勒陣110620312706083531205第一睬列、軌第五替列中漠無0元素弄。在第五一列窗、第阻五列寇中分疼別減運該列差的最熊小元悲素。使費掩用矩貸陣出焦現(xiàn)0元素2110512030627053083401204費用抗矩陣病每行代、每湖列中讀都出浙現(xiàn)了0元素檢驗掩是否帽存在耽位于不同堪行不羨同列速的n個0元素檢驗牌是否施存在始不同伏行列固的0元素2110512030627053083401204行檢旅驗：若某曲行只纖有一合個零資元素泡，則先給這底零元也素加女“Δ”，該零舒元素喚為獨棋立零麗元素單。若合某行雖零元帥素多毒于一閣個，扁則暫彈不標舍號。每行朗、每拴列只者能有架一個抵獨立露零元憂素檢驗切是否殃存在本不同扯行列速的0元素2110512030627053083401204列檢膨驗：若某猾列只宗有一精個零址元素蘋，則象給這島零元個素加帶“Δ”，該零溉元素抵為獨頑立零勢元素劃。若咳某列柴零元兔素多姐于一私個，養(yǎng)則暫毯不標四號。沒有耕得到輛位于似不同撒行不咐同列館的n個0元素方案魂的變例換方案泡變換在所停有沒挎有被早分配隨的行比打上謹“”號鞏。2110512030627053083401204在已表打“”號欲的行羨中找歇出打限“”的嚷列，并打跪“”。在已撐打“”號梁的列經中找祝出打付“Δ”的行晃，并打腸“”。重復犁以上倡過程礦，直烏到無且法打胸“”時故為止威。方案雹變換2110512030627053083401204對所反有打補“”值號的蘋列和間未打獎“嘩”號樓的行賴劃線訪。這些燙線可昂以將爽所有謊的0元素衫至少么覆蓋匠一次汽。如果勝是M架M矩陣更，而腦又要蕉使最雹優(yōu)解左分配芒在0元素乞位置亦上，談劃線郵數(shù)量倘應為M。本例鑼還沒留有達淡到最富優(yōu)解暮。方案汗變換在未沒劃線昆的元層素中恰找出最小五元素2110512030627053083401204未劃柿線的漸各行希元素桶減去愁這個返最小加元素已劃綿線的蟻各列匪元素與加上項這個浴最小嗽元素1000412040516043084401214對新弱的費居用矩胞陣進裕行行序檢驗驕與列雙檢驗1000412040516043084401214行檢惠驗：若某桂行只膊有一剩個零部元素退，則謹給這報零元謊素加酷“Δ”，該零電元素擴為獨巾立零的元素搶。若剩某行獲零元斥素多必于一見個，舟則暫劍不標即號。100041204051604308