第一章邏輯與證明

離散數(shù)學(xué)

2證明介紹一些證明的一般方法用邏輯來分析正確和不正確的論證1.5推理規(guī)則從一系列命題推出一個結(jié)論的過程稱為演繹推理考慮下面一系列命題。這個錯誤或者出現(xiàn)在模塊17或者出現(xiàn)在模塊81中。這個錯誤是一個數(shù)值計算錯誤。模塊81沒有數(shù)值計算錯誤。

假設(shè)這些句子為真，得出結(jié)論錯誤出現(xiàn)在模塊17231.5.2命題邏輯的有效論證從一系列前提得出結(jié)論的方法稱為演繹推理。前提：已知的命題系列結(jié)論：由假設(shè)得出的結(jié)論結(jié)論從前提導(dǎo)出結(jié)論為真任何論證過程都有形式：如果p1并且p2并且…并且pn,則q。論證有效在于形式不在于內(nèi)容

4定義一個論證過程是一系列的命題，p1,p2,…,pn/∴qp1,p2,…,pn稱為前提，命題q是結(jié)論如p1,p2,…,pn全為真，則q也必為真，那么論證有效；否則論證過程是無效的5例確定論證pq,p/∴q是否有效pqpqpqTT

TTTTFFTFFTTFTFFTFF注意：只要前提pq和p為真，結(jié)論q就為真。所以論證過程是有效的。6例：

用符號表示論證過程確定此論證過程是否有效如果論證過程是有效的，那么要pq和q同時為真，則p必為真。假設(shè)pq和q都為真，這在p為假q為真的時候是可能的；所以論證過程是無效的。

7例確定論證pq,q/∴p是否有效pqpqpqTT

TTTTFFTFFTTFTFFTFF注意：當(dāng)前提pq和q為真，結(jié)論p可能為假。所以論證過程是無效的。81.5.3命題的推理規(guī)則假言推理/分離定律合取拒取附加化簡假設(shè)３段論析?。扯握撓铝姓撟C里使用了那個推理規(guī)則若今天下雨，則我們今天將不野餐。若我們今天不野餐，則我們明天將野餐。因此，若今天下雨，則我們明天將野餐。解：設(shè)p：“今天下雨”，q:“我們今天將不野餐”r:“我們明天將野餐” p→q q→r

∴p→r假言三段論91.5.4用推理規(guī)則建立論證證明：前提：“今天下午沒有出太陽并且今天比昨天冷q”“只有今天下午出太陽p，我們才去游泳r”“若我們不去游泳，則我們將去乘獨木舟游覽s”“若我們乘獨木舟游覽，則我們將在黃昏回家t”結(jié)論：“我們將在黃昏回家”解：pq前提

p

r→p r→s s→t10rst1.5.5消解11121.5.7量詞化句子推理規(guī)則全稱例化全稱一般化存在例化存在一般化例1.5.25給出如下假設(shè)：每個人都喜歡Microsoft或者Apple。Lynn不喜歡Microsoft，說明由假設(shè)可得出結(jié)論，Lynn喜歡Apple。設(shè)P(x)表示命題函數(shù)“x喜歡Microsoft”，Q(x)表示命題函數(shù)“x喜歡Apple”。第一個前提是x(P(x)∨Q(x))。通過全稱例化，得到P(Lynn)∨Q(Lynn)。第二個前提是┐P(Lynn)。析取三段論推理規(guī)則得出Q(Lynn)，代表命題“Lynn喜歡Apple”。這樣，得出了遵從假設(shè)的結(jié)論。1314本節(jié)復(fù)習(xí)1.什么是數(shù)學(xué)系統(tǒng)？2.什么是公理？3.什么是定義？4.什么是未定義項5.什么是定理？6.什么是證明？7.什么是引理？8.什么是直接證明？9.“偶數(shù)”的形式化定義是什么？10.“奇數(shù)”的形式化定義是什么？11.什么是反證法？12.什么是間接證明？13.什么是逆否證明？14.什么是分情況證明？15.什么是存在性證明？16.什么是演繹推理？17.什么是論證過程中的假設(shè)？18.什么是論證過程中的前提？19.什么是論證過程中的結(jié)論？20.什么是有效的論證？21.什么是無效的論證？22.說明假言推理規(guī)則。練習(xí)35用符號表示下面的論證過程，并說明論證過程是否有效。設(shè)p:我努力學(xué)習(xí)。q:我的成績是A。r:我發(fā)財了。如果我努力學(xué)習(xí)，則我的成績是A或者我發(fā)財了。我的成績不是A并且沒有發(fā)財?！也慌W(xué)習(xí)。15p→(q∨r)?q?r_________?ppqrq∨rp→(q∨r)?q?r?pTTTTTFTFTFTTTFFFTFFFTFFF16p呢→鵲(q歉∨r京)?q?r__捕__竿__刊__雄_?p注意屑到：歲當(dāng)p迎→賣(q麥∨r彈)，?q，?r三個殺命題雜都為T的時效候，?p也為T，因姓此本已論證帳有效慎。171.湯6證明張導(dǎo)論數(shù)學(xué)拒系統(tǒng)公理定義未定濟義項定理愿、引袍理、敬推論董、證皇明論證嘉一個創(chuàng)定理裹為真陳的過有程稱患為證明18歐幾鉛里德?lián)茙缀喂砝撼墙o定報兩個環(huán)不同退的點務(wù)，存糕在惟泊一的民一條例直線淚通過凈這兩賽個點廈。定義例：工如果x是正校數(shù)或解零，堆則實峰數(shù)x的絕保對值|x|定義府為x，其聯(lián)他情翁況定竿義成-x。19歐幾違里德閱幾何日中的容定理克例如果士一個芝三角蛋形的滅兩條軍邊相派等，勺則這臺兩條沖邊相主對的赤角相秒等。如果持四邊頁形的撇對角帶線互鹽相平裕分，過則四墳邊形軋為平心行四餐邊形歐幾盈里德爆幾何調(diào)中的訓(xùn)推論扒例如果執(zhí)一個機三角緩形是狹等邊妨的，帝則它遣是等予角的塘。201.野6.骨5直接恥證明惰法構(gòu)造版一個億條件斜語句pq的直幟接證戒明假設(shè)p為真應(yīng)用居推理粥規(guī)則內(nèi)構(gòu)造推出q也一虧定為素真定義紛：整大數(shù)n為偶群數(shù)，陽如果亦存在樂一個典整數(shù)k使得n=究2k蛇;整數(shù)n為奇乏數(shù)，半如果化存在薪一個踩整數(shù)k使得n=殃2k超+1直接紡證明摧方法者舉例例：滔如果m和n都是條完全扮平方勿數(shù)，法那么mn也是傍一個蠶完全膨平方拉數(shù)。（若頂有一仔個整限數(shù)b使得a=餓b2,則整清數(shù)a是一濁個完健全平糊方數(shù)哪）證明跑：根替據(jù)完耍全平炕方數(shù)逢的定復(fù)義，氧可知存在s,湯t，使氣得m=搜s2,課n艦=t2mn真=s2t2=(儲st壺)2所以mn是一蝦個完仆全平撫方數(shù)2122例假設(shè)d、d1、d2和x是任撓意實病數(shù)if饑d籃=m尿in指(d酬1,反d2撐)繭an到d鬧x牌≤dth宰en窯x擱≤d飄1睜an鎮(zhèn)d柔x哲≤d轎2證明餅：根據(jù)mi盞n的定籌義可旨以推描出d≤d1并且d≤d2。依x≤d并且d≤d1，可趣以根戴據(jù)前租面的賽定理辣（例1.賤5.并5的第字二個紙定理驕）推賞出x≤d1。由測于x≤d并且d≤d2，可處以根陰據(jù)前情面的熟同一堆個定歉理推揀出x≤d2。因腦此，x≤d1并且x≤d2。231.贈6.搖6反證法反證誼法有開時稱篩為間伴接證律明，逝它使惜用矛斗盾來瓦證明淹命題強。通常藥用被紫否定焰了的合結(jié)論申作為侮前提姓，推出鍬矛盾終，從未而證區(qū)明原舍命題餐為真24反證死法的塵正確賊性通過結(jié)命題p→q和(p^?q)扔→胖(r^?r)的等奴價性秘來說評明反案證法幟的正搞確性順。例給出塞定理穗“若3n妄+2是奇想數(shù)，沾則n是奇惱數(shù)”屬的證胳明若用館直接瓦法證扔明，限設(shè)3n肢+2是奇胖?jǐn)?shù)，豎則存打在k使得3n醉+2滾=2悉k+胃1—陷—能否環(huán)從中承得出n是奇腫數(shù)的嘆結(jié)論村？反正廈法：第一步：屠假設(shè)疏條件孔語句瓶結(jié)論披是假牙，即床“3n米+2是奇抱數(shù)，n不是亦奇數(shù)隨”，闖那么n是偶貍數(shù)。擠即：n=帥2k捐+1燭,第二步：睛根據(jù)郊上面終的假輩設(shè)，溜則3n吼+2財=3改(2酬k)喘+2主=6桂k+蠟2=梯2(心3k益+1帖),也就叛是得盜出3n劍+2是偶案數(shù)，川這與稼原命槽題的部假設(shè)喊“3n童+2危”是奇楚數(shù)”觸矛盾所以腳原來兄的條樓件語釣句為碌真，癢定理注得證梁。2526例用反探證法錄證明娛下面雅的陳垃述：對于論所有湖的實梨數(shù)x和y，如x+融y≥室2，則x嫁≥1或y炎≥1證:設(shè)結(jié)暢論為議假,x般<1兵,y辰<1街,則x+洽y<遣1+葛1=客2我們搖得出勉矛盾pan先dno層tp,其中p:怠x陵+y施≥2例：漢用反手證法封證明最句子送：對于考所有檢的整機數(shù)m，若m2為奇豬數(shù)，鹿則m為奇埋數(shù)。證明禍：首耕先將m看作隆任意樓的整莖數(shù)。糾原命園的逆藝否命帽題為秤：“若m為不椒是奇吐數(shù)，座則m2不是頂奇數(shù)折?！钡葍r束于：若m為偶籮數(shù)，隨則m2為偶抄數(shù)。因此陵假定m為偶嚇數(shù)，彼則m＝2k，其棍中k為某致個整組數(shù)。孫于是m2＝（2k）2＝2·（2k2）。查由于m2可以翠寫成2×某個葛整數(shù)貼的形尚式（財整數(shù)贈為2k2），員所以m2為偶兔數(shù)。嘆證畢鉆。27空證醒明如果槽能證罵明p為假藏，就豈得到p刊→近q為真精，這桐種證貸明方椅法叫邊空證泰明例，微證明p(德0)為真芽，其最中p(益n)表示扭“若n>態(tài)1,則n2>n件”,論域鳥是所彼有整木數(shù)解：唱命題p(遼0)是條券件語竹句“志若0>彎1,則02>0”。因為杰前提0>炭1所假公，所旺以p(爬0)自動午為真注：啞在這席里，胖條件綁語句筒的結(jié)謹(jǐn)論為娘假，煮與條離件語闖句的唇真值遇無關(guān)鏟，因獻(xiàn)為前標(biāo)提為熱假的狠條件鮮保證如了每條件盜語句粘為真28平凡五證明在條素件語幫句p尊→藝q中，真如果狂知道尾結(jié)論q為真呼，那待么就躺能得樂出條問件語舉句為班真。店這種變證明血方法虧為平竄凡證賭明例,設(shè)p(粉n)表示撲“若a、b是滿輝足a≥b的正驅(qū)整數(shù)隊，則an≥bn”,其中釀?wù)撚虍?dāng)是所棒有整嚴(yán)數(shù)。諸證明紙命題p(摧0)為真犬。解：腸命題p(起0)是“亡若a、b是滿搭足a挎≥b的正撞整數(shù)織，則a0≥b0”因為a0=b0=1，即亂條件泊語句慈的結(jié)羅論為誰真，所以驗條件昌語句p(質(zhì)0)為真29利用斷等價煙關(guān)系焦證明p當(dāng)且晃僅當(dāng)qpq≡(pq)∧(qp)例1.培5.砍15證明衣對于計所有快的整番數(shù)n，n為奇遵數(shù)當(dāng)且兼僅當(dāng)n－1為偶朝數(shù)。30利用態(tài)等價算關(guān)系械證明例1.陸5.奸15證明客對于痕所有填的整匪數(shù)n，n為奇豬數(shù)當(dāng)學(xué)且僅看當(dāng)n－1為偶受數(shù)。證明猴：如果n為奇頃數(shù)，裕則n－1為偶去數(shù)。若n為奇耐數(shù)，米則n＝2k＋1，其員中k為某藥個整亞數(shù)。畢于是n－1＝(2柿k＋1)－1＝2k，鳳所以n－1為偶和數(shù)。下面葡證明嫁“如果n－1為偶縫數(shù)，提則n為奇哥數(shù)”。如果n－1為偶犧數(shù)，概則n－1＝2k，其吊中k為某艘個整似數(shù)。鄉(xiāng)豐于是n＝2k＋1所以n為奇濫數(shù)。龜證畢拜。31反例暫證明贈法反駁x熟P(貨x)只需昌在論森域內(nèi)撿找到意一個x，使P(餓x)為假衣。例1.少5.獎19命題截“n芽(2n+1稍)是素嶄數(shù)”為旋假。反例憲為n＝3時，23＝9，不啄是素狐數(shù)321.棉7證明燦方法狡和策醉略窮舉病證明分情獨況證峰明存在宣性證軋明唯一奮性證糕明證明繡策略331.看7.套2窮舉士證明有些蔬定理砍可以饑通過盞有關(guān)卵的小榮數(shù)量上例子爸測驗社來證班明——窮舉指證明例，糖當(dāng)n是一姑個正名整數(shù)軟，且n老≤4時，(n排+1賢)3≥3n解：墓用窮仆舉證疲明對于n=幻玉1,踩(齒n+相1)3=23=8溫,而31=3，即(n脈+1柱)3≥3n對于n=秤2，(n普+1香)3=33=2悟7,而32=9，即(n骨+1葵)3≥3n對于n=屑3,保(鏟n+百1)3=43=6弓4,而33=2端7，即(n藏+1沖)3≥3n對于n=造4,既(及n+辦1)3=53=1灑25籠,而34=8纏1，即(n含+1向)3≥3n對于葉論域架中的養(yǎng)每個n，都吸有(n交+1迎)3≥3n34分情必況的業(yè)證明擁法例如涉，前微提“x是一傅個實濤數(shù)”先可以都被分修成兩燃種情集況：(a繡)作x是一協(xié)個非議負(fù)實殘數(shù)(b弟)狠x是一痰個負(fù)著實數(shù)寬。例1.算5.戶14證明古對每稻個實唇數(shù)x，x≤|x酷|。證明顯：當(dāng)x≥0時，血根據(jù)毀絕對什值的釣定義溪，|x常|＝x，于峰是|x寬|≥x。當(dāng)x<映0時，凱根據(jù)季絕對適值的和定義李，|x共|＝－x，因浩為|x簡|＝－x>緞0，0>縣x，所富以|x須|>趟x。兩種改情況達(dá)下都既有|x川|≥x，所蟲以命至題成漁立。351.敘7.崇3存在產(chǎn)性證鏈明需在澇論域毀中找拌到一笨個x使P(擊x)為真希即可專。例1.溫5.陡17令a和b為實琴數(shù)且a<綢b。證葵明存拒在實串?dāng)?shù)x滿足a<崗x<繭b。證明回只泥需找礙到一樣個實功數(shù)x滿足a<昏x<匠b即可徒。實均數(shù)x＝顯然久滿足a<姿x<傅b。36372.饒4數(shù)學(xué)裙歸納膊法Sn表示n個正蠻整數(shù)皺的和Sn=捎1病+窩2毅+識?+n3839前n個自針然數(shù)態(tài)之和塔為n(元n+塵1)未/2證明鵝：對n進行砍歸納瞞。當(dāng)n=站1時，烘有S(徹1)予=1騙=1劑×(盯1+鉆1)來/2，故券命題即成立福。假設(shè)吳前n個自始然數(shù)泰之和S(咐n)為n(泡n+黃1)王/2。接著維證前n+草1個自鄉(xiāng)豐然數(shù)愚之和S(罰n+鹿1)秀=(核n+瞧1)帖(n股+2繞)/偷2。根據(jù)S(察n)的定廳義，軍有S(幸n+嗽1)駛=S乳(n流)+盯n+殊1，又由育假設(shè)S(矩n)顏=歐n(微n+輛1)啦/2，于剛是可道以推蝕得S(稀n+密1)霞=n肚(n窩+1蓋)/標(biāo)2+擋n+咳1=或(n辛+2柱)(征n+菠1)蜘/2，命兵題得裝證。40數(shù)學(xué)灣歸納譽法原哭理設(shè)對勇于每航個正密整數(shù)n，我察們有便一個稻陳述s(巡壽n)，假徑設(shè)s(蛛1)為真；如對亞于所不有的i，s(聞i)為真摩，s(耐i+娛1)也為籌真。則對秋于所呼有正居數(shù)n，s(吩n)為真會。41定義紋：n的階敗乘定作義即如影果n≥陳1，n！等欣于所田有1到n之間竊的整辭數(shù)的闖乘積鑄。特別割是將0！定四義為142例2.幫4.駱3使用悠歸納枯法證兵明n!≥涌2n-揭1對所卸有n≥拼143如果秀要驗概證命壁題S(n0),S(n0＋1)，…為真則必通須把基本節(jié)步變成S(n0)為真歸納喬步變?yōu)閷θ误w意的n≥n0，如簡果S(n)為真叫，則S(n+丹1)為真迫。44例2.肺4.橫5用歸水納法停證明5n-1能被4整除居?；緫{步：n=圣1時顯叫然為焰真歸納宣步：設(shè)5n-1可被4整除5n+胡1-1籍=5·5n-1箱=(營5n-1她)+盒4·5n可被4整除所以對于n=介1,觀2…,祝5n-1能被4整除45對任肺意的酷自然榴數(shù)x和n，xn-1能被x-廚1除盡證明啄：對n進行雁歸納萍。基本異步：當(dāng)n=物1時，尋定理辣顯然棄成立規(guī)。歸納掉步：假設(shè)n-劈燕1時定摘理仍知然成剛立，守即假范設(shè)對摸任意環(huán)自然譽數(shù)x，xn-洞1-1能被x-誘1除盡綢。接下桂來要梅證明姻的就攀是xn-1能被x-枯1除盡饑。證明設(shè)思路慨就是愈用xn-治1-1來表隔達(dá)xn-1。根據(jù)動歸納伏假設(shè)xn-困1-1能被x-五1除盡因，則活：xn-1晃=x千(xn-詞1-1判)胃