雙等邊三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的三部曲-一類特殊費(fèi)馬點(diǎn)構(gòu)圖的內(nèi)在演變 論文

雙等邊三角形旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的三部曲

——一類特殊費(fèi)馬點(diǎn)構(gòu)圖的內(nèi)在演變

摘要：三個(gè)系列問(wèn)題，動(dòng)態(tài)地向大家展示了費(fèi)馬點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中圖形的不變性，圖形內(nèi)涵豐富，在前兩期解法的總結(jié)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多解法是費(fèi)馬點(diǎn)基本圖形的一部分，可以歸納整理深度思考，同時(shí)教科書般地指導(dǎo)我們對(duì)研究幾何圖形的本質(zhì)思考——研究圖形變化中的不變性.關(guān)鍵詞：條件統(tǒng)一圖形契合結(jié)論一致2020年超長(zhǎng)寒假中，蚌埠市教育科學(xué)研究所數(shù)學(xué)教研員陳耀忠老師在蚌埠市初中教師教研群帶領(lǐng)老師們?cè)诿}和解題教學(xué)研討，這里呈現(xiàn)2020年3月9日，11日和13日三天蚌埠市初中數(shù)學(xué)馮旭龍老師提供的原創(chuàng)三道題：一、好曲回放 （2020年3月9日試題）D是等邊三角形ABC的邊AC上一點(diǎn)，BD=DE，∠BDE=120°，AE中點(diǎn)為F.（1）如圖1，若E在BC延長(zhǎng)線上.①證明：DM//BC；②求BC的值CE（2）如圖2，一般的，求sin∠DCM的值. 第（2）問(wèn)解法賞析:借助四點(diǎn)共圓+梯形中位線性質(zhì)

解法1：該解法的核心是借助四點(diǎn)共圓在BE上找到點(diǎn)B和點(diǎn)D距離相等的點(diǎn)，然后再利用梯形中位線性質(zhì)，如圖3是利用A，O，D，B四點(diǎn)共圓得到OB=OD，簡(jiǎn)潔有效.如圖3，過(guò)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)E作EN⊥BC于點(diǎn)N，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BCD',

∵∠BDD'=∠BCD'=60°，∴D'，C，D，B共圓，O為圓心,∵∠DOE=60°，∠OED=30°，∴OB=OD=1OE，∴BO 1=，2OE 2∴BF=1，∴C是FN中點(diǎn)，又M是AE中點(diǎn)，∴MC∥AFFN2∴∠DCM=∠CAF=30°，∴sin∠DCM=1

2圖3 解法2:構(gòu)造正三角形，借助全等三角形

如圖4，此法關(guān)鍵是構(gòu)造出等邊△BDF，進(jìn)而利用三角形中位線性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出△MNN為正三角形，進(jìn)而得出結(jié)果，此解法通俗易懂.如圖4，以BD為邊，作正△BDF，∴DF=BE，DM∥AF

∵BF=BD，∠FBA=∠DBC，BA=BC，∴△ABF≌△CBD(SAS)

∴AF=DC，∠BAF=∠ABC=60，∴AF∥BC∥DM，取CD中點(diǎn)N，∴DN=1DC=1AF=DM，∴△DCN為正三角形，∴CN=MN,22∴∠DCM=30°,∴sin∠DCM=1.2圖4解法3:巧妙構(gòu)造全等三角形+平行四邊形如圖5，此法啟發(fā)于題源的基本圖形，構(gòu)造題源基本圖形的過(guò)程中，巧妙地利用輔助線得到平行四邊形ADEH，進(jìn)而通過(guò)三角形全等，推導(dǎo)出了△DCH為正三角形.如圖5，延長(zhǎng)DM至H,使DM=MH，連接HA，HC，HE，∴四邊形ADEH為平行四邊形，∵BC=AC，BD=DE=AH,又∵∠CBD+∠CDB=120°，∠CDE+∠CDB=120°,

∴∠CBD=∠CDE，又DE//AH，∴∠CAH=∠CDE

∴△CBD≌△CAH(SAS).∴CD=CH，∠BCD=∠ACH=60°∴△CDH為正三角形，又DM=MH，∴sin∠DCM=sin30°=1.2圖5 （2020年3月11日題目）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，

（1）將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AE，連接EC.①如圖6，求證:BD=EC；

②如圖7，作等邊△BDF，判斷四邊形DCEF的形狀；

（2）如圖8，作等邊△BDE，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，若BF=BD，求證：AD//FC.圖6圖7圖8解法賞析：解法1：巧妙利用垂直，四點(diǎn)共圓不再孤單利用等邊三角形“三線合一”確定中點(diǎn)，由各邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，確定角度之間的相等關(guān)系，進(jìn)而得到四點(diǎn)共圓；最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，證明平行.借助等邊三角形這一特殊三角形配合線段中點(diǎn)解題，充分發(fā)揮中點(diǎn)作用.圖9如圖9，延長(zhǎng)BA交DE于H，則BH⊥DE，作AG⊥BC于G，

∴H是DE中點(diǎn)，G是BC中點(diǎn)，∴∠FHD=∠BDE=60°，∠FGD=∠EBD=60°∴F，D，G，H四點(diǎn)共圓，又∵A，G，D，H四點(diǎn)共圓，∴A，G，D，F(xiàn)，H五點(diǎn)共圓，∴∠FAD=60°，又∵∠AFD=90°，∴∠ADF=30°=∠DFC，∴AD∥FC.解法2：平行輔助全等，思維殊途同歸，經(jīng)典得以延續(xù)

如圖10，借助線段中點(diǎn)，通過(guò)倍長(zhǎng)線段，利用平行四邊形性質(zhì)，構(gòu)造平行四邊形.由四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得出四點(diǎn)共圓；通過(guò)角度之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，得出三角形全等，進(jìn)一步確定△AD為等邊三角形，最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，證明平行.圖10 解法3：旋轉(zhuǎn)促相似，共圓助解題

如圖11，旋轉(zhuǎn)△ABD，構(gòu)造Rt△CMB，又見直角三角形斜邊中點(diǎn)A，利用AF為△CME的中位線，找到角度之間的關(guān)系，證明結(jié)論.此解法充分展現(xiàn)了共頂點(diǎn)，等線段，促旋轉(zhuǎn)的思路，借助中點(diǎn)進(jìn)行解題.圖11

（2020年3月13日試題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120° .△BDE是等邊三角形.（1）如圖12，若點(diǎn)D在BC上，四邊形CDEF是平行四邊形.求證：AD=AF；（2）如圖13，點(diǎn)D不在BC上，設(shè)M為EC的中點(diǎn).①證明:AM⊥MD；

②證明:∠BAC=2∠DAM.圖12 圖13 解法賞析：旋轉(zhuǎn)平行得中點(diǎn)

如圖14，將△ABD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)60°至△DEF，連接AF，則△ADF為正三角形

∵∠BAC+∠BDE=180°，∴A，B，D，G四點(diǎn)共圓

∴∠CGD=∠ABD=∠FED，∴EF∥AC，∵AB=EF=AC

易證△EMF≌△AMC，可得A，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且AM=MF∵△ADF為等邊三角形，∴AM⊥MD，DMAD=60o 1

=DBAC2EAGHFCB D

圖14

二、好曲細(xì)品 這看上去相互獨(dú)立的三個(gè)題，仔細(xì)品味比較，內(nèi)在完美契合：

（1）條件的統(tǒng)一——等邊三角形+頂角120°的等腰三角形——很好地為形成費(fèi)馬點(diǎn)做好鋪墊.（2）圖形的契合——三個(gè)題題型圖你中有我，我中有你，即等邊三角形與頂角為120°的等腰三角形底角頂點(diǎn)處大手拉小手——為旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等或相似做好準(zhǔn)備. （3）結(jié)論的一致——內(nèi)含60°角的直角三角形（∵120°的存在，∴∠MAD=60°，AM⊥MD）——120°角的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中帶動(dòng)整個(gè)圖形的不變性 （4）解法的相通——從解法的展示可以看出三道題解法可以互相借鑒——借助手拉手模型，巧用旋轉(zhuǎn)變換和中點(diǎn)構(gòu)造相似或全等解決問(wèn)題.追溯本源，具體如下：

2020年3月9日試題

HADGMFEBCN2020年3月11日試題E

H

GAMFNBDC2020年3月13日試題

HBEGMDFNAC還原滬科版八年級(jí)上冊(cè)教材費(fèi)馬點(diǎn)基本圖形，構(gòu)圖巧妙，內(nèi)涵豐富.滬科版八年級(jí)上冊(cè)教材第140頁(yè)15.3習(xí)題第12題三個(gè)系列問(wèn)題，動(dòng)態(tài)地向大家展示了費(fèi)馬點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中圖形的不變性，圖形內(nèi)涵豐富，在前兩期解法的總結(jié)中，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多解法是費(fèi)馬點(diǎn)基本圖形的一部分，可以歸納整理深度思考，同時(shí)教科書般地指導(dǎo)我們對(duì)研究幾何圖形的本質(zhì)思考——研究圖形變化中的不變性.三、好曲暢想這三道系列問(wèn)題，經(jīng)典的手拉手模型，讓筆者想到曾經(jīng)安徽中考幾何壓軸題也有類似的好劇連播：

（2013安徽23）我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C． （1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）；

（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：AB=BEDCEC（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E．若EB=EC，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫出你的結(jié)論．（不必說(shuō)明理由）（2015安徽23）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．（1）求證：AD=BC；

（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求AD的值.EF（2016安徽23）如圖1，A，B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)．（1）求證：△PCE≌△EDQ；

（2）延長(zhǎng)PC，QD交于點(diǎn)R．①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和AD的值.EF（2021安徽23）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上， 且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；

（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長(zhǎng)；（3）如圖3，若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，求BE的值．EC （2022年安徽卷第22題）如圖1，已知四邊形ABCD中，BC=CD，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．（1）如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形BCDE是菱形；

（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大??；

（ⅱ）若AF=AE，求證：BE=CF.D CADFCBAEBE圖1圖22021年鄰角相

等四邊形ABCD2013年鄰角相等2016年雙等腰三（2013年23題2022年雙等腰三四邊形ABCD角形腳拉腳旋轉(zhuǎn)圖再探究）角形手拉手旋轉(zhuǎn)2015年對(duì)邊相等2015年雙等腰三2021年雙等腰三2022年鄰邊相等四邊形ABCD角形手拉手旋轉(zhuǎn)角形手拉腳旋轉(zhuǎn)四邊形ABCD四、教學(xué)建議 1.立足教材，夯實(shí)四基，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)

教材是教學(xué)的根本，是學(xué)生獲得基本知識(shí)，基本思想方法，基本技能，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，教材里的習(xí)題大都具有典型性和遷移性，內(nèi)涵豐富，值得深入研究因此在中考復(fù)習(xí)階段，教師有針對(duì)性地創(chuàng)造性地使用教材例習(xí)題，以教材例習(xí)題為藍(lán)本，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行深加工、改編和拓展，一題多變，一題多結(jié)，一題多解，多題一解，可以幫助學(xué)生深層理解問(wèn)題本質(zhì)，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.高效提升學(xué)生的思維品質(zhì)，而不是讓學(xué)生一入題庫(kù)深似海，產(chǎn)生厭學(xué)情緒，因此教師要靜下心來(lái)關(guān)注教材，深入理解教材，用好教材中的素材，對(duì)教學(xué)內(nèi)容科學(xué)合理化的結(jié)構(gòu)整合，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)與方法的層次性和多樣性，逐漸拓展和加深課程內(nèi)容，進(jìn)行符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的變式，引申與拓展，深入淺出的進(jìn)行思維拓展教學(xué)，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需要，提高課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，真正做到以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù). 2.關(guān)注過(guò)程，培養(yǎng)幾何直觀，強(qiáng)化邏輯推理

幾何直觀是初中學(xué)生解決幾何問(wèn)題的必備能力.史寧中教授曾說(shuō)過(guò)：“幾何直觀是指借助見到的（或者想象出來(lái)的）幾何圖形的關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)學(xué)關(guān)系）進(jìn)行直接認(rèn)知，整體把握的能力.”在平時(shí)的教學(xué)中，努力有意滲透，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯演繹推理能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.”學(xué)生在幾何證明過(guò)程中思維能力弱，主要原因在于學(xué)生對(duì)圖形的剖析、解構(gòu)和重構(gòu)能力有待大幅度提高，對(duì)常用基本圖形，經(jīng)典模型的認(rèn)知和理解儲(chǔ)備不夠，遇到新問(wèn)題無(wú)法通過(guò)聯(lián)想、類比、遷移分離出基本模型，或能分離出基本模型卻不會(huì)深度探究基本圖形的內(nèi)涵和外延，因此，在教學(xué)中可以借助一些數(shù)學(xué)軟件，比如幾何畫板軟件，針對(duì)一些幾何圖形通過(guò)動(dòng)態(tài)展示給學(xué)生，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象能力，提供多樣化的活動(dòng)方式，讓學(xué)生積極參與，更易于學(xué)生理解幾何圖形的變化過(guò)程，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是一個(gè)生動(dòng)活潑的，主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，讓學(xué)生積極參與到知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程中來(lái)，促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成積極的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，逐步形成核心素養(yǎng). 3.努力滲透，注重創(chuàng)新意識(shí)，提升思維品質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）