二次函數(shù)根的分布

二次函數(shù)根的分布二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納1、一元二次方程根的分布情況設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見(jiàn)下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個(gè)根小于，一個(gè)大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）

表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫(huà)了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）——————根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是（1）時(shí)，；（2）時(shí)，對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況：若或，則此時(shí)不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因?yàn)?，所以，另一根為，由得即為所求；方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，即，此時(shí)由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：①由即得出；②由即得出或，當(dāng)時(shí)，根，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或根的分布練習(xí)題例1、已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由即，從而得即為所求的范圍。例2、已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由或即為所求的范圍。例3、已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由即即為所求的范圍。例4、已知二次方程只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個(gè)正根，則即為所求范圍。（注：對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在內(nèi)，由計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大）1．二次函數(shù)及圖象設(shè)有一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，判別式Δ=b2-4ac，當(dāng)Δ＞0時(shí)y=f(x)與x軸有二交點(diǎn)；當(dāng)Δ=0時(shí)，y=f(x)與x軸僅有一交點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，y=f(x)與x軸無(wú)交點(diǎn)．當(dāng)Δ＞0時(shí)，設(shè)y=f(x)圖象與x軸兩交點(diǎn)為x1＜x2．一元二次函數(shù)y=f(x)與x軸交點(diǎn)x1，x2就是相應(yīng)一元二次方程f(x)=0的兩根．觀察圖象不難知道．圖像為觀察圖象不難知道△=0，a＞0,△=0，a＜0當(dāng)△＜0時(shí)，y=f(x)圖象與x軸無(wú)公共點(diǎn)，其圖象為觀察圖象不難知道．a(chǎn)＞0時(shí),絕對(duì)不等式f(x)＞0解為x∈R．a(chǎn)＜0時(shí),絕對(duì)不等式f(x)＜0解為x∈R．2．討論一元二次方程的根的分布情況時(shí)，往往歸結(jié)為不等式（組）的求解問(wèn)題，其方法有3種：（1）應(yīng)用求根公式；（2）應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系；（3）應(yīng)用二次函數(shù)圖象．在進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，應(yīng)保證這種轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．就這三種方法而言，應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)應(yīng)是比較簡(jiǎn)捷的一種方法．設(shè)f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的個(gè)根為α，β（α≤β），m，n為常數(shù)，且n＜m，方程根的分布無(wú)外乎兩種情況：②α，β同居一區(qū)間時(shí)，不但要考慮端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮三、好題解給你(1)

預(yù)習(xí)題1.設(shè)有一元二次函數(shù)y＝2x2-8x+1．試問(wèn)，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值變大還是變?。坑纱藋＝f(x)在[3，4]上的最大值與最小值分別是什么？解：經(jīng)配方有y＝2(x-2)2-7∵對(duì)稱軸x＝2，區(qū)間[3，4]在對(duì)稱軸右邊，∴y＝f(x)在[3，4]上隨x變大，y的值也變大，因此ymax=f(4)＝1．ymin＝f(3)＝-5．2.設(shè)有一元二次函數(shù)y＝2x2-4ax+2a2+3．試問(wèn)，此函數(shù)對(duì)稱軸是什么？當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值是變大還是變??？與a取值有何關(guān)系？由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值與最小值．解：經(jīng)配方有y＝2(x-a)2+3．對(duì)稱軸為x=a．當(dāng)a≤3時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間[3，4]在對(duì)稱軸的右邊，因此，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值也變大．當(dāng)3＜a＜4時(shí)，對(duì)稱軸x=a在區(qū)間[3，4]內(nèi)，此時(shí)，若3≤x≤a，隨x變大，y的值變小，但若a≤x≤4，隨x變大，y的值變大．當(dāng)4≤a時(shí)，因?yàn)閰^(qū)間[3，4]在對(duì)稱軸的左邊，因此，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)，隨x變大，y的值反而變?。鶕?jù)上述分析，可知．當(dāng)a≤3時(shí)，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21．當(dāng)3＜a＜4時(shí)，ymin＝f(a)＝3．其中，a≤3.5時(shí)，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35．a(chǎn)≥3.5時(shí)，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．當(dāng)a≥4時(shí)，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．(2)

基礎(chǔ)題例1．設(shè)有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．試問(wèn)：(1)m為何值時(shí)，有一正根、一負(fù)根．(2)m為何值時(shí)，有一根大于1、另一根小于1．(3)m為何值時(shí)，有兩正根．(4)m為何值時(shí)，有兩負(fù)根．(5)m為何值時(shí)，僅有一根在[1，4]內(nèi)？解：(1)設(shè)方程一正根x2，一負(fù)根x1，顯然x1、x2＜0，依違達(dá)定理有m+2＜0．∴m＜-2．反思回顧：x1、x2＜0條件下，ac＜0，因此能保證△＞0．(2)設(shè)x1＜1，x2＞1，則x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．依韋達(dá)定理有(m+2)+2(m-1)+1＜0．(3)若x1＞0，x2＞0，則x1+x2＞0且x1，x2＞0,故應(yīng)滿足條件依韋達(dá)定理有(5)由圖象不難知道，方程f(x)＝0在[3，4]內(nèi)僅有一實(shí)根條件為f(3)·f(4)＜0，即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2.當(dāng)m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根？解：負(fù)數(shù)根首先是實(shí)數(shù)根，∴，由根與系數(shù)關(guān)系：要使方程兩實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，必須且只需兩根之和為負(fù)，兩根之積為正．由以上分析，有即∴當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根．

(3)

應(yīng)用題例1.m取何實(shí)數(shù)值時(shí)，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的兩個(gè)實(shí)根都大于2？解：設(shè)f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如圖原方程兩個(gè)實(shí)根都大于2所以當(dāng)-5＜m≤-4時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根大于2．例2．已知關(guān)于x方程：x2-2ax＋a＝0有兩個(gè)實(shí)根α，β，且滿足0＜α＜1，β＞2，求實(shí)根a的取值范圍．解：設(shè)f（x）=x2-2ax＋a，則方程f（x）=0的兩個(gè)根α，β就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖0＜α＜1，β＞2的條件是：＜1，β＞2．例3．m為何實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2.解：設(shè)f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如圖，原方程一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2的充要條件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以當(dāng)m＜-5時(shí)，方程的一個(gè)實(shí)根大于2，另一個(gè)實(shí)根小于2．(4)

提高題例1．已知函數(shù)的圖象都在x軸上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）當(dāng)，則所給函數(shù)為二次函數(shù)，圖象滿足：

，即解得：（2）當(dāng)時(shí)，若，則的圖象不可能都在x軸上方，∴若，則y=3的圖象都在x軸上方由（1）（2）得：反思回顧：此題沒(méi)有說(shuō)明所給函數(shù)是二次函數(shù)，所以要分情況討論．例2．已知關(guān)于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有兩個(gè)實(shí)根α，β，且滿足0＜α＜1＜β，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：設(shè)f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，則方程f（x）=0的兩個(gè)根α，β，就是拋物線y=f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．如圖，0＜α＜1＜β的條件是解得例3．已知關(guān)于x的方程3x2-5x＋a=0的有兩個(gè)實(shí)根α，β，滿足條件α∈（-2，0），β∈（1，3），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)f（x）=3x2-5x＋a，由圖象特征可知方程f（x）=0的兩根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的解得-12＜a＜0．四、課后演武場(chǎng)1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的兩根都是正數(shù)，則m的取值范圍是（B）A．B．C．D．2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比-1小，則m的取值范圍是（C）A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜03.已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（C）A．B．C．D．4．已知關(guān)于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一個(gè)根大于4，而另一個(gè)根小于4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要條件是：f（4）＜0）5．已知關(guān)于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間（0，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．征可知方程f（x）=0的兩根都在（0，2）內(nèi)的充要條件是2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值問(wèn)題探討設(shè)，則二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大、最小值有如下的分布情況：即圖象最大、最小值對(duì)于開(kāi)口向下的情況，討論類似。其實(shí)無(wú)論開(kāi)口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：（1）若，則，；（2）若，則，另外，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向上時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過(guò)來(lái)，當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向下時(shí)，自變量的取值離開(kāi)對(duì)稱軸軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無(wú)非就是從三個(gè)方面入手：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及閉區(qū)間，以下三個(gè)例題各代表一種情況。例1、函數(shù)在上有最大值5和最小值2，求的值。解：對(duì)稱軸，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)。（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，故例2、求函數(shù)的最小值。解：對(duì)稱軸（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，改：1．本題若修改為求函數(shù)的最大值，過(guò)程又如何？解：（1