二階常微分方程邊值問(wèn)題

二階常微分方程邊值問(wèn)題課程名稱(chēng)：數(shù)值代數(shù)課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教師：劉蘭冬班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱(chēng)：二階常微分方程邊值問(wèn)題實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙螅憾A常微分方程邊值問(wèn)題，（該問(wèn)題真解為：）步長(zhǎng)h自己選定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函數(shù)畫(huà)出比較圖形。數(shù)值解法。有限差分方法就是一種數(shù)值解法，它的基本思想是先把問(wèn)題的定義域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后在網(wǎng)格點(diǎn)上，按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式把定解問(wèn)題中的微商換成差商，從而把原問(wèn)題離散化為差分格式，進(jìn)而求出數(shù)值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數(shù)值穩(wěn)定性、差分格式的解與原定解問(wèn)題的真解的誤差估計(jì)、差分格式的解當(dāng)網(wǎng)格大小趨于零時(shí)是否趨于真解（即收斂性），等等。有限差分方法具有簡(jiǎn)單、靈活以及通用性強(qiáng)等特點(diǎn)，容易在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。二、二階常微分方程二階常微分方程一般可表示成如下的形式：，(2.1)邊值條件有如下三類(lèi)[9]：第一類(lèi)邊值條件，(2.2)第二類(lèi)邊值條件，(2.3)第三類(lèi)邊值條件[19]，(2.4)其中，，，。在對(duì)邊值問(wèn)題用數(shù)值方法求解之前，應(yīng)該從理論上分析該邊值問(wèn)題的解是否存在，若問(wèn)題的解不存在，用數(shù)值方法計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)沒(méi)有任何意義。下面的定理給出了邊值問(wèn)題存在唯一解的充分條件。定理：設(shè)方程(2.1)中的函數(shù)及，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，并且(ⅰ)；(ⅱ)在內(nèi)有界，即存在常數(shù)，使得，，則邊值問(wèn)題(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。我們假設(shè)函數(shù)可以簡(jiǎn)單地表示成，即邊值問(wèn)題(2.1)-(2.2)為具有如下形式的二階線性邊值問(wèn)題(2.5)三、有限差分法：有限差分方法是用于微分方程定解問(wèn)題求解的最廣泛的數(shù)值方法，其基本思想是用離散的、只含有有限個(gè)未知量的差分方程去近似代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件，并把相應(yīng)的差分方程的解作為微分方程定解問(wèn)題的近似解。有限差分逼近的相關(guān)概念設(shè)函數(shù)光滑，且，利用Taylor展開(kāi)，可得(2.19)(2.20)由(2.19)可以得到一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式(2.21a)或者(2.21b)同理由(2.20)式可得(2.22a)或者(2.22b)其中表示截?cái)嗾`差項(xiàng).因此，可得一階導(dǎo)數(shù)的的差分近似表達(dá)式為(2.23)(2.24)由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商的精度為一階，即為，為了得到更精確的差分表達(dá)式，將(2.19)減(2.20)可得(2.25)從而可以的到(2.26a)或者(2.26b)其中，.可得一階導(dǎo)數(shù)的差分近似表達(dá)式為(2.27)由此可知，(2.16)差商逼近微商的精度為二階，即為。類(lèi)似地，我們還可以給出二階微商和高階微商的差分近似表達(dá)式。例如將(2.19)和(2.20)兩式相加可得進(jìn)而有(2.28)其中.因此，二階導(dǎo)數(shù)的差分近似表達(dá)式[8]為(2.29)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容（方法和步驟）：差分法代碼如下clc;clearallh=0.05;%x屬于【a,b】a=-1;b=1;x=a:h:b;n=length(x);%定義ysymsy;y=(((x+2).*(x+2)).^(-1));holdongridonyx=zeros(1,n);yxx=zeros(1,n);fori=2:n-1yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h);yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2;endplot(x,y,'r','linewidth',2)plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),'g','linewidth',2);plot(x(2:n-1),yxx(1:n-2),'b','linewidth',2);legend('原函數(shù)','差分一階導(dǎo)數(shù)','差分二階導(dǎo)數(shù)')xlabel('$$x$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);ylabel('$$y$$','Interpreter','latex','color','r','fontsize',28);實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析：差分法結(jié)果如下：從圖上我們可以看到，可以得到函數(shù)圖像確實(shí)十分接近理論上的解答，差分二階導(dǎo)數(shù)比起差分一階導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)，更加接近原函數(shù)。差分二階導(dǎo)數(shù)在后面幾乎能跟原函數(shù)重合，是非常好的求邊值問(wèn)題的方法。我們?cè)谡麄€(gè)實(shí)驗(yàn)中，感覺(jué)最困難的就是對(duì)于差分法的理解以及程序的編寫(xiě)上面。我們查詢(xún)了各種有關(guān)于常微分方程邊值問(wèn)題、有限差分法、二階常微分方程的資料以及論文，差分法實(shí)際上就是用離散的、只含有有限個(gè)未知量的差分方程去近似