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1、第二章 交流電機(jī) 的坐標(biāo)變換2-1: 變換概述2-2: 循環(huán)矩陣的對角化2-3:1、2、0及F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)2-4:、0坐標(biāo)系統(tǒng)2-5: d、q、0坐標(biāo)系統(tǒng)2-6: dc、qc、0坐標(biāo)系統(tǒng)2-7: 任意速坐標(biāo)系統(tǒng)2-8: 結(jié)論2-1: 變換概述一個(gè)電機(jī)系統(tǒng)的磁鏈方程可以寫成:假定存在一個(gè)非奇異矩陣T,將變換成c,將I變換成Ic:新的磁鏈1、 2、 n稱為實(shí)際磁鏈A、 B、 N的分量;同樣i1、i2、in稱為實(shí)際電流的分量。所以或者其中如果變換T明顯使得新的電感矩陣Lc較變換前的電感矩陣L簡單,這個(gè)變換才是有意義的。如果Lc變成一個(gè)對角矩陣,那這個(gè)變換是最理想的:利用這個(gè)變換,磁鏈方程變成:2
2、-2: 循環(huán)矩陣的對角化1. 電感矩陣的特點(diǎn)2. 循環(huán)矩陣的對角化3. 電感矩陣的對角化4. 變換矩陣的一般化5. 三階循環(huán)對稱電感矩陣的變換2-2.1 電感矩陣的特點(diǎn)#由于互感的對等性,電感矩陣是對稱矩陣:由于Mij=Mji, n階對稱矩陣中只有n(n+1)/2各不同的元素。#n相對稱系統(tǒng)的電感矩陣是循環(huán)的 n相對稱系統(tǒng)中各相自感相等,相同相對位置的兩相間的互感相等。即:這樣的矩陣稱為循環(huán)矩陣。n階循環(huán)矩陣只有n個(gè)不同的元素:若n階循環(huán)矩陣又是對稱的,則根據(jù)n是奇數(shù)或偶數(shù),其中只有(n+1)/2或(n+2)/2個(gè)不同的元素。#最簡單的循環(huán)矩陣不難證明,循環(huán)電感矩陣可以表示成根據(jù)矩陣?yán)碚摚魏?/p>
3、可以對角化矩陣的變換T,也可以對角化循環(huán)矩陣L。矩陣稱為置換矩陣。2-2.2 循環(huán)矩陣的對角化n階置換矩陣的n個(gè)特征根由下面特征方程給出:或者因此這樣,矩陣的n個(gè)特征根由下式給出:解這個(gè)方程得到n個(gè)特征根:若記則 為求與特征根k對應(yīng)的特征向量,將之代入特征方程,并令 ,得 按k=n-1,n-2,1,0的順序,將各特征根代入上式就得到n個(gè)特征向量。這個(gè)變換矩陣將使置換矩陣變成如下的對角矩陣:n個(gè)特征向量構(gòu)成了如下的變換矩陣:n個(gè)特征向量構(gòu)成了如下的變換矩陣:2-2.3 電感矩陣的對角化由此可以推導(dǎo)得同樣地這樣變換后的電感矩陣由于D,D2,Dn-1是對角矩陣,因此LT也是一個(gè)對角矩陣:2-2.4
4、變換矩陣的一般化 若在生成特征向量時(shí),不是令x1=1,而是令其等于一個(gè)模為1的復(fù)數(shù),則由此得到更加一般化的變換矩陣式中0, 1, n-1可以是常數(shù),或是一個(gè)變量,如時(shí)間t,的函數(shù)。2-2.5 三階循環(huán)對稱電感矩陣的變換對于一個(gè)三階的循環(huán)矩陣,其變換矩陣為 若同時(shí)電感矩陣是對稱的,如隱極電機(jī)定子繞組的電感矩陣:它的特征根由一個(gè)單重根1和一個(gè)兩重根2構(gòu)成:與這三個(gè)特征根對應(yīng)的特征向量因此變換矩陣為:為保證變換矩陣的可逆,上式中2-3:1、2、0及F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng)F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)2-3.1: 1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng) 從a、b、c坐標(biāo)或相坐標(biāo)系統(tǒng)到1、2、0坐標(biāo)系統(tǒng)的變換矩陣除一個(gè)系
5、數(shù)外,就是前面曾導(dǎo)得的矩陣F也就是說或者變換逆變換#對于隱極電機(jī)定子電感矩陣為變換后的電感矩陣為:#120分量法與慣用的對稱分量法在基本形式上是一樣的。但120坐標(biāo)變換中ia、ib、ic是瞬時(shí)值;而對稱分量法中是隨時(shí)間做正弦變化的復(fù)數(shù)時(shí)間向量。使變換前后的功率保持不變變換矩陣的系數(shù)1/3是根據(jù)使變換前后的電壓或電流幅值保持不便來選擇的。但這樣的變換不能保持變換前后的功率不變。為使變換前后的功率不變,變換矩陣應(yīng)為:這時(shí),變換矩陣滿足條件既逆變換矩陣等于變換矩陣的共軛矩陣的轉(zhuǎn)置。2-3.2 F、B、0坐標(biāo)系統(tǒng)如在變換矩陣的一般化中所述,變換矩陣也可以取為:如果上式中的就是轉(zhuǎn)子的位置,則這個(gè)變換與1
6、20變換的區(qū)別在于:120變換將坐標(biāo)軸固定在定子軸線上,而FB0變換則將坐標(biāo)軸固定在轉(zhuǎn)子上。習(xí)慣采用的FB0變換矩陣的系數(shù)與F有所不同逆變換為:FB0變換與120變換的關(guān)系為:2-4:、0坐標(biāo)系統(tǒng)在2-2節(jié)中曾講到,對于三階循環(huán)對稱矩陣,可以采用如下的變換若選擇得變換的算式 由于電機(jī)中性點(diǎn)一般不接地,故零序電流等于零。這樣就可以用、兩個(gè)繞組取代原先的a,b,c三個(gè)繞組。、0坐標(biāo)系0分量在各種坐標(biāo)系統(tǒng)中基本都是一樣的。常為0。#使變換前后的功率保持不變習(xí)慣采用的變換矩陣使變換前后幅值保持不變。為使變換前后功率保持不變,可采用下面的變換矩陣#0變換與120變換的關(guān)系2-5: d、q、0坐標(biāo)系統(tǒng)0坐
7、標(biāo)變換矩陣也可以寫成:假定讓軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)過角度,則相應(yīng)地變換矩陣變成:如果就是轉(zhuǎn)子的位置,隨著轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而變化,就得到dq0坐標(biāo)的變換矩陣??梢?,dq0坐標(biāo)系統(tǒng)與0坐標(biāo)系統(tǒng)的不同在于: 0坐標(biāo)系統(tǒng)固定在定子上,軸與a軸重合;而dq0坐標(biāo)系統(tǒng)固定在轉(zhuǎn)子上,d軸與轉(zhuǎn)子直軸重合。變換矩陣:反變換矩陣:計(jì)算式:#恒功率變換慣用的變換是恒相幅值變換。恒功率變換應(yīng)將變換矩陣改成:dq0坐標(biāo)變換通常又稱為派克(Park)變換。#dq0與0的關(guān)系:或者,當(dāng)考慮零序分量時(shí):或者:所以:#dq0與120的關(guān)系:#dq0與FB0的關(guān)系:FB0坐標(biāo)中F分量以d軸作為實(shí)部,q軸分量作為虛部。B分量是F分量的共軛。2-6
8、: dc、qc、0坐標(biāo)系統(tǒng)dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)與dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的不同之處在于: dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)軸固定在以角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子上;而dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)則是以同步速1旋轉(zhuǎn)。因此, dcqc0坐標(biāo)變換矩陣的形式與dq0坐標(biāo)變換矩陣完全相同,只不過其中的 ,而是 。dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng)與dq0坐標(biāo)系統(tǒng)的關(guān)系為FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)相似地,F(xiàn)B0坐標(biāo)系統(tǒng)將坐標(biāo)系固定在以角速度旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子上; FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)則是以同步速1旋轉(zhuǎn)。因此只需將FB0坐標(biāo)變換矩陣中的換成 ,就得到FcBc0坐標(biāo)變換矩陣。FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng)中,F(xiàn)c分量以dc軸的分量作為實(shí)部,以qc軸分量作為虛部;Bc分量是Fc分量的共軛:2-7: 任
9、意速坐標(biāo)系統(tǒng)前面介紹了六種坐標(biāo)系統(tǒng):實(shí)數(shù)空間復(fù)數(shù)空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)速靜止轉(zhuǎn)子同步速01 2 0d q 0F B 0dcqc0FcBc0可見,對于實(shí)數(shù)空間和復(fù)數(shù)空間的各坐標(biāo)系統(tǒng),它們之間的區(qū)別僅僅在于坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速。#復(fù)數(shù)空間任意速坐標(biāo)系統(tǒng)120坐標(biāo)系統(tǒng):=0,坐標(biāo)系固定在定子上;FB0坐標(biāo)系統(tǒng):=t+0,坐標(biāo)系固定在轉(zhuǎn)子上;FcBc0坐標(biāo)系統(tǒng):=1t+0,坐標(biāo)系以同步速旋轉(zhuǎn);不同速坐標(biāo)系間的變換矩陣:#實(shí)數(shù)空間任意速坐標(biāo)系統(tǒng)0坐標(biāo)系統(tǒng):=0,坐標(biāo)系固定在定子上;dq0坐標(biāo)系統(tǒng):=t+0,坐標(biāo)系固定在轉(zhuǎn)子上;dcqc0坐標(biāo)系統(tǒng):=1t+0,坐標(biāo)系以同步速旋轉(zhuǎn);恒功率變換。恒相幅值變換時(shí)非恒速時(shí),通過積
10、分確定:式中=t+0, 為坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)速度:不同速坐標(biāo)系統(tǒng)之間的變換矩陣為:#同速實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)間的變換:#實(shí)數(shù)空間任意速變換的物理意義:三相電機(jī)的物理模型:既然定子三相繞組對稱,可將之用正交X,Y軸線的繞組和一個(gè)零軸繞組代替(變換的物理模型):任意速坐標(biāo)變換的物理模型:在保持線圈元件靜止的前提下,允許XY軸線旋轉(zhuǎn)。為此,在定子線圈上增設(shè)換向器和電刷,XY繞組的軸線就在電刷的連線上:轉(zhuǎn)子以的速度旋轉(zhuǎn),電刷以的速度旋轉(zhuǎn),電樞仍為靜止的。dq0坐標(biāo)變換的物理模型:使電刷的旋轉(zhuǎn)速度等于轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度,并使X軸與轉(zhuǎn)子d軸重合:這相當(dāng)于一臺在交直軸上各有一對電刷的轉(zhuǎn)極式直流電機(jī)。為使之變成習(xí)慣的轉(zhuǎn)樞
11、式,將轉(zhuǎn)子固定,則電樞將相對轉(zhuǎn)子按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),成為一臺外轉(zhuǎn)子直流電機(jī)。偽靜止繞組: 象上述模型中,繞組的線圈元件靜止不動(dòng),而繞組軸線旋轉(zhuǎn),或更一般地說,繞組的軸線與構(gòu)成該繞組的線圈元件間存在相對運(yùn)動(dòng)的繞組稱為“偽靜止繞組”。2-8 結(jié)論 1. 坐標(biāo)變換將相互偶合的a,b,c三個(gè)繞組變換成在空間上相互正交的、互相間無偶合的三個(gè)繞組,從而電感矩陣變成對角陣,便于分析。 2. 各種變換中的0軸分量基本上是相同的。這個(gè)分量相當(dāng)于零序分量,通常等于0,因此在分析中可以不用此分量。這樣相當(dāng)于把平面上相差120度的a,b,c三個(gè)繞組變換成同一平面上相隔90度的兩個(gè)繞組。 3. 各種變換的不同之處在于除了0軸分量外的其它兩個(gè)分量。在不同的坐標(biāo)系統(tǒng)中這兩個(gè)分量可以是實(shí)數(shù)的,或是復(fù)數(shù)的,坐標(biāo)軸可以以不同的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)。 4. 同一問題可以用幾種不同的坐標(biāo)系統(tǒng)微求得解答。但用某些坐標(biāo)系統(tǒng)時(shí)求解更加方便些,而用另一些坐標(biāo)系統(tǒng)則求解過程要繁瑣一些。因此應(yīng)掌握不同坐標(biāo)系統(tǒng)的特點(diǎn)及它們間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,善于根據(jù)問
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