信息光學(xué)-傅立葉變換

1、(,)( , )exp2 ()xyxyF fff x yjf xf y dxdyyxyxyxdfdfyfxfjffFyxf)(2exp),(),(傅里葉變換傅里葉變換:傅里葉逆變換傅里葉逆變換:f(x,y): 原函數(shù)；原函數(shù)； F(fx,fy): 像函數(shù)或頻譜函數(shù)像函數(shù)或頻譜函數(shù)F(fx,fy)=Ff(x,y)=F.T.f(x,y), F(fx,fy)=F-1f(x,y)=F.T. -1f(x,y), 傅里葉變換的基本性質(zhì)和定理傅里葉變換的基本性質(zhì)和定理原函數(shù)原函數(shù)頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)1(fx,fy)(x,y)1(x-x0,y-y0)exp-j2(fxx0+fyy0)exp-j2(ax+by)(f

2、x-a, fy-b)cos2f0 x)cos2f0 x)sin2f0 x)sin2f0 x)xy001 f -f+ f +f2xxxx001+2xxj001 f -f f +f2jx xxx00-+2原函數(shù)原函數(shù)頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)rect(x)rect(y)sinc(fx)sinc(fy)(x)(y)sinc2(fx)sinc2 (fy)sgn(x)sgn(y)comb(x)comb(y)comb(fx)comb(fy)exp-(x2+y2)exp-(fx2+fy2)22circxyxyjfjf11221222xyxyJffff 1.6 1.6 線性系統(tǒng)分析線性系統(tǒng)分析u 系統(tǒng)：廣義上講實(shí)現(xiàn)函數(shù)

3、變換的運(yùn)算過程系統(tǒng)：廣義上講實(shí)現(xiàn)函數(shù)變換的運(yùn)算過程從狹義上講從狹義上講物理學(xué)系統(tǒng)物理學(xué)系統(tǒng)電子系統(tǒng)電子系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)系統(tǒng)光電混合系統(tǒng)等等光電混合系統(tǒng)等等u 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)的作用可以用一個算符來表示系統(tǒng)的作用可以用一個算符來表示輸入輸入f輸出輸出g 系統(tǒng)系統(tǒng) L(表示系統(tǒng)的作用，某種變換處理)g=Lf系統(tǒng)系統(tǒng)線性線性非線性非線性光學(xué)光學(xué)系統(tǒng)系統(tǒng) 由光學(xué)元器件組成光路系統(tǒng)或儀器由光學(xué)元器件組成光路系統(tǒng)或儀器 光在自由空間中的傳播光在自由空間中的傳播 1.6.1 線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)一、定義一、定義1）疊加性若),(),(),(),(112222111221yxfyxgyxfyxgL

4、L),(),(),(),(112111112111yxfyxfyxfyxfLLL),(),(222221yxgyxg則稱該系統(tǒng)具有疊加性。疊加性：系統(tǒng)中的一個輸入不影響系統(tǒng)對其它輸入的影響。2）均勻性若),(),(1122yxfyxgL對任意常數(shù)a有下成立式),(),(),(221111yxagyxfayxaf LL均勻性：系統(tǒng)能夠保持對輸入信號的縮放因子不變。3)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)若一個系統(tǒng)同時具有疊加性和均勻性，即若一個系統(tǒng)同時具有疊加性和均勻性，即),(),(),(),(1122111111221111yxfayxfayxfayxfaLLL),(),(22222211yxgayxga則稱該

5、系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。則稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。二、線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或二、線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述（線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）1、線性系統(tǒng)分析的基本思想：、線性系統(tǒng)分析的基本思想： 一個復(fù)雜的輸入信號（函數(shù)）f(x,y)，它可以分解成某些簡單函數(shù)（也稱基元函數(shù)基元函數(shù)）的線性疊加。 若系統(tǒng)對每個簡單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出已知（易求得），那么，系統(tǒng)對輸入信號的輸出響應(yīng)就等于系統(tǒng)對這些簡單函數(shù)（基元函數(shù)）的輸出響應(yīng)的線性疊加。)( )()(也可是積分nnnxfaxf11)()(12xfLxgnn則)( )()()(也可是積分nnnxgaxfLxg2121.6.2 線性平移不

6、變系統(tǒng)線性平移不變系統(tǒng)一、線性平移不變系統(tǒng)的定義一、線性平移不變系統(tǒng)的定義 平移不變性：若),(),(2211yxgyxfL),(),(02020101MyyMxxgyyxxfL則稱該系統(tǒng)具有平移不變性。l 所謂平移不變性就是當(dāng)輸入產(chǎn)生平移時，輸出也僅僅發(fā)生平移，形式不變。對于空間函數(shù)來講，也稱為空間平移不變性。 線性平移不變系統(tǒng)：既具有線性又具有平移不變性線性平移不變系統(tǒng)：既具有線性又具有平移不變性的系統(tǒng)稱為平移不變系統(tǒng)。的系統(tǒng)稱為平移不變系統(tǒng)。 對于光學(xué)成像系統(tǒng)而言，理想成像情況下，平移不變性是指：當(dāng)物在物面發(fā)生平移時，它的像在像面上也僅發(fā)生相應(yīng)平移，其中M是垂軸放大率。 實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)，

7、總有一定的孔徑大小，總存在一定的像差，不滿足嚴(yán)格的線性平移不變性，但在一定條件下，可近似為線性平移不變系統(tǒng)。二、線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)二、線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)或點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) 線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)（點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)）為：),(),;,(1122yxLyxh 對于線性平移不變系統(tǒng)),(),;,(,(MyMxhyxhyxL222211如果對輸入、輸出的取適當(dāng)?shù)臉?biāo)度，可使M1，則),(,(),;,(221122yxhyxLyxh),(22yxh稱為線性平移不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。系統(tǒng)的輸出：ddyxhfyxg),(),(),( 2222),(*),(2222yxhyxf的輸出響應(yīng)。點(diǎn)的點(diǎn)脈沖是

8、系統(tǒng)對輸入面坐標(biāo)原其中),(),(1122yxyxh 上式表明：對于線性平移不變系統(tǒng)，其性質(zhì)完全可以由位于坐標(biāo)原點(diǎn)的響應(yīng)h(x2,y2)決定，即對于任意輸入函數(shù)，其輸出就等于該函數(shù)與h(x2,y2)的卷積。線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)式中式中a a為一復(fù)常數(shù)為一復(fù)常數(shù), ,yxafyxfF,若若的本征函數(shù)的本征函數(shù)yxf,則則稱為算符稱為算符 F光學(xué)中常用的本征函數(shù)光學(xué)中常用的本征函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)yxj2exp余弦或正弦函數(shù)余弦或正弦函數(shù)yx002cos1-7 光波的數(shù)學(xué)描述單色光波場的復(fù)振幅表示光場隨時間的變化關(guān)系光場隨時間的變化關(guān)系: 由頻率由頻率n n表征表征.光振動是空間點(diǎn)光振動

9、是空間點(diǎn) (P)和時間和時間(t)的實(shí)簡諧函數(shù)的實(shí)簡諧函數(shù), 可表為可表為:u(P,t) = a(P)cos2 n nt - j j(P)振幅振幅頻率頻率初位相初位相可見光可見光: n n 1014Hz嚴(yán)格單色光嚴(yán)格單色光: n n為常數(shù)為常數(shù)光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在光場隨空間的變化關(guān)系體現(xiàn)在: (1) 空間各點(diǎn)的振幅可能不同空間各點(diǎn)的振幅可能不同(2) 空間各點(diǎn)的初位相可能不同空間各點(diǎn)的初位相可能不同, 由傳播引起由傳播引起.光場變化的空間周期為光場變化的空間周期為l l. .光場變化的時間周期為光場變化的時間周期為1/ n. n.將光場用復(fù)數(shù)表示將光場用復(fù)數(shù)表示,有利于簡化運(yùn)算有利于簡化

10、運(yùn)算單色光波場的復(fù)振幅表示光場隨時間的變化光場隨時間的變化e -j2nnt不重要不重要: u(P,t) = a(P)cos2nnt - j j(P) = ea(P)e-j2nnt -j j(P) n n 1014Hz, 無法探測無法探測n n為常數(shù)為常數(shù),線性運(yùn)算后亦不變線性運(yùn)算后亦不變對于攜帶信息的光波對于攜帶信息的光波, 感興趣的是其空間變化部分感興趣的是其空間變化部分.故引入復(fù)振幅故引入復(fù)振幅U(P):將光場用復(fù)數(shù)表示將光場用復(fù)數(shù)表示,有利于簡化運(yùn)算有利于簡化運(yùn)算= ea(P) e jj j(P). e -j2nnt 復(fù)數(shù)表示有利于復(fù)數(shù)表示有利于將時空變量分開將時空變量分開U(P) =

11、a(P) e jj(P)#單色光波場的復(fù)振幅表示: 說明 U(P)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù)是空間點(diǎn)的復(fù)函數(shù), 描寫光場的空間分布描寫光場的空間分布, 與時間無關(guān)與時間無關(guān);U(P) = a(P) e jj j(P) U(P)同時表征了空間各點(diǎn)的振幅同時表征了空間各點(diǎn)的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相對位相和相對位相arg(U)= j j(P) 方便運(yùn)算方便運(yùn)算,滿足疊加原理滿足疊加原理 實(shí)際物理量是實(shí)量實(shí)際物理量是實(shí)量. 欲恢復(fù)為真實(shí)光振動欲恢復(fù)為真實(shí)光振動:# 光強(qiáng)分布光強(qiáng)分布: I = UU* 光強(qiáng)是波印廷矢量的時間平均值光強(qiáng)是波印廷矢量的時間平均值, 正比于電場振幅的平方正比于電場振幅的

12、平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2nnt) 即可即可球面波 : 空間分布點(diǎn)光源或會聚中心點(diǎn)光源或會聚中心球面波球面波: 等相面為球面等相面為球面, 且所有等相面有且所有等相面有共同中心共同中心的波的波k = | k |=2 /l l , 為波數(shù)為波數(shù). 表表示由于波傳播示由于波傳播, 在單位長度在單位長度上引起的位相變化上引起的位相變化, 也表明也表明了光場變化的了光場變化的“空間頻率空間頻率”(P(x,y,z)0zyx源點(diǎn)S(rk設(shè)觀察點(diǎn)P(x, y, z)與發(fā)散球面波中心的距離為r, k: 傳播矢量#球面波的等位相面球面波的等位相面: kr=c 為球面為球面jkreraPU0)

13、(則則P點(diǎn)處的復(fù)振幅點(diǎn)處的復(fù)振幅:j j(P) = k . rk : 傳播矢量傳播矢量球面波球面波: k/ra0: 單位距單位距離處的光振離處的光振幅幅球面波 : 空間分布會聚球面波會聚球面波jkreraPU0)(距離距離 r 的表達(dá)的表達(dá)若球面波中心在原點(diǎn)若球面波中心在原點(diǎn): 222zyxr(P(x,y,z)會聚點(diǎn)會聚點(diǎn)S(r若球面波中心在若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyxxr#0zyxk球面波 : 在給定平面的分布以系統(tǒng)的光軸為以系統(tǒng)的光軸為z軸軸,光沿光沿 z 軸正方向傳軸正方向傳播播.所考察的平面垂直于所考察的平面垂直于z 軸軸令點(diǎn)光源位

14、于z = 0的平面上坐標(biāo)(x0, y0)處. 考察與其距離為z的x - y平面上的光分布Sx0zxy0y02/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近軸近似#球球面波面波 : 近軸近似近軸近似只考慮只考慮 x - y平面上對源點(diǎn)平面上對源點(diǎn)S張角不大的范圍張角不大的范圍, 即即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展開可以作泰勒展開(1+D D)1/2 1+ D D /2一級近似一級近似二級近似二級近似對振幅中對振幅中r 的可作一級近似的可作一級近似. 但因?yàn)榈驗(yàn)?k 很大很大, 對位相中的對位相中的 r 須作二級

15、近似須作二級近似#二、球面波二、球面波 : 近軸近似近軸近似已將球面波中心取在已將球面波中心取在 z = 0的平面的平面, 且光波沿且光波沿 z 軸正方向傳播軸正方向傳播.如果如果 z 0, 上式代表從上式代表從 S 發(fā)散的球面波發(fā)散的球面波.如果如果 z 0, 上式代表向上式代表向 S 會聚的球面波會聚的球面波.20200)()(2exp)exp(),()(yyxxzkjjkzzayxUPU對給定平面對給定平面是常量是常量隨隨x, y變化的二次位相因子變化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相#)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU球面波中心球面波中心在原點(diǎn)在原點(diǎn):

16、光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述三、三、 平面波平面波: 空間分布空間分布等相面為平面等相面為平面,且這些平面垂直于光波傳播矢量且這些平面垂直于光波傳播矢量 k.等相平面的法線方向等相平面的法線方向 k (kcos , kcos , kcosg g)k 的方向余弦的方向余弦, 均為常均為常量量以以 k 表示的等相平面方程為表示的等相平面方程為 k .r = const.故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為故平面波復(fù)振幅表達(dá)式為:)coscoscos(exp )exp(),(gzyxjkajazyxUrk線性位相因子#常量振幅#光波的數(shù)學(xué)描述三、平面波: 在給定平面的分布在x-y平面上的等位相線 xcos + y

17、cos = const為平行直線族)coscos(exp ),(yxjkAyxU在與原點(diǎn)相距為 z 的平面上考察平面波的復(fù)振幅:g22coscos1cos )coscos(exp)coscos1exp(),( 22zyxjkjkzazyxU隨x,y線性變化的位相因子常數(shù)幅相因子, A四、平面波的空間頻率在與原點(diǎn)相距為在與原點(diǎn)相距為 z 的平面上考察平面波的位相分布的平面上考察平面波的位相分布.等位相線是等位相線是平行直線族平行直線族. 為簡單計(jì)為簡單計(jì), 先看先看k在在x-z平面內(nèi)平面內(nèi): cos =0等位相面是平行于等位相面是平行于y 軸的一系列平面軸的一系列平面, 間隔為間隔為l lz等位

18、相面與等位相面與x-z平面相交平面相交形成平行直線形成平行直線等位相面與等位相面與x-y平面相交平面相交形成平行于形成平行于y軸的直線軸的直線)cosexp( ),(jkxAyxU復(fù)振幅分布復(fù)振幅分布:沿沿x方向的等相線方向的等相線間距間距:lcoscos2kX#四、平面波的空間頻率四、平面波的空間頻率)cosexp( ),(jkxAyxU復(fù)振幅分布復(fù)振幅分布:lcos1Xfx定義定義 復(fù)振幅分布在復(fù)振幅分布在x方向的空間頻率方向的空間頻率: lcos1Xfx#復(fù)振幅分布可改寫為復(fù)振幅分布可改寫為:)2exp( ),(xfjAyxUxY = , fy=0對于在對于在x-z平面內(nèi)傳播的平面波平面

19、內(nèi)傳播的平面波, 在在y方向上有方向上有:平面波的空間頻率平面波的空間頻率: 一般情形一般情形定義定義:復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為空間頻率復(fù)振幅變化空間周期的倒數(shù)稱為空間頻率平面波在平面波在x和和y方向的空間頻率分別為方向的空間頻率分別為:llcos1 ;cos1YfXfyxcos , cos 為波為波矢的方向余弦矢的方向余弦若波矢在若波矢在x-z平面或平面或y-z平面中平面中, 又常用它又常用它們的余角們的余角q qx (q qy)表示表示,故故:lqlqyyxxYfXfsin1 ;sin1)coscos(exp ),(yxjkAyxU引入空間頻率概念后引入空間頻率概念后, 單色平面波在單

20、色平面波在xy 平面的復(fù)振平面的復(fù)振幅分布可以表示為幅分布可以表示為 )(2exp ),(yfxfjAyxUyx#平面波的空間頻率平面波的空間頻率-信息光學(xué)中最基本的概念信息光學(xué)中最基本的概念空間頻率的單位空間頻率的單位: cm-1, mm-1, 周周/mm, 條數(shù)條數(shù)/mm 等等空間頻率的正負(fù)空間頻率的正負(fù):表示傳播方向與表示傳播方向與x(或或y)軸的夾角小于或大于軸的夾角小于或大于90 在給定的坐標(biāo)系在給定的坐標(biāo)系, 任意單色平面波有一組對應(yīng)的任意單色平面波有一組對應(yīng)的fx和和fy,它僅決定于光波的波長和傳播方向它僅決定于光波的波長和傳播方向.反之反之, 給定一組給定一組fx和和fy, 對

21、于給定波長的單色平面波就能對于給定波長的單色平面波就能確定其傳播方向確定其傳播方向cos =l,l,fx , , cos =l,l,fy 要與光的時間頻率嚴(yán)格區(qū)分開要與光的時間頻率嚴(yán)格區(qū)分開空間比時間更具體空間比時間更具體,更直觀更直觀,是有形的是有形的如果在如果在xy 平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡單的平面上的復(fù)雜的復(fù)振幅分布可以分解為許多簡單的周期分布周期分布,則復(fù)雜的光振動可以分解成許多簡單平面波的疊加則復(fù)雜的光振動可以分解成許多簡單平面波的疊加.二維二維F.T.在光學(xué)上的意義在光學(xué)上的意義:#yxyxyxdfdfyfxfjffGyxg)( 2exp)(),(,五、復(fù)振幅分布的

22、空間頻譜(角譜)即即: 把把U(x,y)看作頻率不同的復(fù)指數(shù)分量的線性組合看作頻率不同的復(fù)指數(shù)分量的線性組合, 各分各分量的權(quán)重因子是量的權(quán)重因子是A(fx, fy). dxdyyfxfjyxUffAyxyx)(2exp),( ),(A(fx, fy) 稱為稱為xy平面上復(fù)振幅分布的頻譜平面上復(fù)振幅分布的頻譜對對xy平面上單色光場的復(fù)振幅分布平面上單色光場的復(fù)振幅分布U(x,y)進(jìn)行傅里葉分析進(jìn)行傅里葉分析:yxyxyxdfdfyfxfjffAyxU)(2exp),(),( 物理上物理上, expj2 (fxx+fyy) 代表傳播方向余弦為代表傳播方向余弦為cos =l lfx, cos =l lfy 的的單色平面波在單色平面波在xy平面的復(fù)振幅分布平面的復(fù)振幅分布,