算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二） -數(shù)學(xué)教案

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二） -數(shù)學(xué)教案第一課時 一、教材分析 （一）教材所處的地位和作用 “算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本必修）數(shù)學(xué)第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學(xué)完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步研究本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應(yīng)用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，靈活解決實際問題，學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì) （二）教學(xué)目標(biāo)1知識目標(biāo)：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平

2、均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應(yīng)用平均值定理解決一些簡單的應(yīng)用問題2能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想（三）教學(xué)重點、難點、關(guān)鍵重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應(yīng)用問題難點：定理的使用條件，合理地應(yīng)用平均值定理關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學(xué)思想是突破重點和難點的關(guān)鍵（四）教材處理依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進(jìn)行教學(xué)第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋掌握應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題第二課時講解應(yīng)用平均值定理解決某些實際問題為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，適當(dāng)增加例題二、教法

3、分析（）教學(xué)方法為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體意識，又有利于教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與創(chuàng)新能力，使學(xué)生能獨立實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué)；在定理的應(yīng)用及其條件的教學(xué)中采用歸納法；在訓(xùn)練部分，主要采用講練結(jié)合法進(jìn)行（二）教學(xué)手段根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學(xué)容量，利用計算機(jī)輔導(dǎo)教學(xué)三、教學(xué)過程設(shè)計62算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）（一）導(dǎo)入新課（教師活動）1教師打出字幕（提出問題）；2組織學(xué)生討論，并點評（學(xué)生活動）學(xué)生分組討論，解決問題字幕 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折

4、銷售；方案丙是兩次都是 折銷售試問降價最少的方案是哪一種？討論設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：方案甲： （元）；方案乙： （元）；方案丙： （元）故降價最少的方案是丙若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當(dāng) 時， 設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學(xué)生討論哪一種方案降價最少學(xué)生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達(dá)到說明學(xué)習(xí)本節(jié)知識的必要，激發(fā)學(xué)生求知欲望，合理引出新課（二）新課講授【嘗試探索，建立新知】（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，講解重要不等式的證明點評有關(guān)問題（學(xué)生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念字幕

5、如果 ，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取“=”號）證明：見課本點評強(qiáng)調(diào) 的充要條件是 解釋“當(dāng)且僅當(dāng)”是充要條件的表達(dá)方式（“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的）幾何解釋，如圖。字幕定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取“=”號）證明：學(xué)生運用“ ”自己證明 點評強(qiáng)調(diào)； 解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；比較上述兩個不等式的特征（強(qiáng)調(diào)它們的限制條件）；幾何解釋（見課本）；指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)” 設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認(rèn)識和理解；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問題的能力【例題示范，

6、學(xué)會應(yīng)用】（教師活動）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)學(xué)生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路（學(xué)生活動）與教師一道完成問題的論證字幕例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證： 分析 應(yīng)用定理證明； 研究問題與定理之間的聯(lián)系； 注意應(yīng)用定理的條件和應(yīng)用不等式的性質(zhì)證明：見課本設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學(xué)會應(yīng)用定理解決某些數(shù)學(xué)問題 【課堂練習(xí)】（教師活動）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨立思考，完成練習(xí)；巡視學(xué)生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學(xué)生板演；點評練習(xí)解法（學(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、動兩位同學(xué)板演字幕練習(xí)：已知 都是正數(shù)，求證：（1） ；（2）

7、設(shè)計意圖：掌握定理及應(yīng)用，反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)【分析歸納、小結(jié)解法】（教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)應(yīng)用定理解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的解題方法（學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上 1重要不等式可以用來證明某些不等式2應(yīng)用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：滿足定理的條件；不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式3用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握應(yīng)用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的方法（三）小結(jié)（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識要點（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上1本節(jié)課學(xué)

8、習(xí)了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 2注意：兩個重要不等式使用的條件；不等式中“=”號成立的條件設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識（四）布置作業(yè)1課本作業(yè)；習(xí)題 1，32思考題：已知 ，求證： 3研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式設(shè)計意圖：課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，靈活掌握重要不等式的應(yīng)用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識（五）課后點評1導(dǎo)入新課采用學(xué)生比較熟悉的問題為背景，容易被學(xué)生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)使得學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識自然且合理2在建立新知過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步回憶所學(xué)的知識，并應(yīng)用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)對有關(guān)概念使學(xué)生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在比較中得到深刻理解3通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生在對知識初步理解和掌握后，得到進(jìn)一步深化，對所學(xué)的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學(xué)4本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培