現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)模型課件

1、第一章第一章現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)模型第一節(jié)第一節(jié) 現(xiàn)實(shí)世界的模型現(xiàn)實(shí)世界的模型 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們對(duì)在現(xiàn)實(shí)生活中，我們對(duì)“模型模型”（Model）這個(gè)名詞）這個(gè)名詞并并不陌生。我們經(jīng)常談到不陌生。我們經(jīng)常談到“物理模型物理模型”、“化學(xué)模型化學(xué)模型”、“生物生物模型模型”等。等。 “原型原型”（Prototype）和）和“模型模型”是一對(duì)對(duì)偶體。是一對(duì)對(duì)偶體。 原型：是指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或從事生原型：是指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域中通常使用系統(tǒng)、過(guò)產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。在科技領(lǐng)域中通常使用系統(tǒng)、過(guò)程等詞匯來(lái)描述相應(yīng)的對(duì)象。程等詞匯來(lái)

2、描述相應(yīng)的對(duì)象。 模型：指為了某個(gè)特定的目的將原型的一部分信息簡(jiǎn)模型：指為了某個(gè)特定的目的將原型的一部分信息簡(jiǎn)縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物?？s、提煉而構(gòu)成的原型替代物。 尤其要說(shuō)明的是：模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品。尤其要說(shuō)明的是：模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品。原型有各個(gè)方面和各個(gè)層次的特征，而模型只要求與某原型有各個(gè)方面和各個(gè)層次的特征，而模型只要求與某種目的有關(guān)的那些方面和層次。種目的有關(guān)的那些方面和層次。 模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。 一、形象模型一、形象模型 根據(jù)某種物體的實(shí)際大小，按一定比例制作的模型稱根據(jù)某種物體的實(shí)際大小，按一定比

3、例制作的模型稱為形象模型。例如汽車模型、建筑模型都是形象模型。為形象模型。例如汽車模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又稱為直觀模型。形象模型又稱為直觀模型。 二、物理模型二、物理模型 物理模型主要指科研工作者為一定的目的根據(jù)相似原物理模型主要指科研工作者為一定的目的根據(jù)相似原理構(gòu)造的模型，它不僅可以可以顯示原型的外形或相似理構(gòu)造的模型，它不僅可以可以顯示原型的外形或相似特征，而且可以用來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究模型的特征，而且可以用來(lái)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，間接地研究模型的某些規(guī)律。某些規(guī)律。 三、思維模型三、思維模型 思維模型是指人們對(duì)原型的反復(fù)認(rèn)識(shí)，將獲取的知識(shí)思維模型是指人們對(duì)原型的反復(fù)認(rèn)識(shí)，將

4、獲取的知識(shí)以經(jīng)驗(yàn)形式直接存儲(chǔ)于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直以經(jīng)驗(yàn)形式直接存儲(chǔ)于人腦中，從而可以根據(jù)思維或直覺(jué)作出相應(yīng)的決策。覺(jué)作出相應(yīng)的決策。 思維模型的特征是容易接受，也可以在一定的條件思維模型的特征是容易接受，也可以在一定的條件下或得滿意的結(jié)果，但是它往往帶有模糊性、片面性、下或得滿意的結(jié)果，但是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點(diǎn)。主觀性、偶然性等缺點(diǎn)。 四、符號(hào)模型四、符號(hào)模型 用一些比較生動(dòng)、鮮明的符號(hào)來(lái)刻畫某種事物的特征，用一些比較生動(dòng)、鮮明的符號(hào)來(lái)刻畫某種事物的特征，這種模型稱為符號(hào)模型。例如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)這種模型稱為符號(hào)模型。例如地圖、電路圖、化學(xué)結(jié)構(gòu)表等。表

5、等。 五、數(shù)學(xué)模型五、數(shù)學(xué)模型 在初等數(shù)學(xué)中，我們就已經(jīng)碰到了數(shù)學(xué)模型的具體問(wèn)在初等數(shù)學(xué)中，我們就已經(jīng)碰到了數(shù)學(xué)模型的具體問(wèn)題，只是那時(shí)并不知道這就是數(shù)學(xué)模型。我們看下面的題，只是那時(shí)并不知道這就是數(shù)學(xué)模型。我們看下面的例子。例子。 例例 甲乙兩地相距甲乙兩地相距740km，某船從甲地到乙地順?biāo)瑁炒瑥募椎氐揭业仨標(biāo)枰?0小時(shí)，從乙地到甲地逆水需要小時(shí)，從乙地到甲地逆水需要50小時(shí)，問(wèn)船速、水小時(shí)，問(wèn)船速、水速各為多少？速各為多少？ 分析：在該問(wèn)題中，兩地之間的距離是已知的，并且分析：在該問(wèn)題中，兩地之間的距離是已知的，并且假定在考察問(wèn)題的時(shí)間段中水的流速不變，在這樣的假假定在考察問(wèn)題的

6、時(shí)間段中水的流速不變，在這樣的假設(shè)之下，我們可以得出問(wèn)題的解。設(shè)之下，我們可以得出問(wèn)題的解。 求解求解 設(shè)水的流速為設(shè)水的流速為 ，船的行駛速度為，船的行駛速度為 ，則當(dāng)順，則當(dāng)順?biāo)叫袝r(shí)有關(guān)系水航行時(shí)有關(guān)系xy30750,xy當(dāng)船只逆水航行時(shí)，有當(dāng)船只逆水航行時(shí)，有50750,yx即有方程組即有方程組30750,50750.xyyx上式即為原問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又稱為數(shù)學(xué)模型。上式即為原問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又稱為數(shù)學(xué)模型。 容易求出該問(wèn)題的解：容易求出該問(wèn)題的解： 。即船速為。即船速為20km/h，水速為，水速為5km/h。20,5yx 在上面的例中我們看到數(shù)學(xué)模型的一般意義：在上面的例中我們看

7、到數(shù)學(xué)模型的一般意義： 對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 注意：本課程的重點(diǎn)并不是單單介紹現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)注意：本課程的重點(diǎn)并不是單單介紹現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，而主要的是介紹建立數(shù)學(xué)模型的全部過(guò)程和求解模型，而主要的是介紹建立數(shù)學(xué)模型的全部過(guò)程和求解過(guò)程。過(guò)程。 建立模型的過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。建立模型的過(guò)程就稱為數(shù)學(xué)建模。第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 一、在一

8、般的工程領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之一、在一般的工程領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地。地。 二、在高新技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少二、在高新技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。的工具。 三、數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新興領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓三、數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新興領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。了許多新的處女地。 四、數(shù)學(xué)建模在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)中的具體表現(xiàn)：四、數(shù)學(xué)建模在國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)中的具體表現(xiàn)：1.預(yù)報(bào)與決策；預(yù)報(bào)與決策；2.分析與設(shè)計(jì)；分析與設(shè)計(jì)；3.控制與優(yōu)化；控制與優(yōu)化；4.規(guī)劃與管理。規(guī)劃與管理。第三節(jié)第三節(jié) 數(shù)學(xué)模型的例子數(shù)學(xué)模型的例子 一、椅子放穩(wěn)問(wèn)題一、椅子放

9、穩(wěn)問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題 一個(gè)有四個(gè)腳的方凳能否在地上放穩(wěn)，如能一個(gè)有四個(gè)腳的方凳能否在地上放穩(wěn)，如能的話，給出具體的方法。的話，給出具體的方法。假設(shè)假設(shè)1 椅子的四個(gè)腳是等長(zhǎng)的并且四個(gè)腳正好位于一椅子的四個(gè)腳是等長(zhǎng)的并且四個(gè)腳正好位于一個(gè)四方形的頂點(diǎn)上；個(gè)四方形的頂點(diǎn)上；假設(shè)假設(shè)2 地面是一張連續(xù)變化的曲面；地面是一張連續(xù)變化的曲面；假設(shè)假設(shè)3 在任一時(shí)刻。椅子至少有三只腳落地。在任一時(shí)刻。椅子至少有三只腳落地。xyABCD1A1B1C1Do 建模建模 設(shè)椅子的四只腳位于點(diǎn)設(shè)椅子的四只腳位于點(diǎn) 其連線構(gòu)其連線構(gòu)成一正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線成一正方形，對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)角線 為坐

10、標(biāo)軸（坐標(biāo)系統(tǒng)如圖所示）。為坐標(biāo)軸（坐標(biāo)系統(tǒng)如圖所示）。, ,A B C D,ACBD 設(shè)設(shè) 為為 兩點(diǎn)椅子的腳離開地面的距離只和；兩點(diǎn)椅子的腳離開地面的距離只和； 為為 兩點(diǎn)的椅子的腳離開兩點(diǎn)的椅子的腳離開地面的距離之和，則由條件得地面的距離之和，則由條件得 f,A C g,B D 00,.2fg 注意到：注意到： 并且并且 ,0,0,0.2f gCfg椅子的四腳落地意味著椅子的四腳落地意味著 故不妨假設(shè)故不妨假設(shè) 0.fg 00,00.fg則問(wèn)題歸結(jié)為是否存在則問(wèn)題歸結(jié)為是否存在 使得使得00,2000.fg 解模解模 由條件對(duì)任意由條件對(duì)任意 ，有，有 且且 0,0.fg0,0.22fg

11、令令 ,hfg則則 因因0,2hC 0000,hfg0,222hfg由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，存在00,200.h使得使得注意到條件：椅子的四個(gè)腳中在同一時(shí)刻至少有三腳落注意到條件：椅子的四個(gè)腳中在同一時(shí)刻至少有三腳落地，即地，即0000.fg所以由所以由 ，即有，即有00h000.fg 此說(shuō)明在問(wèn)題所設(shè)的條件下，椅子可以放穩(wěn)，并給出此說(shuō)明在問(wèn)題所設(shè)的條件下，椅子可以放穩(wěn)，并給出了放穩(wěn)的具體方法。了放穩(wěn)的具體方法。 注注 若在原問(wèn)題中，若將一個(gè)四方形的椅子改為長(zhǎng)方若在原問(wèn)題中，若將一個(gè)四方形的椅子改為長(zhǎng)方形的桌子，則該如何求解？形的桌子，則該如何求解？ 二

12、、人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào)問(wèn)題二、人口增長(zhǎng)的預(yù)報(bào)問(wèn)題 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在近幾個(gè)世紀(jì)來(lái)，世界人口也隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在近幾個(gè)世紀(jì)來(lái)，世界人口也得到了快速的的增長(zhǎng)。下面的數(shù)據(jù)表反映了近幾個(gè)世紀(jì)得到了快速的的增長(zhǎng)。下面的數(shù)據(jù)表反映了近幾個(gè)世紀(jì)的人口增長(zhǎng)情況。的人口增長(zhǎng)情況。年年1625183019301960人口（億）人口（億）5102030年年197419871999人口（億）人口（億）405060 從表中看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百多年縮從表中看出，人口每增加十億的時(shí)間，由一百多年縮短至十二、三年。常此以往，人口問(wèn)題將嚴(yán)重困擾世界短至十二、三年。常此以往，人口問(wèn)題將嚴(yán)重困擾世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。經(jīng)濟(jì)

13、的發(fā)展。 下表是我國(guó)在下表是我國(guó)在20世紀(jì)中人口發(fā)展的狀況：世紀(jì)中人口發(fā)展的狀況：年年1908193319531964人口（億）人口（億）3.04.76.07.2年年198219902000人口（億）人口（億）10.311.312.95 認(rèn)識(shí)人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作認(rèn)識(shí)人口數(shù)量變化的規(guī)律，建立合適的人口模型，作出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。 下面介紹兩個(gè)基本的人口模型，并利用表下面介紹兩個(gè)基本的人口模型，并利用表1給出的近給出的近兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）對(duì)模型作兩個(gè)世紀(jì)的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：百萬(wàn)）對(duì)模型作出

14、檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2010年美國(guó)的人口。年美國(guó)的人口。年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4表表1 美國(guó)人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)美國(guó)人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì) 指數(shù)增長(zhǎng)模型指數(shù)增長(zhǎng)模型 一個(gè)簡(jiǎn)單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為一個(gè)簡(jiǎn)

15、單的人口模型是指數(shù)模型：記今年人口為 ，年增長(zhǎng)率為年增長(zhǎng)率為 ，則以后第，則以后第 年的人口為年的人口為0 xrk在上面的問(wèn)題中，假定人口的增長(zhǎng)率在上面的問(wèn)題中，假定人口的增長(zhǎng)率 是一個(gè)不變的常是一個(gè)不變的常數(shù)。數(shù)。r 200多年前，馬爾薩斯基于增長(zhǎng)率不變的基礎(chǔ)，建立多年前，馬爾薩斯基于增長(zhǎng)率不變的基礎(chǔ)，建立了著名的人口指數(shù)模型。了著名的人口指數(shù)模型。01.kkxxrtt 建模建模 記時(shí)刻記時(shí)刻 時(shí)的人口為時(shí)的人口為 ，并視其為連續(xù)變量，并視其為連續(xù)變量，初始時(shí)初始時(shí) 的人口為的人口為 ，從，從 到到 時(shí)間內(nèi)人口的時(shí)間內(nèi)人口的增量為增量為 ，則有，則有 x t0t 0 xtt x .xx tt

16、x tr x tt 令令 則得到則得到 應(yīng)滿足的微分方程：應(yīng)滿足的微分方程：0,t x t 0.0dxrxdtxx由這個(gè)方程容易解得：由這個(gè)方程容易解得：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。故式表明人口將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。故稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。稱為指數(shù)增長(zhǎng)模型。0r 0.rtx tx e 參數(shù)估計(jì)：參數(shù)估計(jì)：式中的式中的 和和 可以用表可以用表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行中的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。為了利用簡(jiǎn)單的最小二乘法，將估計(jì)。為了利用簡(jiǎn)單的最小二乘法，將式取對(duì)數(shù)后得式取對(duì)數(shù)后得0 rx其中：其中： 。0ln .lnyxax,yrta 以以1790年到年到1900年的數(shù)據(jù)擬合年的數(shù)據(jù)擬合式，可得式，可得

17、0,0.2743/104.1884.xr 年 以以1790年到年到2000年的全部數(shù)據(jù)擬合年的全部數(shù)據(jù)擬合式，可得式，可得0,0.2022/106.0450.xr 年17901900實(shí)際人口與計(jì)算人口的比較實(shí)際人口與計(jì)算人口的比較24681012t20406080100 x計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口17902000實(shí)際人口與計(jì)算人口比較實(shí)際人口與計(jì)算人口比較5101520t100200300400500 x計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.5

18、16.5x26.07.49.111.113.616.6年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表表2 指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果指數(shù)增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果 結(jié)果分析結(jié)果分析 用上面得到的參數(shù)用上面得到的參數(shù) 代入代入式，將計(jì)式，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較得下表，表中計(jì)算人口 是用是用1790年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計(jì)算人口年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果；計(jì)算人口 是用全部數(shù)據(jù)擬是用

19、全部數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述合的結(jié)果，用這個(gè)模型基本上能夠描述19世紀(jì)以前美國(guó)世紀(jì)以前美國(guó)人口的增長(zhǎng)情況，但是進(jìn)入人口的增長(zhǎng)情況，但是進(jìn)入20世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明世紀(jì)后，美國(guó)人口增長(zhǎng)明顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。顯放慢，此時(shí)模型不再適合了。0, r x1x2x年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1 從歷史

20、上看，指數(shù)增長(zhǎng)模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些從歷史上看，指數(shù)增長(zhǎng)模型與十九世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合，此外，以此模型作地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好地吻合，此外，以此模型作短時(shí)間里的人口預(yù)測(cè)可以得到較好地結(jié)果。原因是此時(shí)短時(shí)間里的人口預(yù)測(cè)可以得到較好地結(jié)果。原因是此時(shí)人口的增長(zhǎng)率幾乎是一個(gè)不變的常數(shù)。人口的增長(zhǎng)率幾乎是一個(gè)不變的常數(shù)。 但是，從長(zhǎng)期看，任何地區(qū)、任何國(guó)家的人口不可但是，從長(zhǎng)期看，任何地區(qū)、任何國(guó)家的人口不可能無(wú)限增長(zhǎng)，這是因?yàn)槿丝诘脑鲩L(zhǎng)率實(shí)際上是在不斷能無(wú)限增長(zhǎng)，這是因?yàn)槿丝诘脑鲩L(zhǎng)率實(shí)際上是在不斷地變化。一般情況下，當(dāng)人口較小時(shí)，增長(zhǎng)較快；當(dāng)?shù)刈兓?。一般情況下，當(dāng)人口

21、較小時(shí)，增長(zhǎng)較快；當(dāng)人口達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，增長(zhǎng)率明顯下降。因而用平均人口達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，增長(zhǎng)率明顯下降。因而用平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)率 來(lái)代替變化增長(zhǎng)率來(lái)代替變化增長(zhǎng)率 ，會(huì)與實(shí)際結(jié)果有較，會(huì)與實(shí)際結(jié)果有較r r t大的差距。大的差距。 阻滯增長(zhǎng)模型（阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）模型） 分析分析 當(dāng)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，自然資源、環(huán)境條當(dāng)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)會(huì)起到一個(gè)阻滯作用，并且隨著件等因素對(duì)人口的增長(zhǎng)會(huì)起到一個(gè)阻滯作用，并且隨著人口的不斷增加，阻滯作用會(huì)越來(lái)越大。阻滯增長(zhǎng)模型人口的不斷增加，阻滯作用會(huì)越來(lái)越大。阻滯增長(zhǎng)模型就是基于這個(gè)事實(shí)，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型

22、的基本假設(shè)進(jìn)行修就是基于這個(gè)事實(shí)，對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。改后得到的。 建模建模 設(shè)增長(zhǎng)率設(shè)增長(zhǎng)率 隨人口數(shù)量隨人口數(shù)量 的增長(zhǎng)而下降，則關(guān)的增長(zhǎng)而下降，則關(guān)系式系式可改寫成可改寫成rx 0,0dxr x xdtxx其中其中 是是 的減函數(shù)。進(jìn)一步假定，設(shè)的減函數(shù)。進(jìn)一步假定，設(shè) 是是 的線的線性函數(shù)，即性函數(shù)，即 r xx r xx ( ,0)r xrsxr s這里這里 稱為固有增長(zhǎng)率。引入稱為固有增長(zhǎng)率。引入 ，稱為人口容量，即，稱為人口容量，即rx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，人口不再增長(zhǎng)，即時(shí)，人口不再增長(zhǎng)，即 代入代入式式得得 于是于是式為式為xx0,r x,rsx 1.xr xrx把

23、把代入方程代入方程，得，得 01,0,dxxrxdtxxx方程方程右端的因子右端的因子 體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子體現(xiàn)人口自身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因子rx 則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。則體現(xiàn)了資源和環(huán)境對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用。1xx注意到：注意到： 越大，前一因子越大，而后一因子越小，人越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口的增長(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果?？诘脑鲩L(zhǎng)是兩個(gè)因子共同作用的結(jié)果。x100200300400510152025 以以 為橫軸，為橫軸， 為縱軸作為縱軸作出方程出方程的圖形。從該圖形的圖形。從該圖形中可以大致描繪出中可以大致描繪出 的的圖形。圖形。xdxdt x t51

24、015202530100200300Logistic模型模型 xt 曲線曲線 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 為了利用簡(jiǎn)單的線性最小二乘法估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù)為了利用簡(jiǎn)單的線性最小二乘法估計(jì)這個(gè)模型的參數(shù) 和和 ，將方程，將方程表為表為rx/,dx dtrrsx sxx 用數(shù)值微分和曲線擬合，利用從用數(shù)值微分和曲線擬合，利用從1860到到1990年的數(shù)年的數(shù)據(jù)計(jì)算得到據(jù)計(jì)算得到 /10年，年，0.2557r 392.0886.x 結(jié)果分析：用上面的數(shù)據(jù)代入方程的解：結(jié)果分析：用上面的數(shù)據(jù)代入方程的解： .11rtxx txe將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)加以對(duì)比：有下面的圖表將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)加以對(duì)比：有下面的圖表年

25、年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x117.522.328.335.845.056.2表表3 阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果阻滯增長(zhǎng)模型擬合美國(guó)人口數(shù)據(jù)的結(jié)果年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年年1970198019902000人口人

26、口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.35101520t50100150200250 x阻滯增長(zhǎng)型擬合圖形（阻滯增長(zhǎng)型擬合圖形（17901990）計(jì)算人口曲線計(jì)算人口曲線實(shí)際人口實(shí)際人口 從數(shù)據(jù)中可以看出，在阻滯增長(zhǎng)模型中雖然有一段時(shí)從數(shù)據(jù)中可以看出，在阻滯增長(zhǎng)模型中雖然有一段時(shí)間，數(shù)據(jù)擬合的情況不是很好，但在最后一段時(shí)間，吻間，數(shù)據(jù)擬合的情況不是很好，但在最后一段時(shí)間，吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。合得相當(dāng)不錯(cuò)。 以該數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)以該數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)2000年的人口情況，我們有年的人口情況，我們有20001990274.5,xxx 與實(shí)際數(shù)據(jù)有約與實(shí)際數(shù)據(jù)有約 的誤差，可以認(rèn)為

27、該模型是能夠的誤差，可以認(rèn)為該模型是能夠令人滿意的。令人滿意的。2.5% 將將2000年的數(shù)據(jù)加入，可以預(yù)測(cè)到在年的數(shù)據(jù)加入，可以預(yù)測(cè)到在2010年美國(guó)人年美國(guó)人口將達(dá)到口將達(dá)到 百萬(wàn)。百萬(wàn)。306.0 三、傳染病的蔓延問(wèn)題三、傳染病的蔓延問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題 當(dāng)某種傳染病流行時(shí)，得病者人數(shù)是如何變化當(dāng)某種傳染病流行時(shí)，得病者人數(shù)是如何變化的？在何時(shí)病人的增加率最大？有關(guān)部門應(yīng)如何控制傳的？在何時(shí)病人的增加率最大？有關(guān)部門應(yīng)如何控制傳染病的蔓延？染病的蔓延？ 模型一模型一 假設(shè)：病人是通過(guò)與他人接觸而將病菌傳染給他人假設(shè)：病人是通過(guò)與他人接觸而將病菌傳染給他人的。進(jìn)一步地假設(shè)，在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能

28、傳染的人的。進(jìn)一步地假設(shè)，在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的人數(shù)為定量，記作數(shù)為定量，記作 ，稱其為傳染系數(shù)。，稱其為傳染系數(shù)。0k 建模建模 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 ，有病人數(shù)，有病人數(shù) ，且初始時(shí)，且初始時(shí)再設(shè)從時(shí)刻再設(shè)從時(shí)刻 到時(shí)刻到時(shí)刻 時(shí)間段中病人的增量為時(shí)間段中病人的增量為t i t 00.iittt 0,ii tti tk i tt 從而有從而有 0.ik i tt令令 則有微分方程，并有初始條件則有微分方程，并有初始條件0,t 00,0.dik i tdtii從而問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)常微分方程的初值問(wèn)題從而問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)常微分方程的初值問(wèn)題. 解模解模 方程方程為一階線性齊次常系數(shù)微分方程，方程為一

29、階線性齊次常系數(shù)微分方程，方程的通解為的通解為 0.k ti tCe再由初始條件得初值問(wèn)題的解為再由初始條件得初值問(wèn)題的解為 00.k ti ti e式表明，病人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限制地增加，即式表明，病人數(shù)將按指數(shù)規(guī)律無(wú)限制地增加，即 lim.ti t 實(shí)際問(wèn)題是，一個(gè)地區(qū)的人口總數(shù)是一個(gè)有限數(shù)，故實(shí)際問(wèn)題是，一個(gè)地區(qū)的人口總數(shù)是一個(gè)有限數(shù)，故上面的模型并不適用上面的模型并不適用. 模型二模型二 假設(shè)假設(shè) 1.在傳染病流行的地區(qū)里，總?cè)丝跀?shù)在傳染病流行的地區(qū)里，總?cè)丝跀?shù) 是不變是不變的的;n 2.在單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的健康人數(shù)量是個(gè)變?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)一個(gè)病人能傳染的健康人數(shù)量是個(gè)變量量 .

30、因?yàn)殡S著病人數(shù)的增加，健康人的數(shù)量在減少，因?yàn)殡S著病人數(shù)的增加，健康人的數(shù)量在減少，從而從而 也會(huì)減少也會(huì)減少. 為此假定為此假定 與健康人數(shù)量成正比與健康人數(shù)量成正比, 其其比例系數(shù)為比例系數(shù)為 ，仍然稱為傳染系數(shù)，仍然稱為傳染系數(shù).0k0k0kk 建模建模 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 時(shí)有病人數(shù)時(shí)有病人數(shù) 健康人數(shù)健康人數(shù) 。初始時(shí)刻初始時(shí)刻 時(shí)有病人數(shù)時(shí)有病人數(shù) .t ,i t s t0t 0i 由假定由假定1，有，有 在時(shí)刻在時(shí)刻 到到 的時(shí)間段中，病人數(shù)的增量為的時(shí)間段中，病人數(shù)的增量為ttt ,ii tti tks t i tt .i ts tn兩邊同除以兩邊同除以 ，并令其趨于零，則有微分方程

31、，并令其趨于零，則有微分方程t 0,0diks t i tki nidtii如此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)微分方程如此，把問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)微分方程. 解模解模 此方程是一個(gè)一階可分離變量的微分方程，容此方程是一個(gè)一階可分離變量的微分方程，容易解出易解出:,dikdtini兩邊積分，得兩邊積分，得11,dikndtiniln,ikntCni再由初始條件，得再由初始條件，得00ln,iCni所以方程的解為所以方程的解為00lnln,iikntnini變形后有變形后有00,kntniienii即即001.kntineini00,kntinieini所以所以001,kntnineii 從而原方程的解為從而原方程

32、的解為 0.11kntni tnei曲線的大致圖形如下：曲線的大致圖形如下： 分析：當(dāng)分析：當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 此表明所有的人都將成為病人，此表明所有的人都將成為病人，這也是不合理的這也是不合理的. 因?yàn)樽罱K病人因?yàn)樽罱K病人數(shù)將趨于零數(shù)將趨于零.t ,i tntinO0t( )i t 此模型的一個(gè)應(yīng)用是，利用該模型可以預(yù)測(cè)該傳染病此模型的一個(gè)應(yīng)用是，利用該模型可以預(yù)測(cè)該傳染病何時(shí)會(huì)達(dá)到最大值何時(shí)會(huì)達(dá)到最大值. 對(duì)對(duì)式求導(dǎo)并令其為零，則有式求導(dǎo)并令其為零，則有 20,ddididikniidtdtdtdtdik nidt由方程由方程 0,diks t i tki nidt從而方程從而方程意味著意味著即

33、在病人數(shù)達(dá)到總?cè)藬?shù)的一半時(shí)，病人數(shù)的增加率達(dá)到即在病人數(shù)達(dá)到總?cè)藬?shù)的一半時(shí)，病人數(shù)的增加率達(dá)到最大最大.,2ni tdidt/2ndidtn 將將代入代入, 得最傳染得最傳染病高峰時(shí)刻為病高峰時(shí)刻為001ln1 .ntkni 模型三模型三 假設(shè)假設(shè): 1.在傳染病流行的區(qū)域內(nèi)，總?cè)丝跀?shù)在傳染病流行的區(qū)域內(nèi)，總?cè)丝跀?shù) 是不變是不變的的;n 2.在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的健康人數(shù)量成正在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人能傳染的健康人數(shù)量成正比，其比例系數(shù)記為比，其比例系數(shù)記為 ，稱為傳染系數(shù)。，稱為傳染系數(shù)。k 3.在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人通過(guò)治療或其它過(guò)程能夠在單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)病人通過(guò)治療或其它過(guò)程能夠不

34、再成為病人的可能性記為不再成為病人的可能性記為 ，稱為恢復(fù)系數(shù)。，稱為恢復(fù)系數(shù)。l 建模建模 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 有病人有病人 人，健康人人，健康人 ，免疫者，免疫者 人，初始時(shí)刻有病人人，初始時(shí)刻有病人 及免疫人數(shù)為及免疫人數(shù)為0.t i t s t r t0i 由假設(shè)由假設(shè)1及及3得得 ,i ts tr tn ,drl i tdt 從時(shí)刻從時(shí)刻 到時(shí)刻到時(shí)刻 的時(shí)段中病人數(shù)的增量為的時(shí)段中病人數(shù)的增量為ttt ,iks t i ttr 其中其中 為免疫者數(shù)量的增量。把為免疫者數(shù)量的增量。把 除以上式的兩邊，除以上式的兩邊，并令其趨于零，則有微分方程：并令其趨于零，則有微分方程：rt ,didrk

35、s t i tks t i tli tdtdt再由再由式得式得0,didsdrdsdidrksidtdtdtdtdtdt 所以所以 0,0diksilidtii 00,0dsksidtssni 如此，模型三歸結(jié)為求解一階非線性微分方程組的初值如此，模型三歸結(jié)為求解一階非線性微分方程組的初值問(wèn)題問(wèn)題. 上面方程組的求解是極為困難的。我們從另一個(gè)角度上面方程組的求解是極為困難的。我們從另一個(gè)角度來(lái)進(jìn)行討論來(lái)進(jìn)行討論. 引入量引入量 ，稱為特征系數(shù)，則微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)?，稱為特征系數(shù)，則微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)閘k001,diksilidsksisi si此方程為變量可分離的微分方程，分離變量后求解：此方程為變量

36、可分離的微分方程，分離變量后求解：001,1,isisdidsdidsss得得000ln,siisss由此得到初值問(wèn)題由此得到初值問(wèn)題的解為的解為0ln,sisns 解的分析解的分析 由于由于故解曲線故解曲線必定在下述一個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)：必定在下述一個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)： 0,0,0,i ts tr t ,i ts tn r tn ,0,0,.Ds i sisin 由由知知 即隨時(shí)間即隨時(shí)間 的增加，健康人數(shù)的增加，健康人數(shù) 將減少。再將減少。再由由知當(dāng)知當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 此時(shí)病人數(shù)達(dá)到了極大值此時(shí)病人數(shù)達(dá)到了極大值0,dsdttss0si max.i 再來(lái)看當(dāng)時(shí)間在增加時(shí)病人數(shù)和健康人數(shù)的極值情再來(lái)看當(dāng)

37、時(shí)間在增加時(shí)病人數(shù)和健康人數(shù)的極值情況。況。 由于由于 由極限存在準(zhǔn)則：故極限值由極限存在準(zhǔn)則：故極限值 0,0,dss tdts 0,drr tndt存在，且由于存在，且由于 故極限值故極限值 存在。從而由存在。從而由r式式式知極限值式知極限值insr必存在，且必存在，且0.i 其次，假定其次，假定 則由則由 當(dāng)當(dāng) 相當(dāng)大時(shí)，有相當(dāng)大時(shí)，有 0,it,2drlrdt 此與此與 的存在性矛盾，所以的存在性矛盾，所以r0.i 從圖中可以看出，在健康人數(shù)初始值從圖中可以看出，在健康人數(shù)初始值 的條件的條件下，當(dāng)時(shí)間下，當(dāng)時(shí)間 時(shí)，健康人數(shù)量時(shí)，健康人數(shù)量減少，而病人數(shù)減少，而病人數(shù) 先增加，在達(dá)先

38、增加，在達(dá)到極大值到極大值 后再減少；而在健后再減少；而在健康人數(shù)初始值康人數(shù)初始值 的條件下，的條件下，i0stsmaxi0smaxisx00,s isi0s當(dāng)時(shí)間當(dāng)時(shí)間 增加時(shí)，健康人數(shù)量增加時(shí)，健康人數(shù)量 減少，病人數(shù)量減少，病人數(shù)量 也減也減少。少。ts 結(jié)論：只有當(dāng)結(jié)論：只有當(dāng) 時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。時(shí)傳染病才會(huì)蔓延。0si 數(shù)量數(shù)量 稱為閥值。顯然稱為閥值。顯然 越大則越不容易使傳染病蔓越大則越不容易使傳染病蔓延。由延。由 的定義知，欲使的定義知，欲使 增大，可使恢復(fù)系數(shù)增大，可使恢復(fù)系數(shù) 增大增大和傳染系數(shù)和傳染系數(shù) 值降低。其實(shí)際意義是：提高醫(yī)療水平及值降低。其實(shí)際意義是：提高醫(yī)療

39、水平及提高衛(wèi)生保健水平，是預(yù)防傳染病蔓延的良好途徑。提高衛(wèi)生保健水平，是預(yù)防傳染病蔓延的良好途徑。lk 從以上的分析中可以看到，模型三還是比較符合實(shí)際從以上的分析中可以看到，模型三還是比較符合實(shí)際情況的。情況的。應(yīng)應(yīng) 用用 應(yīng)用模型三，我們來(lái)估計(jì)一次傳染病流行過(guò)程中被傳應(yīng)用模型三，我們來(lái)估計(jì)一次傳染病流行過(guò)程中被傳染者的總數(shù)。染者的總數(shù)。 若一次被傳染病流行后健康人數(shù)量為若一次被傳染病流行后健康人數(shù)量為 ，則被傳染者，則被傳染者的總數(shù)為的總數(shù)為s顯然，顯然， 應(yīng)該滿足應(yīng)該滿足中的中的 時(shí)的形式時(shí)的形式s0i 0.xss 因?yàn)橐话阌幸驗(yàn)橐话阌?故故 代入代入、，得近似方程，得近似方程， 000,

40、00,irr0,sn0ln0.ssns0ln 10.xxs 又由于又由于 由冪級(jí)數(shù)展開式，由冪級(jí)數(shù)展開式，為為 01,xs20010,2xxxss略去較高項(xiàng)，有略去較高項(xiàng)，有解出，得解出，得20010,2xxss001.2ssxmaxisx00,s isi0s若記健康人數(shù)量超過(guò)閥值部分為若記健康人數(shù)量超過(guò)閥值部分為 ，即，即0,s則被傳染者總數(shù)為則被傳染者總數(shù)為21.x 特別地，當(dāng)健康人數(shù)量的初始值超過(guò)閥值部分很小特別地，當(dāng)健康人數(shù)量的初始值超過(guò)閥值部分很小時(shí)，即時(shí)，即 時(shí)，就有時(shí)，就有2 .x 從上面的幾個(gè)式中可以看到，在閥值從上面的幾個(gè)式中可以看到，在閥值 提高后，提高后， 值值將變小，于

41、是，一次傳染病流行過(guò)程中被傳染者總數(shù)將變小，于是，一次傳染病流行過(guò)程中被傳染者總數(shù)也會(huì)變小。也會(huì)變小。x 在上面的討論中，參數(shù)在上面的討論中，參數(shù) 可以由實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)得到的?？梢杂蓪?shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)得到的。因初始值因初始值 從而從而 故由故由得得00,i 0000,nisrs00ln0,ssss從而從而00.lnlnssss檢檢 驗(yàn)驗(yàn) 所建立的模型在應(yīng)用于實(shí)踐前，還必須用已往的一些所建立的模型在應(yīng)用于實(shí)踐前，還必須用已往的一些經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)資料做一番檢驗(yàn)。如果它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合，經(jīng)驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)資料做一番檢驗(yàn)。如果它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合，則該模型可以用于實(shí)際的應(yīng)用；如果它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合則該模型可以用于實(shí)際的應(yīng)用；如果

42、它與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得不好，則該模型還不能做定量的應(yīng)用。在后一種情況得不好，則該模型還不能做定量的應(yīng)用。在后一種情況下，則需要對(duì)模型做進(jìn)一步地修改，直到模型與實(shí)際數(shù)下，則需要對(duì)模型做進(jìn)一步地修改，直到模型與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合為止。據(jù)吻合為止。 假設(shè)有一組數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)反映的是某醫(yī)院每周的傳染假設(shè)有一組數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)反映的是某醫(yī)院每周的傳染病病人病愈和死亡的情況：（時(shí)間單位病病人病愈和死亡的情況：（時(shí)間單位 為一周）為一周）t時(shí)間時(shí)間1234N治愈治愈人數(shù)人數(shù)1r2r3r4rNr 今以這組數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ腿榇耸紫惹蟪鼋褚赃@組數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ腿?。為此首先求?與與 的的關(guān)系：由關(guān)系關(guān)系：由關(guān)系，得微分方程，得微

43、分方程rt00,.r rdsksisdrl iss 該初值問(wèn)題的解為該初值問(wèn)題的解為0.rss e代入代入式得到式得到.rdrl nrsedt由于病愈和死亡的人數(shù)由于病愈和死亡的人數(shù) 將指數(shù)函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展將指數(shù)函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展開：開：,r2323111,23!rrerr 代入到上式，并略去高階項(xiàng)后得：代入到上式，并略去高階項(xiàng)后得：200201,20.tsdrsl nsrrdtr(21) 用分離變量法求得上面方程的解用分離變量法求得上面方程的解 2001tan,2sl tr ts其中其中000022/11,arctan,snsss由前式得到由前式得到2220,2 ch2rdrllttdts 當(dāng)當(dāng) 則上式成為則上式成為1t (22)2,chArBt (23)其中，其中，220,22llABs (24) 下面介紹參數(shù)下面介紹參數(shù) 的確定方法：的確定方法：, ,A B 當(dāng)參數(shù)當(dāng)參數(shù) 各取定某個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)于各取定某個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)于由公式由公式(23)可確定相應(yīng)的理論值：可確定相應(yīng)的理論值：, ,A B1,2,tN2.chtArBt 構(gòu)造理論值和實(shí)際值間的誤差平方和函數(shù)如下：構(gòu)造理論值和實(shí)際值間的誤差平方和函數(shù)如下：21, ,chNtAE A BBt 通過(guò)在一定的范圍中尋找參數(shù)通過(guò)在一定的范圍中尋找參數(shù) 的值的值使值使值, ,A B*,A B*min,EE A B成為函數(shù)