化工數(shù)學答案(全)

1、化工數(shù)學各章習題選解（僅供參考）第一章習題 1. （） 在一個有效容積為V的半連續(xù)式攪拌反應器中，由原料生產(chǎn)物質(zhì)，若濃度為c0流量為Q的溶液加入空反應器，反應遵循以下連串-可逆步驟且所有的反應均為一級，證明在反應器中的克分子數(shù)NB是以下微分方程的解式中證明：對A、B分別作質(zhì)量衡算，有A：B：由（2）得到：（3）代入（2），得：令得證畢。 2. 冬天的池塘水面上結(jié)了一層厚度為l的冰層，冰層上方與溫度為Tw的空氣接觸，下方與溫度為0的池水接觸。當Tw0時，水的熱量將通過冰層向空氣中散發(fā)，散發(fā)的熱量轉(zhuǎn)化為冰層增加的厚度。已知水結(jié)冰的相變潛熱為Lf，冰的密度為，導熱系數(shù)為k，導溫系數(shù)為，求：1) 當氣

2、溫Tw不隨時間變化時，給出冰層厚度隨時間變化的關(guān)系，若Lf3.35×105J/kg，913kg/m3，k2.22W/m °K，Tw10，問冰凍三尺，需幾日之寒？2）當氣溫隨時間變化時，設TwTw (t)已知，導出冰層厚度變化的完整數(shù)學模型。解：(1) 冰層的溫度為0，水通過冰層向空氣散發(fā)熱量，記為Q，該熱量用于水結(jié)成冰。假設冰層面積為s，厚度為l 根據(jù)導熱方程，可得：代入數(shù)值，Lf3.35×105J/kg，913kg/m3，k2.22W/m °K，Tw10，l1m，求解積分上式得： t79.7天80天若冰凍三尺，在Tw10時，需要約80天。(2) 若Tw

3、Tw (t)，冰層厚度為l根據(jù)熱量守恒：兩邊積分：厚度變化與Tw 的關(guān)系為： 3. （） 在一個半分批式攪拌反應器中進行著一級放熱化學反應，反應速率常數(shù)由 Arrhenius關(guān)系式給出，反應熱由釜內(nèi)的冷卻盤管移出，請自行設定有關(guān)的參數(shù)，導出該反應器的數(shù)學模型。解：設物料以恒定的體積流量F加入，則反應器中反應物濃度CA與溫度T由以下物料衡算與熱量衡算方程給出物料衡算方程 能量衡算方程合并，得數(shù)學模型為式中K(TTc)A為冷卻移熱，kCAV(-Hr)為反應熱。 4（）采用微元分析法推導出柱坐標系中的不定常熱傳導方程。 解：考慮柱坐標系中熱傳導方程的形式。柱坐標系下的三個空間變量：向徑r，經(jīng)度角q，

4、高度z。在這三個方向上，與自變量的微分變化所對應的線段微元長度分別是 由偏導數(shù)的定義，溫度梯度ÑT在三個方向的分量即溫度在每個方向上的微元增量除以相應的線元長度，即于是Fourier熱傳導定律在柱坐標系中的分量形式為接著考慮各方向輸入和輸出的微元通量，首先考慮r方向 于是r方向的凈輸入通量為： （9）對q方向作同樣的分析，z方向的分析，微元體內(nèi)的積累項： （16）將三個方向輸入微元的熱流凈增量加和并令其等于積累項，就得到 （17） 5. 風吹過皮膚表面時，人會有干燥涼爽的感覺，這是因為風的吹拂強化皮膚表面的對流傳熱與傳質(zhì)，形成一個速度，溫度，濃度（含水量）的邊界層，設流動為層流（微風

5、），考慮出汗的蒸發(fā)潛熱，求：1）列出皮膚表面的三傳問題的邊界層方程，根據(jù)實際情況適當簡化并給出問題的邊界條件；2）將上述問題無量綱化，并解釋所得到的各無量綱參數(shù)的物理意義；3）試分析速度分布，溫度分布，含水量分布分別與哪些無量綱參數(shù)有關(guān)，并用簡單的函數(shù)關(guān)系示意；4）根據(jù)所得結(jié)果定性的解釋一些經(jīng)驗常識：為什么風越大越感覺到冷？為什么出汗后擦了汗感覺更涼快？當空氣中濕度變化時，對表面散熱會帶來哪些影響？在冬天和夏天，人體對空氣濕度的增加會有什么樣的感覺？解：1）同時考慮流動傳熱傳質(zhì)時的邊界層傳遞方程是表示重力在x方向的分量，為熱膨脹系數(shù)，為密度變化系數(shù) 水汽化潛熱 水蒸發(fā)速度由于可忽略，可忽略，

6、化簡后邊界條件y0， u0（皮膚表面氣流速度） TT0（皮膚表面溫度） cc0（皮膚表面的含水量）y1 uu（速度邊界層外氣流速度）y2 TT（溫度邊界層外氣流溫度）y3 cc（濃度邊界層外氣流中含水量濃度）1，2，3分別為速度邊界層，溫度邊界層，濃度邊界層的厚度。2）無量綱化無量綱物理性質(zhì)的比值無量綱化后邊界條件在 對于較大的Pr或Sc，熱傳導與擴散效應與黏性比較相對較弱，熱邊界層和擴散邊界層位于速度邊界層內(nèi)部，反之，對于較小的Pr或Sc，熱傳導與擴散速率大于黏性傳遞速率，熱和擴散邊界層就有可能擴展到速度邊界層之外。3）速度分布，溫度分布，含水量分布的簡單函數(shù)關(guān)系式4）風越大，皮膚表面的氣體

7、更新速度越快，水的蒸發(fā)速度變快，傳熱越快，感覺到冷出汗后感覺更涼快，是因為減小了汗水層的厚度，蒸發(fā)速度加快當空氣中濕度變大時，皮膚表面水的蒸發(fā)速度變慢，不利于傳熱夏天空氣濕度增加，汗水蒸發(fā)困難，人感覺悶熱冬天空氣濕度增加，少量的汗水在皮膚表面使人感覺溫暖。6（）在管式反應器模型（1.4.15）中，當Pe®0時，相當于完全返混的情況。試從方程（4.15）出發(fā)，通過適當?shù)捏w積積分和取極限Pe®0，導出均相釜式反應器模型。解：當Pe®0時，由原方程（4.15）及邊界條件可知，c=const，說明在完全返混的情況下，反應器內(nèi)具有均勻的濃度。對于任意的Peclet數(shù)，對方程

8、4.15進行體積積分得到 （31）式中為反應器內(nèi)的平均濃度。將邊界條件（4.15）代入（31），得到 （32）上式對任意Peclet數(shù)均成立，僅當Pe®0時，反應器內(nèi)濃度均勻，上式成為無量綱的理想混合釜式反應器數(shù)學模型。7. （） 烯烴在ZieglarNatta催化劑顆粒上的氣相聚合過程可用最簡單的固體核模型來描述，如附圖所示。氣相中的烯烴單體在催化劑顆粒（圖中陰影部分）表面聚合后生成一多孔的固體聚合物殼層并將催化劑包裹在內(nèi)部，外部的氣相烯烴單體只有擴散穿過此固體聚合物殼層后才能到達催化劑表面參與反應。試求： （i）證明單體在殼層中的擴散及聚合物粒子的生長由以下方程描述 式中為單體濃

9、度(mol/m3)，s為聚合物殼層的密度(kg/m3),為單體在殼層中的擴散系數(shù)(m2/s), M為單體的分子量，R為聚合物顆粒的半徑。 （ii）設催化劑核半徑為rc，單體在外部氣相本體中的濃度為，以上述參量為r和M的特征尺度，并引入適當?shù)臅r間尺度，將上述方程無量綱化。然后根據(jù)氣相單體與固體聚合物密度之間的巨大差別(s/g 103)將問題進一步簡化。 （iii）設單體在催化劑核表面的濃度恒為0（瞬時反應），R的初始值為R0(R0> rc)，求解上述簡化后的模型并給出聚合物粒子半徑R隨時間的變化關(guān)系。提示：對單體的濃度分布可采用擬穩(wěn)態(tài)假定。解：為簡化計算，令單體分子量Mw的單位是kg（1）

10、 問題建模如圖1所示，對微元dr作物料衡算得 如圖2.對微元dR作物料衡算得圖1圖2（2） 無量綱化與簡化分析：本問題存在著兩個特征時間尺度，一個是單體組分內(nèi)擴散通過聚合物殼層的時間尺度，該尺度可以從內(nèi)擴散方程（19）中得出，為此，近似取代替，M/r代替，M/r2代替，就可估算出；另一個是聚合物顆粒生長的特征時間尺度t2，可以從方程（20）中用類似的比值代替微分的辦法估算出。在對問題進行無量綱化時，不同時間尺度的選擇代表著所關(guān)注的不同過程。如果選取為時間尺度，式（20）和（21）可分別無量綱化為（仍然用當前變量表示無量綱變量）：此時式（23）中出現(xiàn)一個小參數(shù)e 。時間尺度t1稱為快時間尺度，選

11、擇這一尺度所得到的方程（22）中不含有小參數(shù)e，表示我們關(guān)注的是單體M通過聚合物殼層的不定常擴散而不是粒子的生長。略去（23）中的小參數(shù)項后得到，說明在考慮單體內(nèi)擴散時，由于時間較短，可以將粒子半徑作為常數(shù)考慮。因此，選擇t1為時間尺度顯然不妥，得到的不是我們希望關(guān)注的問題。如果選取為時間尺度，（20）、（21）式可無量綱化為：此時粒子生長方程（26）不含小參數(shù)，粒徑將隨時間變化，表示我們關(guān)注的是顆粒的生長。而單體內(nèi)擴散方程（25）中的時間導數(shù)項含小參數(shù)e，可以略去，說明在慢時間尺度t2上考慮粒子生長時，單體的內(nèi)擴散過程可以忽略時間變化項，內(nèi)擴散可以作為擬穩(wěn)態(tài)過程來考慮。從和中得到的不同簡化模

12、型說明時間尺度的選擇需要根據(jù)建模目的來考慮，使簡化后的模型能夠代表所關(guān)注的過程的主要特征。（3）對單體的濃度分布作擬穩(wěn)態(tài)（時間導數(shù)項為零）假設，即（25）中的，得解得代入（26），得解得8. 在缺乏數(shù)學模型的某些情況下，僅僅根據(jù)量綱分析或尺度比較也可以獲得一些很有價值的結(jié)果，考慮以下例子：1） 對于固體顆粒在黏性流體中的Stock流動問題，顆粒受到的阻力f僅僅與顆粒尺度d，動力學粘度和速度有關(guān)，即ff（d，）根據(jù)量綱齊次化的要求，物理方程等式兩邊的量綱應該相同，而有參數(shù)d，組成的具有離地量綱的參量只可能是d，因此上述函數(shù)關(guān)系只可能取一下形式，fAd式中A是一個只與顆粒形狀有關(guān)的常數(shù)，上式即為S

13、tock定律?，F(xiàn)根據(jù)上述量綱分析方法分析湍流的消磁度運動。湍流中存在一系列大小不同的渦旋，能量從大尺度渦旋順序傳遞給消磁度渦旋，同時將機械能耗散為熱能，其中最小的渦旋尺度稱為Kolmogorov尺度，在這個尺度上，黏性和能量耗散占優(yōu)，因此只有運動學粘度v (m2/s)和能量耗散速率(W/Kg）兩個產(chǎn)量起作用，其他物理量都可以用這兩個量表示。試根據(jù)量綱齊次化原理推導出Kolmogorov尺度及局部速度與v，的關(guān)系（可相差一個常數(shù)）習題8：湍動射流2）流體在自由空間中的射流形成一個夾角為的圓錐型區(qū)域，如圖所示，設UU（x）為距噴口x處的平均流速，RR（x）為x處的射流半徑，試根據(jù)總動量沿x方向守恒

14、的要求確定速度U和射流區(qū)總流量沿x的變化關(guān)系（可相差一個常數(shù)）3）對于放熱反應，當反應器尺寸增大時，其體積按長度的三次方增長，而表面積卻按平方增長，因此體積增大有利于熱量的增加，而體積減小有利于冷卻散熱。這是化學工程中說明“放大效應”的一個典型例子。根據(jù)類似的道理解釋為什么生活在寒冷地區(qū)的動物一般體型較大（例如北方人就比南方人高大），而且形狀趨于圓滑，而熱帶地區(qū)的動物體型較小且趨于瘦長（例如南方人比北方人相對較瘦，且身體凸出部分的輪廓更為明顯）。解：1）分析：題中出現(xiàn)的符號意義如下Kolmogorov尺度 m能量耗散速率 W/Kg運動學粘度v m2/s局部速度 m/s從fAd可知f量綱與d相同

15、，又的量綱W/Kg與的量綱相同（f力N，速度m/s，密度Kg/m3，V體積m3）可知V與3量綱相同，f與v 量綱相同，與量綱相同，帶入中2）分析：總動量沿x方向守恒，設C（C為常數(shù)）。又，將R帶入總動量表達式中，3）分析：將人體看成一個反應器，食物在體內(nèi)消化放出熱量，除供人體正?；顒铀璧哪芰亢蛢Υ嬖隗w內(nèi)外，以熱量的形式通過體表釋放到體外。人體散熱與人體表面積和外界溫度和人體溫度的差值成正比，表面積與人體尺寸的平方成正比。可記為散熱A*溫度差*表面積。人體放熱與人體體積成正比，體積與人體尺寸的立方成正比，可記為放熱B*體積（A，B為關(guān)于人體散熱放熱的常數(shù)）。為保持人體溫度一定，放熱與散熱需要平

16、衡，散熱放熱。寒冷地區(qū)的外界溫度和人體溫度的差值比熱帶地區(qū)大，所以需要的體積與表面積比也大，即表現(xiàn)為人體尺寸大，也就是人的體型較大，而形狀圓滑是為了減小表面積所致。熱帶地區(qū)的人體型瘦長，身體凸出部分輪廓明顯，可以增大表面積，方便散熱。9. 在水平液面上垂直插入一個半徑為R的毛細管，此時液體將在表面張力的拉動下沿著管中上升。彎曲液面形成的毛細壓強可以用以下YongLaplace 方程計算式中為氣液表面張力，為氣液界面與固壁之間的接觸角，管中流體一方面受到毛細壓強的驅(qū)動而上升，一方面又受到重力和粘性阻力的作用，設流動速度遵從粘性管流的Poiseuille分布，求：1) 對于兩端開口的毛細管，證明液

17、位高度H隨時間t的變化滿足以下方程式中為液體的動力學粘度，g為重力。 2）對于上端封閉的毛細管，設總管長為l，管內(nèi)氣體滿足理想氣體狀態(tài)方程，試推導相應的液位高度H的變化方程。 3）從上述方程中求出最大液位高度Ho和時間變化關(guān)系H(t),據(jù)此討論H變化的趨勢。解：(1) 彎曲液面形成的毛細壓強可以用以下YongLaplace 方程計算，同時又受到重力的作用產(chǎn)生壓強，總的P為： 式中為氣液表面張力，為氣液界面與固壁之間的接觸角，R為毛細管半徑。Poiseuille分布，體積流率的表達式為：式中為液體的動力學粘度，g為重力。(2) 若毛細管上端是封閉的，則P由三部分組成，還有一部分是液面上端產(chǎn)生的壓

18、強。 式中Po為大氣壓強，L為毛細管長。(3) 當達到最高液位Ho時，則：0積分得： 從上式可以看出，H先增高，到最大值后開始下降。10. 氣液兩相的傳質(zhì)過程與色譜過程有許多類似之處，例如，氣相通過反應器（鼓泡塔、板式塔、填料塔等）的流動可以看成是溶質(zhì)通過固定相的運動，氣液傳質(zhì)阻力可類比于氣固傳質(zhì)阻力，氣液兩相的逆流操作模式也與移動床相似。此外，氣液兩相在界面上處于平衡狀態(tài)，由Henry定律表述，與§7.2節(jié)考慮的微孔分子篩的內(nèi)擴散過程類似。與色譜問題不同的是，許多氣液反應器（鼓泡塔與攪拌釜）中的液相或液固兩相一般都處于全混流狀態(tài)，而色譜柱中固定相是靜止的，移動床中固體接近平推流。試

19、根據(jù)與移動床的類比建立如圖所示的鼓泡塔反應器的穩(wěn)態(tài)數(shù)學模型，圖中氣體從塔底加入，經(jīng)分布器之后形成分散的氣泡并在液體中浮升，最后從容器的上部輸出；液體則從塔頂加入，從底部流出。氣相中的組分A被液體吸收后在液相中發(fā)生一級化學反應。鼓泡塔中氣相的流動可考慮為平推流，液相考慮為全混流。其它已知的參數(shù)為：鼓泡塔液位高度l，氣含率g，空塔氣速U，加入液體的質(zhì)量流率F，單位體積氣液傳質(zhì)系數(shù)kLa，一級反應動力學常數(shù)kA，Henry系數(shù)HA。所建立的數(shù)學模型要求包括以下內(nèi)容：習題10：鼓泡塔反 應器1）設cg 和cL 分別為反應組分在氣相和液相中的濃度，給出其方程和邊界條件；2）如果是強放熱反應，反應熱通過溶

20、劑蒸發(fā)和氣液相的連續(xù)流動移出，請自行設定有關(guān)物性參數(shù)，給出溫度T滿足的方程。解：數(shù)學模型一般包括物料衡算、熱量衡算和動量衡算，對于鼓泡塔的氣液反應體系，氣液兩相的溫度場計算是不必要，因為塔內(nèi)混合良好，溫差很小。動量衡算也非必要。物料衡算是要考慮到對流、相間傳質(zhì)、軸向分散及化學反應等影響因素。(1) 假設塔內(nèi)等溫，作氣相及液相的物料衡算：氣相： 流入項 傳質(zhì)項 返混項 積蓄項液項：流入項 傳質(zhì)項 返混項 反應項 積蓄項式中： 假設 氣相平推流 液相全混流 邊界條件： 氣相：Z0： Z1： 液相：Z0： Z1： (2) 進氣溫度為Tg，液體為Tl，氣體熱容cg，液體熱容cp，液體的質(zhì)量流量Fl，氣

21、體的質(zhì)量流量Fg，單位時間反應熱為Q，C為常數(shù)。鼓泡塔內(nèi)溫度均勻，塔內(nèi)溫度和排出的氣體液體溫度均記為T，根據(jù)能量守恒： 習題11：填料吸收塔11填料塔廣泛用于氣體吸收，氣液兩相采用逆流操作，液體從塔頂均布后加入，沿填料表面成液膜下降，氣體從塔底加入，沿塔上升并與液體實現(xiàn)逆流接觸，氣體中的活性組分被液體吸收后從塔底流出，凈化后的氣體從塔頂排出，如圖所示。設從塔底加入的氣體中含有待吸收組分A和惰性氣體，惰氣流量為G（mol/s），從塔頂加入的液體惰性溶劑的流量為L（mol/s），組分A在液相中以一級反應進行分解，給定塔的直徑D和塔高H、單位體積填料的液體持液量eL（m3/m3）和氣液傳質(zhì)系數(shù)kLa

22、，以及化學反應速率常數(shù)kA、氣液相Henry系數(shù)HA，試用微元分析法建立一數(shù)學模型，描述氣相濃度yA (mol/mol惰氣)和液相濃度xA (mol/mol溶劑)的沿塔分布，然后從模型中消去xA，得到y(tǒng)A的單一方程，并給出適當?shù)倪吔鐥l件。提示：可假設在氣液界面上滿足Henry定律，則兩相傳質(zhì)速率為kLa (yAHAxA)。解：分析 此填料塔用于氣體的化學吸收，塔內(nèi)物料平衡涉及兩相：氣相和液相?？煞謩e對氣相及液相中的待吸收組分作質(zhì)量守恒，守恒方程中將涉及到的未知量包括：待吸收組分A在氣相中的濃度yA（molA/mol惰性氣體）和待吸收組分A在液相中的濃度xA(molA/mol溶劑)。守恒方程數(shù)與

23、未知量數(shù)均為2，在給定邊界條件下可以得到微分方程的特解。假設 1 設待吸收組分A在液相中的反應速率為： 該反應為一級反應，反應速率常數(shù)為k（單位 mol/m3·s）2 設吸收塔在連續(xù)操作過程中處于穩(wěn)態(tài)，進而在質(zhì)量衡算方程中涉及到的積累項均為0解答步驟在填料塔任一高度h處取一厚度為dh的體積微元（見習題11圖），分別考慮微元中氣相和液相的待吸收組分A的質(zhì)量守恒：氣相 式中 氣液相間的傳質(zhì)方向是由氣相到液相，因而傳遞量屬于輸出項，其傳質(zhì)速率為：，其中kL是以氣相摩爾分率差為總傳質(zhì)推動力的總傳質(zhì)系數(shù)（單位 kmol/(m2·s·y)），a是單位體積填料層所提供的有效傳質(zhì)

24、面積（單位 m2傳質(zhì)面積/m3填料體積）。因而：式中 D是填料塔直徑，為所取微元內(nèi)的填料體積。由于氣相中不發(fā)生待吸收組分A的分解反應，因而：吸收塔處于穩(wěn)態(tài)操作，因而：根據(jù)質(zhì)量守恒：即： 整理得：液相：式中氣液相間的傳質(zhì)方向是從氣相到液相，因而傳弟量屬于輸入項，它的大小與氣相輸出項中的氣液傳質(zhì)量相同，為：因而：式中-rA為組分A在液相中的應反應速率，單位：mol/m3·s。而是在所取填料微元中的持液量。根據(jù)質(zhì)量守恒：即：整理得：相應邊界條件：在填料塔底部 h=0 yA=yb 式中yb為進料氣體中組分A的濃度 頂部 h=H xA=xa 式中xa為進料液體中組分A的濃度至此，聯(lián)立關(guān)于氣相與

25、液相質(zhì)量守恒的兩個常微分方程，并加入邊界條件：求解此一階常微分方程組即可得到氣液相中組分A的濃度沿著塔高方向上的分布。下面對此常微分方程組進一步化簡，消去xA，以得到一個只含yA二階常微分方程。對式（1-11-1）變形，得：代入式（1-11-2）得到：相應邊界條件：化簡得：從而得到關(guān)于yA的一個二階常微分方程及其邊界條件：這是一個常系數(shù)二階常微分方程，將實際生產(chǎn)中的數(shù)據(jù)代入后可以很容易解出關(guān)于組分A在氣相中的濃度yA沿塔高方向上的分布，進而得到組分A在液相中的濃度xA沿塔高方向上的分布。12. 在一鼓泡容器內(nèi)，初始時刻裝有體積為V的氨鹽水(NH3NaClH2O)，隨后以流量F通入CO2氣體，在

26、液相中即發(fā)生以下碳酸化反應 (1) (2) (3)這是制取純堿(Na2HCO3)的基本反應，是一個連串反應過程。其中反應(1)為快速反應，發(fā)生在氣液界面附近的液膜之內(nèi)，而反應(2)、(3)為慢反應，發(fā)生在液相本體之中。設各步反應均為擬一級反應，其中NH3 和Na+ 大大過量，其濃度可近似考慮為常數(shù)。容器中的氣含率、氣液比表面積aV和液膜厚度均為已知量，液膜體積aV<<1，試分別對液膜和液相本體導出該反應過程的數(shù)學模型，給出分批式和連續(xù)式兩種操作情況下的反應器模型。提示：液膜中的反應-擴散過程可視為擬穩(wěn)態(tài)過程，CO2的氣液界面濃度和本體濃度可設為已知，NH2COO-的本體衡算方程需考

27、慮液膜向液相本體的傳遞速率。解： 分析： 在此串連反應中,反應（1）為快反應，其反應速率遠大于反應物CO2在液相中的擴散速率，因而該反應只發(fā)生在氣液界面附近的液膜之內(nèi)，在液相本體中，CO2的濃度已為零。反應（2）、（3）為慢反應，因而液相中反應物的混合速率遠大于反應速率，即由液膜中通過反應（1）生成的NH2COO-在還未發(fā)生顯著的化學反應之前就已混合均勻，可以認為NH2COO-以及其反應產(chǎn)物HCO3-在整個反應器中均勻分布。而在反應器中，液膜體積av<<1，即液相本體的體積遠大于液膜體積，所以反應（2）、（3）絕大部分都在液相本體中完成。由于鼓泡反應器中液膜與液相本體中分別進行著不

28、同的反應（對于快反應（1），主要發(fā)生在液膜中，而對于慢反應（2）、（3）則主要發(fā)生在液相本體中），因而需要分開討論。對于液膜，可以采用擬穩(wěn)態(tài)假設，即不論是分批式還是連續(xù)式操作，液膜內(nèi)的物質(zhì)濃度都不隨時間變化，積累量均為零。對于液相本體，則需將分批式與連續(xù)式操作區(qū)分對待。此題中鼓泡反應器所涉及到的物質(zhì)包括有：CO2、NH3、NH2COO-、H+、H2O、HCO3-、Na+及NaHCO3共八種，并且其濃度分布包括在液膜內(nèi)濃度分布及液相本體中的濃度分布，共涉及有八個變量在分批式及連續(xù)式兩種操作情況下在兩個不同相（液膜及液相本體）中的濃度分布。但是，通過分析，可以先排除許多量：1 CO2：在本反應器中

29、，CO2作為反應物參加快反應（1），由前面的分析可知，CO2在液相本體中的濃度為零，因而我們只需要求出在液膜中CO2濃度分布即可，根據(jù)擬穩(wěn)態(tài)假設，所得到的濃度分布既可用于分批式操作，也可用于連續(xù)式操作。2 NH3、H2O、Na+：在本反應器中，這三種反應物都處于大大過量，其濃度可近似考慮為常數(shù)，因而可以在反應器模型中將其作為已知量處理，并視為常數(shù)。3 NH2COO-、HCO3-：由前面的分析可知，這兩種物質(zhì)在液相本體中均處于均勻分布，并且它們參與的反應（2）、（3）都是在液相本體中完成，在液膜中的反應可以忽略，即液膜中NH2COO-、HCO3-的濃度分布對于反應器模型沒有任影響。因而我們只需求

30、得NH2COO-和HCO3-在液相本體中的濃度隨時間的分布即可（在空間上均勻分布），而二者在液膜中的濃度分布無需涉及。4 H+、NaHCO3：在本反應器中，這兩種物質(zhì)均只出現(xiàn)在反應產(chǎn)物中，并沒有以反應物的形式參加反應，并且在反應速率方程中也沒有涉及，因而在建立的反應器模型中不涉及兩者的濃度。綜上所述，本反應器模型共涉及：CO2在液膜中的濃度分布，NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布共三個變量。其中CO2在液膜中的濃度分布即可用于分批式操作，又用于連續(xù)式操作。而NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布則必須分為分批式操作和連續(xù)式操作進行討論。假設 1 在本題中，用

31、符號A指代組分CO2，符號B指代NH2COO，符號C指代HCO3-。2 反應（1）、（2）、（3）均為擬一級反應，因而其反應速率分別為：3 反應器體積為V，而反應器中氣含率為，易知反應器中的液體量為：（1-）V。再由反應器中的氣液比表面積為av（單位：有效氣液接觸面積m2/液體體積m3），得到反應器中的液膜面積（即氣液接觸面積）為av（1-）V，液膜體積為：av（1-）V。4 假設在反應過程中反應器內(nèi)的液體體積不變，即忽略反應過程中的體積變化，因此在質(zhì)量衡算方程中反應器內(nèi)的液體休積（1-）V為常數(shù)。解答步驟1 液膜中CO2的濃度分布：液膜中CO2的反應-擴散過程可視為擬穩(wěn)態(tài)過程，因而不論是分批

32、式還是連續(xù)式均可以作為穩(wěn)態(tài)處理。由于液膜厚度遠小于氣泡直徑，因而可以單位面積對液膜內(nèi)的CO2（用符號A代表）作質(zhì)量守恒：式中1表示單位面積，DA為CO2在液膜中的傳質(zhì)系數(shù)，由于液膜內(nèi)始終處于穩(wěn)態(tài)，濃度CA不隨時間變化，因而CA僅是坐標x的函數(shù)，CO2的質(zhì)量守恒方程為一常微分方程。根據(jù)質(zhì)量守恒：式中CNH3為液膜中NH3的濃度，可視為常數(shù)。與之相應的邊界條件為：因而可以得到關(guān)于CO2（A）在液膜中濃度分布的二階常微分方程：可以解得：此式即是CO2在液膜中的濃度分布，而液膜內(nèi)CO2總的反應速率為：式中-R1是在鼓泡反應器所有液膜中的反應（1）的總反應速率，單位mol/s。將前面得到的CO2濃度沿x

33、方向上的分布代入體積積分中，很容易就可以把體積積分變?yōu)殛P(guān)于x的線積分，求得-R1，但這里我們利用穩(wěn)態(tài)模型，即CO2在液膜內(nèi)總的反應速率-R1應等于CO2通過氣液相界面，自氣相向液相的傳遞量：式中S是反應器中總的氣液接觸面積，即液膜面積： 利用CA沿x方向上的分布函數(shù)，易得到：式中負號表示CO2在液膜中的反應是作為反應物不斷消耗的。2 分批式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布：在液相本體中對NH2COO-作質(zhì)量守恒方程：式中-R1是在所有液膜中反應（1）的總反應速率（單位mol/s），它也就等于在所有液膜中NH2COO-的生成速率，而液膜內(nèi)始終處于穩(wěn)態(tài)，即所有生成的NH

34、2COO-都從液膜傳遞到液相本體中，因而在液相本體中NH2COO-的輸入項就是-R1。在分批式操作中鼓泡反應器內(nèi)液體沒產(chǎn)出，因而式中（1-）V為反應器中的液相體積，由于NH2COO-在反應（2）中是反應物，在反應過程中不斷消耗，因而在生成項中為負。根據(jù)質(zhì)量守恒：整理得：消去總體積，得到：這是一個常微分方程，加入相應的初始條件：得到：對此常微分方程求解，即可得到在分批式操作條件下NH2COO-濃度隨時間的分布。同樣，在液相本體中對HCO3-作質(zhì)量守恒：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：消去總體積，得到：這也是一個常微分方程，其中可以通前面NH2COO-的質(zhì)量恒算得到，、均為常數(shù)，可由實驗得到。加入相應的初始條

35、件：得到：對此常微分方程求解，即可得到在分批式操作條件下HCO3-濃度隨時間的分布。3 連續(xù)式操作中NH2COO-和HCO3-在液相本體中濃度隨時間的分布：假設在連續(xù)式操作過程中反應液的體積流量為q。同樣，在液相本體中對NH2COO-作質(zhì)量守恒方程：由于進料的氨鹽水中不含NH2COO-，因而輸入項只包含NH2COO-自液膜擴散到液相本體中的量R1。由于是連續(xù)操作，反應器處于穩(wěn)態(tài)：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：化簡得：在連續(xù)操作過程中，在液相本體里NH2COO-的濃度不隨時間變化，為一常數(shù)。同樣，在液相本體中對HCO3-作質(zhì)量守恒方程：由于進料的氨鹽水中不含HCO3-：根據(jù)質(zhì)量守恒：得到：化簡得：在連續(xù)式

36、操作中，在液相本體里HCO3-的濃度也不隨時間變化，為一常數(shù)。綜上所述：在分批式操作中，本反應器的模型為：在連續(xù)式操作中，本反應器的模型為：化工數(shù)學第二章習題1. 求以下微分方程的解 解： (1)（2）（3）2. 求解第一章給出的連續(xù)結(jié)晶器的穩(wěn)態(tài)數(shù)學模型式中，成核速率B，生長速率G，流量F均可考慮為常數(shù)，加入流體的粒數(shù)分布 為l的任意函數(shù)nin=nin(l)。 解： 求解以下方程：的解。分離變量得：積分得：（C為常數(shù)）設，將n的表達式代入原微分方程，得：則，C1為常數(shù)。代入n表達式得原微分方程解：l0時，則原方程解為：3. 電極加熱爐中石墨電極棒的傳熱問題可用以下方程描述式中D，U，A，T0均

37、為常數(shù)，但導熱系數(shù)k為溫度的線性函數(shù)，kT = k0 -aT，試求出上述方程的通解（建議：采用改進的p變換，可使求解更為簡捷）。解：設,則有 原方程變?yōu)? , 其中為任意常數(shù);將帶入,變形得:積分得XT關(guān)系式為: 其中 為任意常數(shù)。4. 設反應物A，B在液膜中發(fā)生以下瞬時反應v為化學計量系數(shù)，該反應受擴散限制，試導出相應的W-變換并求出反應物A，B和產(chǎn)物P的濃度分布。解：此反應受擴散限制 （1） （2） (1)-(2)得（3）令（4）易由（3）可知由定義式（4）可得的邊界條件為；其中為液膜厚度由以上邊界條件可得（5）在處，此時（5）中，得將定義式（4）兩邊平方，利用瞬時反應，不能共存的條件知，

38、于是有將上式兩邊開平方，得（6）根據(jù)（4），（6），可以將，用新變量表出，（7），（8）將（5）代入（7），（8）得，產(chǎn)物的濃度分布為5O2和CO2在生物組織中的傳遞過程對于呼吸作用和光合作用具有根本的重要性。在生物組織中，溶解在液體（血液、組織液）中的O2通過滲透與擴散兩種機制輸送到組織內(nèi)部供細胞呼吸，研究表明，在某一臨界溶氧濃度c* 以上，單位體積的氧消耗速率為常數(shù)，設為q，因此，對于厚度為l的一片組織，代謝過程中氧的衡算方程為式中U為液體滲透流率，D為溶氧擴散系數(shù)。設該組織外部的溶氧濃度為常數(shù)，則邊界條件可表示為試求出溶氧濃度沿組織厚度方向的分布，據(jù)此判斷氧濃度在何處達到最小值？滲透速率

39、U需滿足什么條件才能保證在組織內(nèi)部不會出現(xiàn)缺氧的情況（c(x)> c*）？解：齊次方程的特征方程為解得所以齊次方程的通解為（1）利用比較系數(shù)法，求得非齊次方程的特解（2）所以，非齊次方程的通解為（3）邊界條件為所以溶氧濃度沿組織厚度方向的分布為（4）對關(guān)于求一次，及二次導數(shù)式中令得所以，氧濃度在達到最小值為保證組織內(nèi)部不會出現(xiàn)缺氧的情況，要求即需要滿足6（）求以下變系數(shù)方程的級數(shù)解（a）（b）(c) （a）解：將冪級數(shù)（4.5）代入方程，逐項比較系數(shù)，令首項的系數(shù)為0，得到指標方程為指標方程的兩個根為，屬于第一種情況，可以將c代入遞推公式確定各系數(shù)。令項的系數(shù)為0，得遞推公式為首先將代入

40、遞推公式，有可得 則方程的第一解為 接著將代入遞推公式，整理得則方程的第二解為最后得到方程的通解為（b）指標方程，重根c1=c2=0遞推公式為,將遞推公式表示成an對參數(shù)c的函數(shù)形式于是含有任意參數(shù)c的冪級數(shù)y(x,c)由下式給出當c=0時，上式給出方程的第一解第二解即對各項求導，并令c0得所以方程的通解為（c）將冪級數(shù)代入后比較系數(shù)得到指標方程 遞推公式 指標方程的根為 兩根相差一個整數(shù)m時，遞推公式中am的系數(shù)將成為0而使之無法確定。首先確定由大根得到的級數(shù)，遞推公式為然后將c10代入得到第一解為注：級數(shù)推導詳見微積分下冊第274頁考慮以下含任意常數(shù)c的級數(shù)y(x,c)上述級數(shù)在c-2處有

41、奇異性，第二解y2由下式給出方程的通解為 7. 環(huán)形法蘭上的散熱問題可用以下方程描述式中k和h分別為法蘭的導熱系數(shù)和向周邊環(huán)境的傳熱系數(shù)，T0為環(huán)境溫度。邊界條件為 在內(nèi)圓邊界 r = r1處: T = T1在外圓邊界 r = r2處: T = T2試用有關(guān)的Bessel函數(shù)給出上述問題的通解并說明如何由邊界條件確定通解中的任意常數(shù)。 （提示：作變換，化為標準形式）解： 8.（）用矩陣解法求以下一階線性微分方程組的通解，并將通解用實函數(shù)表示。（1）（2）（1）解：系數(shù)矩陣A的特征方程為解得A的特征值當時，特征向量方程為式中的兩個方程線性相關(guān)，取x1為獨立變量，令x11，得到相應的特征向量為類似

42、的得到對應的特征向量為因此，微分方程的通解為（2）解：系數(shù)矩陣A的特征方程為解得A的特征值當時，特征向量方程為式中的方程線性相關(guān)，取x1為獨立變量，令x11，得到相應的特征向量為,相應的復數(shù)形式的解為上述實部和虛部為方程的兩個線性無關(guān)特解，因此方程組的通解為9.（）對于上題（1）中的系數(shù)矩陣,請用下述方法求矩陣函數(shù)expAt（1） 待定系數(shù)法（2） lagrange插值法（1） 解：將特征根代入方程，得到解得 矩陣函數(shù)為 （2） 將特征根代入方程（7.24）得 10. 如所示, 兩相互聯(lián)接的攪拌釜中裝有體積分別為V1和V2的溶液, 初始時刻釜中溶質(zhì)濃度分別為y10與y20 , 從t = 0開始

43、, 兩釜中的溶液以流量q通過管道泵送而相互交換, 管道體積可以忽略, 求兩釜中的溶質(zhì)濃度隨時間的變化關(guān)系。 圖6.1 兩串聯(lián)攪拌釜之間的質(zhì)量交換qqV1y1V2y2.習題10：兩互聯(lián)攪拌釜的動態(tài)響應 解： 由條件得，對第一個釜：對第二個釜：以上方程組成如下方程組：設，有：其特征方程為：展開得：其特征值為：，為相異實根。與對應的特征向量方程為：取為獨立變量，則。令，得特征向量：與對應的特征向量方程為：取為獨立變量，則。令，得特征向量：綜上，微分方程組的通解為：、為常數(shù)由初始條件，得：解得：代入得到原方程組的通解為：其中11設l = li為矩陣A的特征值，試根據(jù)特征向量方程(2.4.6)證明Syl

44、vester定理(2.5.24) 。解:對于求齊次方程的通解,有式2.4.6: 定義 方程2.4.6欲有非零解,其充分必要條件是 可表示為: 由Cayley-Hamilton定理 有 ,其中m>n; 則任何由矩陣級數(shù)定義的函數(shù)f(A)都可用不高于n-1次的A的多項式表示: 考慮其參數(shù)形式, 若欲確定其中的(i=0,1,n-1),常用的方法是用函數(shù)上的n個點上的值(i=1,2,n),lagrange插值法來得到, 因是n-1次的多項式,故可通過lagrange插值的方法來準確表達,即 其中 將參數(shù)代換為A上式同樣成立,有 此式即為Sylvester定理. 12. 不同形狀的催化劑顆粒上的反

45、應-擴散問題可用以下方程描述式中s為顆粒的形狀指數(shù)，s = 0為片形，s = 1為長圓柱形，s = 2為球形，D為內(nèi)擴散系數(shù)，k為一級反應速率常數(shù)，hm為外表面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，cb為流體相本體濃度。(a) 選擇適當?shù)奶卣鞒叨葘栴}無量綱化；(b) 分別求取s = 0，1，2時的粒內(nèi)濃度分布；(c) 求催化劑有效系數(shù)與Thiele模數(shù)和Biot數(shù)之間的關(guān)系，并討論這兩個參數(shù)對h的影響趨勢。 解： (1)取顆粒的半徑為x的特征尺度。取cb為cA的特征尺度?？蓪栴}無量綱化。選擇R與cb分別為自變量x與因變量的特征尺度，作變換r=x/R, c=/cb代入方程和邊界條件，整理得：(2)S=0 S=1將上式對

46、c求導，再令c=0,得第二解：cA=A+B A,B均為任意常數(shù)。S=2(3)所以與成正比，與成反比。13. 對于可逆反應，反應的轉(zhuǎn)化率由于受到化學平衡的限制而難以提高，采用反應分離耦合操作的方法就可以打破這一限制。設在一催化劑顆粒內(nèi)部發(fā)生上述雙組分可逆反應，同時也篩選出了某種吸附劑，使得A、B的吸附性能呈現(xiàn)較大差別，這樣，我們就可以將催化劑與吸附劑摻混，然后采用逆流移動床來實現(xiàn)反應分離耦合操作。 設吸附等溫線為線性，反應關(guān)于固相濃度為一級，忽略顆粒內(nèi)外的傳質(zhì)阻力和床層返混，則逆流移動床數(shù)學模型由以下方程描述式中，c 和n分別表示流體和固體相的濃度，u, us 分別為流體和固體的運動速度，求1）

47、 解上述方程，給出濃度A、B的沿塔分布。2）如果令，則二者分別表示床層任一截面上組分A、B的凈流率。研究表明，只有當qA和qB的方向相反時，才能實現(xiàn)A、B的分離，此時邊界上的間斷條件表述為塔底（z = 0）：塔頂（z =l）： 式中上標“”與“”分別表示塔頂和塔底邊界外部的值，根據(jù)上述條件確定流體相和固體相的出口濃度。3）如果取以下參數(shù)計算相關(guān)的濃度分布并作圖考察各參數(shù)變化的影響。解： 1)原方程組可化為如下形式：其特征方程為：展開得：其特征值為：，為相異實根。與對應的特征向量方程為：取為獨立變量，得。令，得到特征向量：與對應的特征向量方程為：取為獨立變量，得。令，得到特征向量：綜上，微分方程

48、組的通解為： 、為常數(shù)即：且時，知：解得：則得到原方程組的解：時，知：解得：則得到原方程組的解：即A、B的沿塔分布。2)時，因，否則靜流率為0，則由條件得：時，同上原因，由條件得：3)由條件得：則代入原濃度分布為：14（）發(fā)生在催化劑顆粒上的放熱反應總是與傳熱相互耦合，從而導致多重穩(wěn)態(tài)的產(chǎn)生和相關(guān)的穩(wěn)定性問題，CO在鉑催化劑表面的氧化反應曾被作為一個典型的體系而得到廣泛的研究?，F(xiàn)考慮CO在鉑金屬絲表面的氧化，相應的質(zhì)量與熱量衡算方程可表示為試從上述方程出發(fā)，在穩(wěn)態(tài)解附近作線性近似，導出相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù)。解：方程右端為零時，所得的解是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，設為（AS,TS）,考慮系統(tǒng)的小擾動并令代入原方

49、程，即得擾動（x，y）滿足的瞬態(tài)方程將k展為泰勒級數(shù)，并忽略二階及其后的高階項，得到線性近似方程相應的特征方程為特征根實部的正負由參數(shù)決定，分為以下情況：（1） 當tr<0,D>0時，兩特征根的實部為負值，系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的；（2） 當tr>0,或者D<0時，至少有一個特征根的實部為正值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；（3） 當tr=0,D>0時，兩特征根為相異的虛根，x與y將圍繞穩(wěn)態(tài)進行振蕩，系統(tǒng)是穩(wěn)定的但不是漸進穩(wěn)定的。系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的物理變量判據(jù)為第二種解法：方程右端為零時，所得的解是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，設為（AS,TS）,考慮系統(tǒng)的小擾動原方程化為將k展成泰勒級數(shù)，并忽略二階以上項方程化為略去方程的高階項再按穩(wěn)定性的常規(guī)方法判斷。15 考慮催化劑顆粒的內(nèi)擴散阻力時，一般情況下顆粒熱穩(wěn)定性問題的分析將變得十分復雜，但是，若對內(nèi)擴散過程采用擬穩(wěn)態(tài)假定，則問題就可以大大簡化。試從第一章給出的催化劑顆粒簡化模型(1.5.15）、(1.5.16）出發(fā)，對熱量衡算方程采用穩(wěn)態(tài)附近的線性近似，然后針對薄片型催化劑顆粒（s0）導出相關(guān)的失穩(wěn)條件（斜率條件）。解：當時，有：特征方程：得：則方程的解為：代入熱量衡算方程為：對系統(tǒng)：設系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為，考慮小擾動代入以上方程得到擾動滿