2017-2018北京西城161中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)(理)真題卷(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 1919 頁(yè)2017-2018北京西城161中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)（理）真題卷一、單選題1 1已知全集，集合：川小，則（）.A A: |:; -匚B B; ;n n | | ： -C C 、 * * - - : : : :D D . .；：；：門x|x 1|31|3K|X22X 00 x|0 x|0 xx0故選 A AX = 1一t2 2 極坐標(biāo)方程J二COS，和參數(shù)方程（t為參數(shù)）所表示的圖形分別是y = 2+3t（ ）.A A . 直線、直線B B .圓、圓 C.C.直線、圓D D .圓、直線【答案】D D【解析】由P = cos日,得P2= Pco曲，將P2= x2+ y2Pc

2、os日=X代入上式得2 2X y -X = 0，故極坐標(biāo)方程表示的圖形為圓;X= _1 t由消去參數(shù)t整理得3x y 0,故參數(shù)方程表示的圖形為直線。選 D D。y =2 3t2 +i3 3.設(shè)-=x + yi(x, y = R )，貝Vx + yi =().1+2iA A.1B.2C C.、3D D.2【答案】A A第2 2頁(yè)共 1919 頁(yè)【解由條件得x yi2 i1 2i(2i)(1-2i)43i- =-(1 2i)(1-2i)55所以x + yi| =土 _355A A.23,525選A。b滿足a b = a - b，則（） =1 * * * =bC.aL bD.a _ bB B.a4

3、 4 .若非零平面向量a,ab第3 3頁(yè)共 1919 頁(yè)【答案】D D【解析】由扌+用半一耳得，扌+b=|扌一b,所以（霽b乙畀b）整理得a b = 0,所以a I b。選 D D。5 5 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ：中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是,給出編號(hào) 、 的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）在空間直角坐標(biāo)系二r中，根據(jù)所給的條件標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，結(jié)合三視圖的畫(huà)圖規(guī)則，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為。選 D D。6 6.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，在一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）.圖第4 4頁(yè)共 19

4、19 頁(yè)【解析】由題意得，小明從街道的 E E 處出發(fā)到 F F 處最短路程有C4 條，再?gòu)?F F 處到 G G 處最短路程有C3條，故小明從老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為c：c3=i8條。選B。7 設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M -.3,0的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C,BF=2，則LBCF與LIACF的面積之比BCFSACF( )2345A.B.C.D.3456【答案】C C【解析】丨拋物線方程為y2=2x,廠)1拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為丄,0，準(zhǔn)線方程為x二12丿2如圖，設(shè)A(xi,yi ), B(X2,y2),過(guò)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為B,

5、13由拋物線的定義可得BF =x2+ =2x2=3。22第5 5頁(yè)共 1919 頁(yè)將x =3代入y2= 2x得y二3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為-J3 I。2，3A A.第 4 4 頁(yè)共 1919 頁(yè)直線 ABAB 的方程為y二0，即、3x-3 y-3 = 0,73o3_73遼 丿22將X二仝代入直線 ABAB 的方程整理得y2 .3-2 y-2、3 =0,解得y = 2或2y = - 3（舍去），15-音=2, |AA| | = X22在CAA中，BBLAA,CB | BBi|點(diǎn)睛：與拋物線有關(guān)的問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，特別是與焦點(diǎn)弦有關(guān) 的問(wèn)題更是這樣，“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，

6、這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān) 問(wèn)題的重要途徑.由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問(wèn)題也有一定的難度.8 8 經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究供求關(guān)系時(shí)，一般用縱軸表示產(chǎn)品價(jià)格（自變量） 產(chǎn)品數(shù)量（因變量）某類產(chǎn)品的市場(chǎng)供求關(guān)系在不受外界因素（如政府限制最高價(jià)格等）的影響下，市場(chǎng)會(huì)自發(fā)調(diào)解供求關(guān)系：當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格R低于均衡價(jià)格F0時(shí)，需求量大于供應(yīng)量，價(jià)格會(huì)上升為F2；當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格F2高于均衡價(jià)格F0時(shí)，供應(yīng)量大于需求量,價(jià)格又會(huì)下降，價(jià)格如此波動(dòng)下去，產(chǎn)品價(jià)格將會(huì)逐漸靠近均衡價(jià)格CAAASBCFCBSACFCA選 C Co，而用橫軸來(lái)表示F0.能正確表示第7 7頁(yè)共 1919 頁(yè)因?yàn)楫?dāng)產(chǎn)品價(jià)格 P P1低于

7、均衡價(jià)格 P P0時(shí)，需求量大于供應(yīng)量，故可排除A A、D D ；且價(jià)格較低時(shí)，供應(yīng)增長(zhǎng)較快，價(jià)格較高時(shí)，供應(yīng)增長(zhǎng)慢，故排除 點(diǎn)睛：本題屬于識(shí)圖的問(wèn)題， 解題的關(guān)鍵是讀懂題意、 看準(zhǔn)圖形，解答本題時(shí)容易出錯(cuò)，其中的原因就是對(duì)圖形和題意的不理解。解題時(shí)要注意到縱軸表示自變量，而用橫軸來(lái)B B.C C.D D.【答【解C C,選 B B。第8 8頁(yè)共 1919 頁(yè)表示因變量，故分析時(shí)應(yīng)由 y y 軸分析 x x 軸，并借助排除法求解.第9 9頁(yè)共 1919 頁(yè)、填空題9 9.已知圓C與直線x-y=0及x-y-4 = 0都相切，圓心在直線x y = 0上，則圓C的方程為_(kāi).2 2【答案】（x 1 ）

8、 +（y +1 ） =2【解析】由條件設(shè)圓心為Ca, a,T圓C與直線x_y = 0及x_y一4 = 0都相切- 2答案：x -1y 1 i；-2【答案】-407323故x2的系數(shù)為-12 C5-40。答案：-402 21111 雙曲線-y1的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為916漸近線的直線方程是【答案】5,04x-3y-20或4x 3y-20=0【解析】由題意知，cb 9 16=5，所以雙曲線的右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為5,0;4又雙曲線的漸近線方程為y x,故過(guò)右焦點(diǎn)F且平行于該雙曲線漸近線的直線方.a(aa _(-a )_4圓C的圓1,_1，半徑為r圓C的方程為2 2(X1) +(y+l)1010.2x-的展開(kāi)式中

9、,x2的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫(xiě)答案）【解析】式2x - x展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr 1 =C 2 xI I.、X二r15工C2rx，過(guò)右焦點(diǎn)F且平行于該雙曲線第1010頁(yè)共 1919 頁(yè)3.4 ,程為yx - 5，即4x 3y -20 =0或4x 3y -20 = 0. .答案：(1).(1).5,0(2).(2).4x-3y-20 =0或4x 3y-20=0。第1111頁(yè)共 1919 頁(yè)2-TTT =3-0=3,所以T(2因?yàn)辄c(diǎn)0,1在函數(shù)圖象上，故2si n：護(hù)=1, 又一n：:：n，所以:二2 22n答案：(1).(1).2n31 x蘭11313 .已知 f(x)=f(x)= X X 若函數(shù) g

10、(xg(x)=)= f f (x(x ) )- -kxkx + + k k 只有一個(gè)零點(diǎn)，則 k k 的【解圖象知函數(shù)的周期冗。6冗.60,1212 .函數(shù)f x =2sin:-n的圖象如圖所示，貝y 2第1212頁(yè)共 1919 頁(yè)Inx,0 : x：1,所以方程f x =k x-1只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,取值范圍是第1313頁(yè)共 1919 頁(yè)1-1,X _ 1,Xy = k X -1, ,Inx,0：x：1,則兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)。畫(huà)出函數(shù) y=fy=f（x x）的圖象（圖中紅線部分）和直線 y=ky=k（x-1x-1）（）（圖中藍(lán)線部分）, 其中直線 y=ky=k（x-1x-1）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1

11、,01,0），斜率為 k.k.因?yàn)楫?dāng) 0 x10 x-(x 0)0)對(duì)于，根據(jù)對(duì)稱性，若上存在兩點(diǎn)存在兩點(diǎn),使=匚為正三角形，則兩點(diǎn)連線的斜率為 1 1，設(shè)/所在直線方程為*， ，由題意知；到直線距離為直1 1331010 =”一m m線被 所截弦長(zhǎng)的倍，列方程解得，所以曲線是 T T 型線.故答案為.【點(diǎn)睛】本題是新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，同時(shí)需要注意的是每條曲線的范圍.三、解答題1515 .已知二為銳角，且tan i上=2=2 .14丿(I)求tan：的值.(n)求sin2 cos：-sin.工的值.cos2:【答案】宀、#1尿(1(1)

12、tan( 2 2)-310【解析】 試題分析：(1 1 )由兩角和的正切公式及條件得到關(guān)于tan的方程，解方程即可; (2 2)化簡(jiǎn)得泌空 匹“n由tax可得cos，3sin,結(jié)合cos2a3sin2二cos2? =1可求得sin：試題解析：(I)：tan- J1 tan一=2,.10 。10十(Y-1)3 3第1515頁(yè)共 1919 頁(yè)U丿1-ta n。1 tan：=22tan：,& 1.tan：32.、sin2acos。-sin2sinco曲-sin。si(2co_1).(n)sin cosHcosKcosR丄1：tan：=,3第1616頁(yè)共 1919 頁(yè) cos：= 3sin：.

13、2 2-sin . s ! cos 1 , 2 1 sin：10又為銳角， sin，衛(wèi),10cos2:-1616.某單位有車牌尾號(hào)為2的汽車A和尾號(hào)為6的汽車B,兩車分屬于兩個(gè)獨(dú)立業(yè)務(wù)部分對(duì)一段時(shí)間內(nèi)兩輛汽車的用車記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，在非限行日，A車日出車頻率0.6，B車日出車頻率0.5該地區(qū)汽車限行規(guī)定如下：車尾號(hào)0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五現(xiàn)將汽車日出車頻率理解為日出車概率，且A，B兩車出車相互獨(dú)立.(I) 求該單位在星期一恰好出車一臺(tái)的概率.(II)設(shè)X表示該單位在星期一與星期二兩天的出車臺(tái)數(shù)之和，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E X.【答案】(1 1)0.5(

14、2 2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1 1 )先確定事件：星期一恰好出車A,A,不出車 B;B;星期一恰好出車 B,B,不出車 A A；兩者相互對(duì)立，故概率為0.6 1-0.5 1-0.6 0.5 = 0.5(2 2)先確定隨 機(jī)變量取值為 0 0 ,1 1 ,2 2 ,3 3 ,再分別求各個(gè)概率：先求P X =0二P AB1P A2=0.4 0.5 0.4 =0.08,再求P(X =3)=P(AB1)P(A2) = 0.6汽0.5漢0.6 = 0.18,然后列表得分布列， 根據(jù)公式求 數(shù)學(xué)期望試題解析：解：(1 1)設(shè)A車在星期i出車的事件為A,B車在星期i出車的事件為B,i =1,2,3,4

15、,5，由已知可得P(A )=0.6,P(B ) = 0.5，設(shè)該單位在星期一恰好出一臺(tái)車的事件為C,sin2：cos：- -sin :Jo10第1717頁(yè)共 1919 頁(yè)則 /rF育-V .2、-J.alJf JA= 0.6 1-0.51-0.60.5 =0.5，最后求P i X =1 = P C P I A?i亠P A1B1jP A?=0.5 0.4 0.4 0.5 0.6 = 0.32所以該單位在星期一恰好出一臺(tái)車的概率為0.5.0.5.(2 2)X的取值為 0 0，1 1，2 2，3 3，貝U X的分布為X0 01 12 23 3P0.080.080.320.320.420.420.18

16、0.18EX =1 0.322 0.423 0.18 =1.7【考點(diǎn)】 古典概型概率，數(shù)學(xué)期望【方法點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是 探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是 寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分 布列或某事件的概率是否正確；第四步是 求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)

17、于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布X XB B(n n, p p),則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E E (X X)= npnp)求得 因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度1717 .如下圖，在三棱柱ABC - ABG中，CG -底面ABC,AC = BC = 2,AB = 22,CC1= 4,M是棱CC1上一點(diǎn).第1818頁(yè)共 1919 頁(yè)(I) 求證：BC _ AM.(II)若M,N分別是CC1,AB的中點(diǎn)，求證：CN/平面ARM.n(III)若二面角A-MBi-C的大小為4，求線段GM的長(zhǎng)3【答案】(I I )

18、見(jiàn)解析；(IIII )見(jiàn)解析；(HI(HI )C1M. .12【解析】試題分析：(1 1)TCG_ 平面ABC, CC1_B3又BC _ AC，所以BC_ 平面ACC1A1從 而B(niǎo)C丄AM( 2 2)欲證線面平行，轉(zhuǎn)證NPUCM即可，(3 3)以C為原點(diǎn)，CA,CB,CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.求出法向量，帶入公式即可 試題解析：(I I)：CG_ 平面ABC,BC平面ABC,CG _ BC. AC =BC =2,AB =2 -2,LABC中，AC2BC2=8 = AB2, BC _ AC. AC CCi,BC_ 平面ACGA. AM平面ACGA,BC _ AM.

19、(IIII )連接AB交AB,于點(diǎn)P.第1919頁(yè)共 1919 頁(yè)四邊形AAiBiB是平行四邊形,第2020頁(yè)共 1919 頁(yè)二P是A|B的中點(diǎn).又M,N分別是CG,AB的中點(diǎn)， NP LCM，且NP =CM,四邊形MCNP是平行四邊形，CN L MP.又CN二平面AB,M,MP平面AB,M,CN L平面ARM.(IIIIII)TBC _ AC，且CG_ 平面ABC,CA,CB,CG兩兩垂直。以C為原點(diǎn)，CA，CB，CG分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C -xyz.設(shè)CM =t，則C 0,0,0,A 2,0,0,B,0,2,4,M 0,0,t,設(shè)平面AMB,的法向量為x, y,z,T

20、T 4 T故n MA = 0,n MB,=0,又平面MBiC的法向量為m =1,0,0.n面角A - MB1- C的大小為, ,455解得匕，即CM石,C1M3=2 _CM=蘭,2- C1M_ 3一2.MA二2,0,-t,ABi二0,2,4 -t,則有2x -tz = 02y 4-t z = 0令x = t,則n二t,t -4,2,tJt2+(t _4 +4第2121頁(yè)共 1919 頁(yè)點(diǎn)睛：禾U用法向量求解空間二面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰 當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求 法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

21、2 _1818.設(shè)函數(shù)f x =x ax-1nx a R.(I) 若a =1，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間.(II)若函數(shù)f x在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(III)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y = f x的切線，求切線的橫坐標(biāo).f 1、fl、【答案】( (1 1)減區(qū)間為0 ，增區(qū)間為垃.(2 2)a蘭1(3 3) 1 12丿丿丿【解析】試題分析：( (1 1)求出X，由x：0可得函數(shù)的減區(qū)間，由fx0可1得函數(shù)的增區(qū)間；( (2 2)轉(zhuǎn)化成fx 0對(duì)任意x0,1恒成立求解，即a 2x對(duì)x1任意X，0,1 1恒成立，求出2x的最小值即可；( (3 3)設(shè)出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意x義求出過(guò)切

22、點(diǎn)的切線方程，利用切線過(guò)原點(diǎn)可求得切點(diǎn)坐標(biāo)。試題解析：(I I)a時(shí)，f x =x2，x-l nx(x 0),”1(2x1)(x+1)二f x；=2x 1(x 0).xx當(dāng)10, -,f x0,f A為單調(diào)減函數(shù).I 2丿(1當(dāng)，Xc,f(X)A0,f(X)為單調(diào)增函數(shù).12丿 f (x)的單調(diào)減區(qū)間為0 - i,單調(diào)增區(qū)間為1.2丿(2 丿1(llll)Tf 2x a,f x在區(qū)間0,11上是減函數(shù)，xf x 0對(duì)任意0,1】恒成立.第2222頁(yè)共 1919 頁(yè)1即2x a 0對(duì)任意x 0,11恒成立.x1令g x 2x,a二gx min.x易知g (x)在(0,1】上單調(diào)遞減，g (x )

23、min= g(1 )=-1.a - -1 .(lll(lll)設(shè)切點(diǎn)為M t, f t,第2323頁(yè)共 1919 頁(yè)1由題意得f x = 2x a -x1 f t i；= 2t - a, ,曲線在點(diǎn)切線方程為yf t = f t xt,2i 即y - t at -1 nt = 2t a x - t-I t,J又切線過(guò)原點(diǎn)，二0 -t2at -Int = 2t a -1 0 -t,I t?整理得t2I nt -1 =0,設(shè)t二t2Int-1,1則:U-2tt0恒成立，:t在0,=上單調(diào)遞增,又:11=1=0 0, ;：t在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即t =1,切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.點(diǎn)睛：對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要

24、注意曲線在點(diǎn) P P 處的切線”和 曲線過(guò)點(diǎn) P P 的切線”兩種說(shuō)法的區(qū)別。(1)“曲線在點(diǎn) P P 處的切線”表示點(diǎn) P P 為切點(diǎn)，且點(diǎn) P P 在曲線上，過(guò)點(diǎn) P P 的切線只有一 條；(2) 曲線過(guò)點(diǎn) P P 的切線”表示點(diǎn) P P 不一定在曲線上，即使點(diǎn) P P 在曲線上時(shí)也不一定為 切點(diǎn)，此時(shí)過(guò)點(diǎn) P P 的切線不一定只有一條。且斜率為k的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)， 線段AB的中點(diǎn)為M， 直線I : x 4k 0交橢圓E于C,D兩點(diǎn).(I) 求橢圓E的方程.(II)求證：點(diǎn)M在直線I上.(III)是否存在實(shí)數(shù)k，使得BDM的面積是ACM面積的3倍？若存在，求出k的 值若不存在，說(shuō)

25、明理由.1919 .如圖，已知橢圓2 2E：； ：2=1(a b 0)的離心率為遼，過(guò)左焦點(diǎn)2F - .3,0第2424頁(yè)共 1919 頁(yè)【答案】X222(1 1)y -1(2 2)見(jiàn)解析(3 3)k二44【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問(wèn)題、 韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. .第一問(wèn)，禾U用已知的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到基本量a,b,ca,b,c 的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，設(shè)出點(diǎn) A A、B B、M M 的坐標(biāo)和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到x-x2，

26、從而得到x0的坐標(biāo)，y0由直線方程獲得，驗(yàn)證xo,yo是否在x，4ky =0上即可；第三問(wèn)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為 c c 點(diǎn)坐標(biāo)y3與M點(diǎn)坐標(biāo)yo的關(guān)系，通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立消參，得到y(tǒng)3的坐標(biāo)，令y0詩(shī)，解出k的值，k有解，即存在. .試題解析：（1 1）由題意可知e=Ca2所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y24y = k x , 32即4k21 x28、.3k2x 12k2-4 =0.x2.y 14（3 3）由（2 2）知點(diǎn) A A 到直線 CDCD 的距離與點(diǎn) B B 到直線 CDCD 的距離相等, 若?BDM?BDM 的面積是？ACMACM 面積的 3 3 倍, 則 | | DM|=3|DM|=3| CM|CM|，因?yàn)?| | OD|=|OD|=| OqOq，于是 M M 為 OCOC 中點(diǎn)，；x -4ky.y1設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為X3, y3，則yo 因?yàn)閤22，解得y3亍2一+ y=1J4k2+14(2)設(shè)A(Xi,yJ,B(x2,y2),M (xo,yo),所以,x1x2=*4k21x/3k2x 一224k 1y廠kxo八緒