高中必修1-5錯誤解題分析系列-《5.1不等式的解法》

1、§5.1不等式的解法一、知識導(dǎo)學(xué)1. 一元一次不等式ax>b(1)當(dāng)a>0時(shí)，解為；(2)當(dāng)a0時(shí)，解為；(3)當(dāng)a0，b0時(shí)無解；當(dāng)a0，b0時(shí)，解為R2. 一元二次不等式：(如下表)其中a0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，且x1x2 類型解集ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c0ax2+bx+c00xxx1或xx2xxx1或xx2xx1xx2xx1xx20xx-，xRRxx=-0RR3.簡單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：將f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；將每一個(gè)一

2、次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；根據(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成0或0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：0f(x)·g(x)00然后用“根軸法”或化為不等式組求解.二、疑難知識導(dǎo)析1.不等式解法的基本思路解不等式的過程，實(shí)質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡原不等式的過程，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實(shí)際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此，一要能熟練準(zhǔn)確地解一元一次不等式和一

3、元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所以在解不等式組時(shí)，先要解出本組內(nèi)各不等式的解集，然后取其交集，在取交集時(shí)，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個(gè)不等式解集的兩個(gè)或幾個(gè)區(qū)間誤看成是兩個(gè)或幾個(gè)不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式問題中有廣泛的應(yīng)用，其難點(diǎn)是區(qū)分何時(shí)取交集，何時(shí)取并集.解不等式的另一個(gè)難點(diǎn)是含字母系數(shù)的不等式求解注意分類.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 如果kx2+2kx(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.A. 1k0 B. 1k<0 C.

4、1<k0 D. 1<k<0錯解：由題意：解得：1<k<0錯因：將kx2+2kx(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k0的情況.正解：當(dāng)k0時(shí)，原不等式等價(jià)于20，顯然恒成立， k0符合題意.當(dāng)k0時(shí)，由題意：解得：1<k<0，故選C. 例2 命題3，命題0，若A是B的充分不必要條件，則的取值范圍是A. B. C. D.錯解：由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選D.錯因：忽略了a4時(shí)，x|2x4x|2xa，此時(shí)A是B的充要條件，不是充分不必要條件.正解：

5、由x13得：2x4，又由（x2）(xa)=0得x=2或xa,A是B的充分不必要條件,x|2x4x|2xaa>4故選C.例3已知f(x) = ax + ，若求的范圍.錯解： 由條件得 ×2 ×2得 +得 錯因：采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的.當(dāng)取最大（?。┲禃r(shí)，不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯誤的.正解： 由題意有, 解得： 把和的范圍代入得 例4 解不等式（x+2）2(x+3)(x2)錯解：（x+2）2原不等式可化為：(x+3)(x2)原不等式的解集為x| x 3或x錯因:忽視了“”的含義，機(jī)械的將等式的運(yùn)算性質(zhì)套用

6、到不等式運(yùn)算中.正解：原不等式可化為：（x+2）2(x+3)(x2) 或（x+2）2(x+3)(x2)，解得：x=3或x2或x2解得：x 3或x2原不等式的解集為x| x 3或x或x例5 解關(guān)于x的不等式解：將原不等式展開，整理得： 討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若0時(shí)；若<0時(shí)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評：在解一次不等式時(shí)，要討論一次項(xiàng)系數(shù)的符號.例6關(guān)于x的不等式的解集為求關(guān)于x的不等式的解集解：由題設(shè)知，且是方程的兩根， 從而 可以變形為即： 點(diǎn)評：二次不等式的解集與二次方程的根之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)健，這也體現(xiàn)了方程思想在解題中的簡單應(yīng)用.例7（06年高考江蘇卷）不等式的解集為解：，0， 解得反思：在數(shù)的比較大小過程中,要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大小；(2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1??；,(3)計(jì)算所有數(shù)的值；(4)選